教室門鎖引出的自鎖問題深度分析

江險峰 呂奇男

(1. 浙江省縉云中學，浙江 縉云 321400； 2. 浙江省縉云縣教研究，浙江 縉云 321400)

物理受力分析課上,有學生提出教室彈簧門鎖突然關不上,是什么原因?其他學生說家里的門也經常出現同樣的問題．怎么解決?學生紛紛開始建模[如圖1(a)]尋找原因,較多的學生認為連接鎖舌的彈簧壞了,小部分學生認為是鎖舌與外殼之間的摩擦力過大,一小部分學生認為是鎖舌與鎖槽之間的摩擦力過大．

圖1

如圖1(b),設鎖舌斜面傾角α,鎖舌斜面受到鎖槽的彈力FN1,摩擦力Ff1,動摩擦因數μ1,鎖舌平面受到外殼的彈力FN2,摩擦力Ff2,動摩擦因數μ2,鎖舌受到彈簧彈力kx．[1]鎖舌受力平衡,可得

kx+Ff2+Ff1cosα-FN1sinα=0，

FN2-FN1cosα-Ff1sinα=0，

Ff1=μ1FN1，

Ff2=μ2FN2.

聯立以上4式,解得鎖舌斜面受到鎖槽的彈力FN1大小為

由式子可以看出:如果連接鎖舌的彈簧勁度系數變大,會導致FN1變大,但FN1有解,即一般不會鎖死;μ越小,發生鎖死(FN1→∞)的臨界角α越小,工廠加工鎖舌傾角α時已經考慮到這個因素,即μ為正常值時,不會發生鎖死,但隨著使用過程中μ增大,鎖死臨界角α也增大,達到鎖舌傾角時,出現了鎖死的現象．解決的辦法有兩個:一是增加潤滑,有經驗的人會用鉛筆涂畫鎖舌表面以減小μ1和μ2;二是可以用鋼銼加工鎖舌表面增大傾角α．

像這種在摩擦力作用下,即使驅動力無限增大,物體間也不會發生相對滑動的現象稱為自鎖現象．

1 典型的自鎖現象

例1.如圖2(a)-(d)所示,質量為m的小木塊放在不同的粗糙平面上,動摩擦因數為μ,受到推力F作用,求夾角α滿足什么條件時(斜面上的物塊μ還需要滿足什么條件?),不管F多大,木塊始終不發生滑動?

圖2

圖3

解析: 如圖3(a),摩擦角φm對應全反力臨界線SS′(本文簡稱臨界線SS′),若作用力為F1,其與G的合力為F其他1,與豎直方向的夾角β大于摩擦角φm,由兩力的方向可知物體不能平衡．若作用力為F2,其與G的合力為F其他2,與豎直方向的夾角β小于摩擦角φm,則物體能平衡．

結論:當夾角α小于摩擦角φm時(F不越過臨界線SS′),F不論多大(其與G的合力夾角β均小于摩擦角),木塊始終不發生滑動,形成自鎖．

同樣的方法分析圖3(b),應滿足0≤α≤φm(F不越過臨界線SS′)．

同樣的方法分析圖3(c),應滿足tanα≤μ,α≤φm,當α=φm時,臨界線SS′豎直．

同樣的方法分析圖3(d),應滿足φm≤α,當α=φm時,臨界線SS′水平．

所以,此類問題用全反力(摩擦角)法的共同解決方法是畫出摩擦角φm,比較其他力(除全反力外的力)合力F其他的方向與FN的夾角α與φm的關系(F其他是否越過臨界線SS′),當0≤α≤φm,物體受力一直平衡,形成自鎖,當α>φm,不會自鎖．

2 變式的自鎖問題

例2.如圖4(a)所示,重為G的木塊與水平地面間的動摩擦因數為μ,一人欲用最小的作用力F使木塊做勻速運動,則此最小作用力的大小和方向應如何?

解析:木塊受到的重力G、全反力FR、作用力F,重力G大小、方向不變,全反力FR大小變化、方向不變,可以用矢量三角形求解力F最小值．如圖4(b)所示,作用力F垂直于臨界線SS′時F最小,

圖4

例3.如圖5(a)所示,在傾角為θ的粗糙斜面上,一個質量為m的物體被水平力F推著靜止于斜面上,物體與斜面間的動摩擦因數為μ,且μ

圖5

解析:受力如圖5(b)所示,局部放大如圖5(c)所示．當F取最大時,全反力為FR2,當F取最小時,全反力為FR1．

若F方向可以調節,如圖5(d)所示,垂直于臨界線S1時F最小．

F0=mgsin(θ-φm)=

例4.如圖6(a)所示,一個小物體與豎直墻面之間的動摩擦因數為μ,物體質量為m,現對物體施加一與豎直方向成α角的外力F,(1) 物體處于靜止,α角可以變化,求F的最小值; (2) 物體向上做勻速直線運動,那么對α角有什么限制?

圖6

3 自鎖問題的應用與防止

(1) 自鎖的應用.

① 木楔自鎖.擋住一扇彈簧門，不讓它關閉，最簡單的方法是在門下塞一個木楔.鋤頭、木桌、木椅等松動了，可以打一個木楔進行固定.如圖7所示鋤頭的木楔兩個面受全反力形成自鎖.

圖7

② 螺紋自鎖.如圖8所示，一般的私家車都有便攜式螺旋“千斤頂”，轉動手柄就可以將重物頂起，松開手柄，螺桿并不會在重壓下反向旋轉而掉下來，同樣滿足螺紋自鎖，滿足α≤φm.若動摩擦因數為0.1，得摩擦角φm=5°43′，為保證自鎖，一般取螺紋升角α=4°～4°30′.

圖8

③ 如圖9，電力、郵電等工人攀爬電線桿時，經常使用登高腳扣.腳扣內側面附有動摩擦因數較大的材料，腳扣的一端安裝腳踏板.腳扣借助人體自身重量，利用杠桿作用，向下踩的力越大，壓力也越大，接觸面產生向上的摩擦力也越大，形成自鎖，因而不會沿桿下滑.只需兩腳交替上抬就可爬上電線桿.

圖9

(2) 自鎖的防止.

② 鎖舌斜面傾角不能過小(如圖11).要使門能鎖上，鎖舌斜面傾角α>φm.

③ 如圖12，破冰船靠自身的重力壓碎周圍的冰塊，同時又將碎冰擠向船底.為此，船壁與豎直平面之間必須有一個恰當的傾斜角α，應滿足α>φm，使冰塊受到的全反力FR斜向下.

圖10 圖11 圖12