也談洛倫茲力公式中速度的參考系選擇問題

周 凱

(深圳實驗學(xué)校光明部,廣東 深圳 518107)

參考系是物理學(xué)中的重要概念,我們在研究物理問題時,首先要選定參考系.然而,在高中物理電磁學(xué)的教學(xué)中,關(guān)于洛倫茲力公式及由洛倫茲力產(chǎn)生的動生電動勢公式中的速度是相對于哪個參考系而言的這一問題,文獻(xiàn)中仍持有不同觀點.[1-2]文獻(xiàn)[1]認(rèn)為洛倫茲力公式中的速度是電荷相對于觀察者的速度,而文獻(xiàn)[2]認(rèn)為洛倫茲力公式和動生電動勢公式中的速度都是電荷(導(dǎo)體)相對于磁場的速度.本文就結(jié)合以下2個例題,談?wù)剬Υ藛栴}的看法.

1 從電磁場的相對論變換角度看動生電動勢

例1.(2021屆廣東省高三“6校聯(lián)盟”第3次聯(lián)考)如圖1所示,是某學(xué)生設(shè)計的一種磁動力電梯的原理圖,即在豎直平面內(nèi)有兩根很長的平行豎直金屬軌道MN和PQ,軌道間有垂直軌道平面的勻強(qiáng)磁場,兩導(dǎo)軌下端用導(dǎo)線相連.處于金屬軌道間的導(dǎo)體桿ab與軌道垂直,且下方通過絕緣裝置固定電梯轎廂,當(dāng)磁場向上運(yùn)動時,電梯可向上運(yùn)動(設(shè)運(yùn)動過程中ab始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好).已知勻強(qiáng)磁場強(qiáng)度為B,電梯載人時電梯轎廂及ab桿的總質(zhì)量為M,兩導(dǎo)軌間的距離為L,導(dǎo)體桿電阻為R,其余部分電阻不計.當(dāng)磁場以v0的速度勻速上升時,電梯轎廂剛好能離開地面.不計空氣阻力,ab桿與軌道的最大靜摩擦力大小與滑動摩擦力大小相等.重力加速度為g.求:

(1) 此時通過ab桿電流的方向及ab桿受到軌道的摩擦力的大小；

(2) 當(dāng)電梯勻速上升的速度大小為v1時,磁場向上勻速運(yùn)動速度v2的大小.

圖1 磁動力電梯原理圖

參考答案如下.

(1) 由右手定則可得電流方向是b→a,磁場向上運(yùn)動,相當(dāng)于ab桿向下切割磁感線,

電梯轎廂剛好能離開地面,可得

F安1=Mg+f，

可得

(2) 當(dāng)磁場向上勻速運(yùn)動速度v2時,回路中感應(yīng)電動勢的大小

E1=BL(v2-v1)，

穩(wěn)定時,對電梯轎廂受力分析有

F安2=BI1L，

F安2=Mg+f，

可得

v2=v0+v1.

參考答案中認(rèn)為“磁場向上運(yùn)動,相當(dāng)于ab桿向下切割磁感線”,這一解法看似合理,實際上是將導(dǎo)體切割磁感線的速度理解為導(dǎo)體相對于磁場的速度.許多教師在教學(xué)中也會特別強(qiáng)調(diào):動生電動勢公式中的速度是導(dǎo)體相對于磁場的速度.由于大多數(shù)題目中磁場都是靜止的,因此導(dǎo)體相對于磁場的速度等于導(dǎo)體(相對于實驗室參考系)的速度.動生電動勢的中的非靜電力是洛倫茲力,對于洛倫茲力公式中的速度,也有與上面相似的理解.

然而,站在電動力學(xué)的角度看,運(yùn)動的磁場會產(chǎn)生電場,在電磁場中運(yùn)動的粒子會受到洛倫茲力的作用,洛倫茲力公式為F=qE+qu×B.其中等號右邊第1項電場力,第2項是磁場力(即高中物理中所學(xué)的洛倫茲力).電磁場的相對論變換告訴我們,電磁場作為客觀存在的物質(zhì)場是統(tǒng)一的不可分割的整體,在某一慣性系中可以把它分解成這樣的電場和磁場兩部分,在另一個慣性系中又可以把它分解成那樣的電場和磁場兩部分.[3]因此,洛倫茲力公式中的電場E、磁場B、速度u必須是相對于同一慣性參考系而言的.在不同參考系中看,特別是在高速運(yùn)動的情況下,粒子在電磁場中所受力的值甚至都是不同的.這樣動生電動勢中非靜電力的情況也是不同的.我們有必要借助電磁場的相對論變換有關(guān)知識來分析一下,相對于不同的參考系例題1第2問中導(dǎo)體棒中電荷的受力情況,并對比在不同參考系下本題的物理圖像.

