“擺球推方塊”模型中二者分離位置的數(shù)理分析

李 力 高 遠(yuǎn) 張邦忠

(1. 重慶市清華中學(xué)，重慶 400054； 2. 重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，重慶 401320)

在中學(xué)物理教學(xué)中，常見如下“擺球推方塊”模型：[1]如圖1所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿上端固定一質(zhì)量為m的小球A(可視為質(zhì)點(diǎn))，桿的下端用鉸鏈固接于水平面上的O點(diǎn)，置于同一水平面上質(zhì)量為M的立方塊B恰與A接觸。今有微小擾動(dòng)使桿向右傾倒，從而擺球推著方塊向右運(yùn)動(dòng).若不計(jì)各處摩擦，試問擺球與方塊在何處分離？

圖1

通常憑直覺會(huì)判斷出，二者分離瞬間輕桿轉(zhuǎn)過的角度θ應(yīng)該與方塊、小球質(zhì)量比k=M/m有關(guān)，而且質(zhì)量比越大時(shí)，即越輕的小球推越重的方塊，推動(dòng)會(huì)越困難，所以分離位置應(yīng)該越滯后.本文將通過數(shù)理分析得到它們之間的定量關(guān)系，最后探討與之緊密相關(guān)的3個(gè)結(jié)論及其物理意義.

假設(shè)經(jīng)一段時(shí)間，二者位形如圖2所示.由速度關(guān)聯(lián)和機(jī)械能守恒定律分別得

vAcosθ=vB.

(1)

(2)

令k=M/m，則解得

(3)

圖2

二者分離時(shí)方塊速度vB最大，從而vB2達(dá)到最大.為簡(jiǎn)便計(jì)，可等價(jià)考慮以下函數(shù)f(θ)的最值：

(4)

kcos3θ+3cosθ-2=0.

(5)

圖3

現(xiàn)在研究分離時(shí)輕桿對(duì)小球的作用力F.首先，通常輕桿對(duì)小球的作用力未必沿桿，但本問題中此力必然沿桿方向，原因是：對(duì)輕桿考慮對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，0轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(值為0)乘以有限的角加速度(可以為0)等于為0的外力矩，從而球?qū)U的作用力必然通過轉(zhuǎn)軸沿桿方向，再由牛頓第三定律知桿對(duì)小球的作用力沿桿.換言之，如果小球?qū)U的作用力不沿桿方向，則外力矩不為0，在不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的輕桿上會(huì)產(chǎn)生與實(shí)際不符的無窮大角加速度.

其次，由于分離瞬間方塊加速度為0，從而小球的水平加速度也為0.另一方面，小球所受重力豎直向下，如果沿桿方向輕桿對(duì)小球作用力不為0，則水平方向必有其分力，故水平加速度不可能為0，這個(gè)矛盾說明分離瞬間必有F=0.由以上分析不難判斷出“在分離之前輕桿向外頂小球，之后向內(nèi)拉小球”.這樣可得結(jié)論3：“無論質(zhì)量比k與分離角度θ如何，分離時(shí)桿對(duì)小球的作用力F均為0”.

分離位置以后，方塊以分離瞬間速度水平向右勻速前進(jìn)，小球繼續(xù)沿圓弧下擺，其水平速度一直減小直至豎直落地時(shí)水平速度為0，可見分離位置之后二者完全分開沒有接觸.

(6)

從(6)式也可看出k→∞時(shí)有θ→π/2.(5)式和(6)式其實(shí)是分離角度θ與質(zhì)量比k之間函數(shù)關(guān)系的兩種顯式表達(dá)和一種隱式表達(dá)，它們彼此是等價(jià)的.