《平面向量的數量積》教學案例

案列背景：

《普通高中數學課程標準（2017年版）》對本節課的要求有以下三條：

（1）通過物理中“功”等事例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義;

（2）進一步探究兩個向量的夾角對數量積符號的影響及有關的性質;（3）能用運數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。

從以上的背景可以看出，數量積的概念既是本節課的重點，也是難點。為了突破這一難點，首先無論是在概念的引入還是應用過程中，物理中“功”的實例都發揮了重要作用。其次，作為數量積概念延伸的性質和運算律，不僅能夠使學生更加全面深刻地理解概念，同時也是進行相關計算和判斷的理論依據。最后，無論是數量積的性質還是運算律，都希望學生在類比的基礎上，通過主動探究來發現，因而對培養學生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的載體。

前面我上這一堂課是作為公開課進行的，主要采用探究式教學，以多媒體手段為平臺，利用問題讓學生自主地參與探究，在探究兩向量的夾角及數量積的概念過程中，引導學生積極將物理學科知識遷移到數學中進而融入到自己的知識體系。

案列主題：

一方面，我校是農村鄉鎮高中，生源基礎較差，導致自主學習速度較慢，所以對導學案進行前置運用，并通過小組評價機制，充分調動學生學習的積極性，適當優化題目數量，體現懂一題會一類。因此，在上課時，隨機的選擇同學代表小組起來展示，根據展示情況，在小組評價表上進行加分或是減分。

另一方面，學生已經學習了平面向量的線性運算，理解并掌握了向量數乘運算及其幾何意義。學生會產生疑問——平面向量之間可以進行向量與向量的乘法運算嗎？而學生此時已學習了功等物理知識，能夠解決簡單的物理問題，并熟知了實數的運算體系，這為學生學習數量積做了很好的鋪墊。

所以本節課我從學生所熟悉的“功”引入“數量積”，通過學生的自主探究，小組合作探究，教師點評等環節完成本節知識的學習。通過學生的自主探索與合作交流滲透數學建模思想，這個目標符合數學課程標準中提出的“不同的人在數學上得到不同的發展”的要求。

本節課的教學目標：

（1）了解平面向量數量積的物理背景，理解數量積的含義;

（2）體會平面向量的數量積與向量投影的關系，掌握數量積的性質和運算律，并能運用性質和運算律進行相關的運算和判斷;

（3）了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件;

（4）體會類比的數學思想，培養學生抽象概括和邏輯推理能力。

教學活動1：

老師：完成下表：

學生：按照老師要求獨立完成，

老師：請畫出余弦函數在上的圖象，

學生：按照老師要求獨立完成，

設計意圖：為后面學習兩向量夾角及夾角對數量積的影響作鋪墊。

老師：我們已經研究了向量的哪些運算？這些運算的結果是什么？

學生：加法、減法、數乘運算，運算結果是向量。

設計意圖：在于使學生了解數量積的數學背景，讓學生明白本節課所要研究的數量積與向量的加法、減法及數乘一樣，都是向量的運算，但與向量的線性運算相比，數量積運算又有其特殊性，那就是其結果發生了本質的變化。

老師：我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？

學生：位移

設計意圖：由加減聯想到乘法這是個很自然的問題，明確本節課的任務，激發學生的探求欲望;由向量加法類比的基礎上明了本節課的研究方法和順序，為教學活動指明方向。

教學活動2：

老師：觀察以下各組的兩個非零向量有何不同？

學生：位置（角度）

設計意圖：從特殊的圖形中，發現區分兩向量位置是用夾角區分的，為以下給出向量夾角的定義做了自然的鋪墊。

歸納1：向量的夾角的定義：

設計意圖：檢測學生對知識的掌握情況

老師：如圖所示，一物體在力的作用下產生位移.那么力所做的功 .

這個公式的有什么特點？請完成下列填空：

設計意圖：在學生已有的物理中“功”的概念的背景下，建構數學模型，引入平面向量數量積的概念，突出物理背景的意義，便于學生自然過度和理解。讓學生知道，我們研究數量積絕不僅僅是為了數學自身的完善，而是有其客觀背景和現實意義的，從而產生了進一步研究這種新運算的愿望。同時，也為抽象數量積的概念做好鋪墊。

老師： 你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎？如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結果又將如何表述？

老師： 向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同？影響數量積大小的因素有哪些？并完成下表.

設計意圖：歸納出數量積的運算與前面三種線性運算的區別（運算的結果是數量而不再是向量），研究數量積運算結果的符號取決于兩非零向量的夾角

設計意圖：例題精講，變式訓練，使學生對知識的掌握更上一層樓。

教學活動3：

老師： 本節課我們主要研究了什么重要內容？你認為本節課體現了哪些重要的思想方法？學生總結，最后老師再概括.

設計意圖：通過學生討論總結，加強了學生概念法則的理解和掌握，體會整個內容的研究過程，明白了為什么要學這些內容，學了這些內容可以做什么，這對以后的學習有什么指導意義。培養了學生思考、解決問題的能力。有利于學生內化已學的知識。

老師：總之，數學史要與數學教學有機結合，老師除了要有數學史素養，還應該具有創新意 識，不只是對數學史知識簡單的重組，還要對 史料掌握清楚，并敢于探索，在實踐中不斷尋求更好的方式。

案列評析：

（1）針對我校學生的學情，本節課我把投影向量放到了下一課時，

以物理知識為背景，建立了數學的平面向量數量積的概念和運算。

（2）知識系統完備，使學生很好的體驗了知識的產生、發展和完善的全過程，有利于培養學生分析、思考、解決問題的能力，為進一步形成良好的數學思想、數學思維奠定基礎。

（3）借助問題串和多媒體輔助教學使教學效果和教學內容的容量充分的得以體現和展示，提高了課堂效率，取得了較好的教學效果。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[S].北京：人民教育出版社.2018.

[2] 程仕然 .平面向量數量積課堂教學的反思與重構 [J].數學教學通訊.2019（06）

云南省普洱市墨江第二中學 周雅建