如圖2所示,有兩個慣性參考系,∑系靜止,即我們通常所說的實驗室參考系,∑′系相對∑系以速度v2向上勻速運(yùn)動.選∑′系固定在磁場上,磁感應(yīng)強(qiáng)度方向沿z′軸正方向.位于∑′系中的觀察者認(rèn)為,這個磁場是靜止的,其周圍空間只存在靜磁場,電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為

Ex′=0，Ey′=0，Ez′=0，

Bx′=0，By′=0，Bz′=B.

圖2 ∑、∑′兩慣性系之間的變換

由電磁場的洛倫茲變換公式得,在∑系中的電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為

Ex=Ex′，Ey=γ(Ey′+v2Bz′)，

Ez=γ(Ez′-v2By′)；

式中

(1)

以上可以看出,不同參考系中的電場和磁場不是分開來各自進(jìn)行變換的,而是相互聯(lián)系在一起變換的,它們可以相互轉(zhuǎn)化.電場和磁場是電磁場統(tǒng)一體的不同方面,電場和磁場的6個分量聯(lián)合起來描述電磁場的性質(zhì).[4]

在非相對論近似下,即v2?c,由(1)式得γ=1,這樣過渡到非相對論電磁場變換公式

Ex=0，Ey=v2B，Ez=0；

Bx=0，By=0，Bz=B.

即在∑系中的觀察者認(rèn)為,空間同時存在沿y軸正方向的電場Ey=v2B和沿著z軸正方向的磁場Bz=B.

再看兩個參考系中導(dǎo)體桿ab的速度.在∑系中,導(dǎo)體桿的速度為

ux=v1，uy=0，uz=0.

由相對論速度變換式可得在∑′系中,導(dǎo)體桿的速度為

可見,在非相對論近似下,速度的變換關(guān)系回到我們熟悉的伽利略變換

ux′=v1-v2，uy′=0，uz′=0.

下面我們求解動生電動勢,在∑系中,導(dǎo)體桿中的正電荷受到的非靜電力可分成兩部分,第1部分為沿y軸正方向的電場力,第2部分為沿y軸負(fù)方向的磁場力.作用在單位正電荷上的非靜電力(洛倫茲力)為

K=Eyj+uxi×Bzk=(v2-v1)B j，

(2)

其中i、j、k分別是x軸、y軸、z軸正方向的單位矢量.動生電動勢為

(3)

在∑′系中,導(dǎo)體桿中的正電荷受到的非靜電力為沿y′軸正方向的磁場力,作用在單位正電上的非靜電力(洛倫茲力)為

K′=ux′i′×Bz′k′=(v2-v1)B j′，

(4)

其中i′、j′、k′分別是x′軸、y′軸、z′軸正方向的單位矢量.動生電動勢為

(5)

這里由于我們忽略了相對論效應(yīng),因此(3)式和(5)式中導(dǎo)體桿的長度L相同.

對比(3)式和(5)式的結(jié)果,我們發(fā)現(xiàn)在兩個參考系中算出的動生電動勢的值是相同的.但仔細(xì)分析以上過程,我們會發(fā)現(xiàn)相對不同參考系對問題理解的差異.①兩個參考系中的觀察者觀測到的場的情況不同:∑系(實驗室參考系)中的觀察者觀測到的是電磁場；而在∑′系(固定在磁場上的參考系)中的觀察者觀測到的是靜磁場.②非靜電力的性質(zhì)不同:∑系中導(dǎo)體桿中電荷受到的非靜電力為電場力和磁場力之和(電動力學(xué)中的洛倫茲力),而∑′系中導(dǎo)體桿中電荷受到的非靜電力僅為磁場力(高中物理所學(xué)的洛倫茲力).③我們是在非相對論近似下得到∑系中電磁場以及導(dǎo)體桿在∑′系中的速度的,這樣求出的洛倫茲力(2)式和(4)式的結(jié)果是相同.若考慮相對論效應(yīng),力的洛倫茲變換為

可見,在非相對論近似下,上式可化簡為

Fx′=Fx，F(xiàn)y′=Fy，F(xiàn)z′=Fz.

即在低速的情況下,不同慣性系中的作用力是不變的.正因為這一點,在∑系和∑′系中洛倫茲力是相等的,在不考慮長度收縮效應(yīng)時,我們計算出的動生電動勢的值是相等的.值得注意的是,我們這里所說的洛倫茲力,必須是電動力學(xué)中包含電場力和磁場力在內(nèi)的完整的洛倫茲力.

從上面的討論可以看出,由于高中物理知識的局限性,實際上,多數(shù)教師并沒有考慮到由于磁場運(yùn)動而引起的空間產(chǎn)生電磁場這一效應(yīng),在處理磁場相對實驗室參考系運(yùn)動時的電磁感應(yīng)問題時,習(xí)慣性地選擇了以磁場為參考系(準(zhǔn)確地說是選擇了固定在磁場上的參考系).因此,在動生電動勢的教學(xué)過程中,多數(shù)教師會強(qiáng)調(diào)公式BLv中的速度指的是導(dǎo)體相對于磁場的速度.這樣在處理導(dǎo)體不動,磁場運(yùn)動的問題時,才可以使用高中物理知識進(jìn)行解題.而在求出電動勢之后,進(jìn)而求出安培力,對物體進(jìn)行受力分析時,又轉(zhuǎn)入到實驗室參考系下進(jìn)行研究,這樣求出物體的加速度、速度、軌跡就是都是相對于實驗室參考系的.這樣的過程看似合理,而實際上是在解題過程中更換了參考系,學(xué)生甚至部分教師通常是沒有意識到這一點的.

2 帶電粒子在運(yùn)動磁場中的軌跡問題

在高中階段,我們在學(xué)習(xí)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的偏轉(zhuǎn)時,題目中磁場通常是靜止的,這樣無論相對于實驗室參考系還是相對于固定在磁場上的參考系,粒子都做圓周運(yùn)動.如果在粒子運(yùn)動的同時,磁場也在運(yùn)動,那么相對于實驗室參考系和固定在磁場上的參考系,粒子的軌跡各是怎樣的？下面我們就運(yùn)用電磁場變換的有關(guān)知識,研究一下不同參考系中粒子的受力情況和運(yùn)動軌跡.

例2.如圖3所示,半無界勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿z軸正方向,t=0時刻一帶電粒子(電荷量q>0)以速度v1沿著x軸正方向射入磁場,同時磁場以速度v2(v1>v2)沿著x軸正方向運(yùn)動.求帶電粒子的軌跡.

圖3 帶電粒子在運(yùn)動磁場中的運(yùn)動

由上面關(guān)于例1的討論可知,在不同的參考系中,電磁場的各分量是不同的,粒子的受力情況也不同的,我們必須明確所求的軌跡是相對于哪個參考系而言的.

令K和K′是兩個慣性系,取直角坐標(biāo)系Oxyz和O′x′y′z′,相應(yīng)坐標(biāo)軸平行.K′系相對于K系以速度v2沿x軸正方向作勻速運(yùn)動.在t=0時刻原點O和O′重合.K′系中的電磁場分量為

Ex′=0，Ey′=0，Ez′=0，

Bx′=0，By′=0，Bz′=B.

粒子在K′系中的速度為

ux′=ux-v2，uy′=uy，uz′=uz.

圖4 帶電粒子在運(yùn)動磁場中的相對論分析

粒子所受的作用力只有磁場力

則粒子運(yùn)動的微分方程為

(6)

(7)

對(6)式微分,得

(8)

將(8)式代入(7)式,得

(9)

微分方程(9)式的通解為

同理可得

當(dāng)t=0時,ux′=v1-v2,uy′=0,解得φ=0,A=v1-v2.

(10)

(11)

對(10)式積分可得粒子相對于K′系的運(yùn)動軌跡

(12)

(13)

根據(jù)非相對論電磁場變換公式,我們可以得到K系中的電磁場分量

Ex=0，Ey=v2B，Ez=0；

Bx=0，By=0，Bz=B.

即在K系(實驗室參考系)中,空間存在沿著y軸正方向的電場Ey=v2B和沿著z軸正方向的磁場Bz=B.粒子所受洛倫茲力為

粒子運(yùn)動的微分方程為

仿照上面的解法同理可得粒子在K系中的速度和軌跡

可以看出,粒子的運(yùn)動為勻速圓周運(yùn)動和沿x軸正方向的平動的合成,其軌跡為擺線.[5]

當(dāng)然我們也可以從相對運(yùn)動角度考慮這個問題,在K系中看粒子做圓周運(yùn)動,而在非相對論近似下,坐標(biāo)的洛倫茲變換將回到伽利略變換.粒子在K系中的運(yùn)動即為粒子相對K′系中運(yùn)動和磁場的運(yùn)動的矢量和.

3 總結(jié)

本文運(yùn)用電磁場相對論變換的有關(guān)知識,對高中物理中運(yùn)動磁場中導(dǎo)體產(chǎn)生動生電動勢的本質(zhì)進(jìn)行了研究,對洛倫茲力公式以及動生電動勢公式中的速度是相對于哪一參考系而言的這一問題，給出了較為清楚的解釋.公式中的速度、電場、磁場都是相對于同一個參考系而言的,即都是相對于觀察者而言的.當(dāng)磁場運(yùn)動時,空間中會激發(fā)電磁場,我們只有采用電動力學(xué)中完整的洛倫茲力公式才能得到正確的動生電動勢的結(jié)果.雖然在非相對論近似下,在不同的慣性參考系中,洛倫茲力的數(shù)值是相同的,但實際上不同參考系中觀察到的電磁場的情況是不同的.我們還求解了帶電粒子在運(yùn)動磁場中的軌跡問題,本文的研究結(jié)果有助于中學(xué)物理教師加深對電磁場統(tǒng)一體的認(rèn)識和對運(yùn)動磁場中電磁感應(yīng)問題物理圖像的理解.