操作比較多元表征

白凌曉 李玉琴

運用動手操作、對比觀察、多元表征等教學方法可以幫助學生認識余數，在探索余數和除數的關系中厘清商與余數的單位，理解余數要比除數小的內涵，掌握除法豎式的表達方式，進而解決簡單的實際問題。

一、操作感知，初識余數

學生在學習表內除法時積累了平均分的活動經驗，對分物過程與除法計算的關聯有直觀的認識。這是學習有余數除法的基礎。在教學中，筆者設計了三次操作活動，引導學生認識余數。

第一次動手操作。筆者把學生分成4人活動小組，給每個小組提供11根長度一致的小棒，引導他們合作完成學習任務：任意選擇一種圖形（三角形、四邊形、五邊形、六邊形），擺一擺，觀察用了幾根小棒，還剩幾根，并把結果記錄在任務單上。后續的分組匯報，學生第一次用語言、圖形、數字來表征余數。不管擺的是哪種圖形，都剩余數量不等的小棒。例如，擺五邊形的，擺了2個，還剩1根;擺三角形的，擺了3個，還剩2根。這使學生在認知上產生沖突的同時，直觀感知到余數是客觀存在的。

第二次動手操作。筆者給每個小組提供了6個草莓圖片，3個紙盤，要求每2個草莓擺一盤。學生繼續按小組完成操作。匯報結果顯示，各小組均按照2個草莓擺一盤，剛好擺完。學生不僅匯報了記錄結果，而且用除法算式6÷2=3（盤）把分的過程和結果表示出來。這樣做有效地溝通了表內除法，為接下來有余數的分物操作做鋪墊。

第三次動手操作。筆者給每個小組提供了7個草莓圖片，3個紙盤，還是要求每2個草莓擺一盤。學生操作的結果是：按照2個草莓擺一盤，擺了3盤，還剩1個。剩下的1個草莓要不要擺一盤？這1個在數學上叫什么數，在除法算式中該如何表達呢？這些問題激發了學生探究的欲望。筆者乘機引導學生把第三次操作與第二次操作進行比較，分小組討論上述問題。有的學生認為剩下的1個要擺一盤，有的學生認為題目要求每2個草莓擺一盤，剩下的1個擺不成一盤，不符合題意。筆者順勢在黑板上寫出7÷2=3（盤）……1（個），并問學生能否這樣表達。在得到肯定的答復后，筆者向學生說明：剩余的這1個，在除法中叫“余數”，記為“……1”。隨后，筆者引導學生對比操作過程，明確7÷2=3（盤）……1（個）建立在6÷2=3（盤）的基礎上，幫助學生建構對表內除法與有余數的除法關系的認知。

二、辨析“單位”，解決疑難

在認識余數的基礎上，筆者讓學生獨立完成一組課后對比練習，并比較兩個算式中商和余數的單位，引起學生對單位名稱的關注。

例如，同樣是9支鉛筆，第一問是每人分2支，可以分給（??）人，還剩（??）支;第二問是平均分給4人，每人分（??）支，還剩（??）支。學生在匯報第一問時，筆者提問：商的單位為什么是“人”，它表示什么？余數的單位為什么用“支”，它又表示什么呢？學生在匯報第二問時，筆者提問：為什么商的單位是“支”，它表示什么？余數呢？學生在交流中明白了此題中兩個商的單位不同，是因為它們表示的含義不同，第一問表示分給幾個人，第二問表示每人分幾支，而兩個余數的單位都是“支”，是因為平均分完后都剩下1支鉛筆，從而有效地解決了確定商與余數的單位這個學習難點。

三、類比推理，發現規律

余數和除數之間是怎樣的關系呢？在學生擺的過程中，筆者強調運用幾何直觀、符號、語言等多元表征方式幫助學生尋找有余數除法的規律，進而掌握算法，理解算理。

利用第一次動手操作的學具——小棒，筆者引導學生擺正方形，要求學生分小組合作，邊擺邊畫，并用除法算式做記錄。首先，學生用8根小棒正好擺2個正方形，12根小棒正好擺3個正方形;而9根、10根、11根小棒擺正方形，分別剩余1根、2根、3根小棒。接著，筆者引導學生用13根、14根、15根小棒繼續擺正方形。學生擺完后驚喜地發現，再次出現剩余1根、2根、3根小棒的情況。然后，學生用16根小棒正好擺4個正方形，沒有剩余。最后，筆者引導學生猜想用17根、18根、19根小棒擺正方形會出現什么情況。學生猜想并動手操作去驗證自己的猜想，果然再次出現剩余1根、2根、3根小棒的情況。經過對比觀察，學生發現在用小棒擺正方形的過程中，除了正好擺完之外，總是剩余1根、2根、3根小棒，不會出現剩余4根或超過4根的情況。也就是說，4根為一組時，余數不可能大于、等于4。

為了驗證這個重要的發現，筆者鼓勵學生繼續用小棒擺五邊形、六邊形、八邊形，并引導學生類比擺四邊形的情況思考它們各自的余數可能是幾、最大是幾、不可能是幾。學生操作后總結：擺五邊形的余數可能是1、2、3、4，最大是4，不可能是5或比5大的數;擺六邊形的余數可能是1、2、3、4、5，最大是5，不可能是6或比6大的數……筆者追問：如果余數大于或等于除數會出現什么情況？學生因為有了直觀的操作經驗，又經過對比分析，很容易聯想到余數如果大于或等于除數，就能夠再擺一個這樣的圖形，所以余數只能小于除數。

四、“橫豎”對比，學法明理

掌握除法豎式是學生學習的難點。怎樣讓學生接納、理解、運用除法豎式解決問題？小棒仍是有效的學習工具。

教材例題呈現13根小棒，每4根分一組，要求學生圈一圈，并用除法算式表達分的過程和結果。實踐發現，學生都能夠圈出3組、余下1根，并列出算式13÷4=3（組）……1（根）。教師呈現除法豎式的表達方式，指出其各部分的名稱，并引導學生比較、分析，得出除法橫式與除法豎式各部分之間的關系。

在學生初步認識豎式后，筆者組織學生獨立嘗試用豎式解決“把42根小棒平均分給3個人，怎么分”的問題，促使學生進一步將分物的過程與除法豎式的每一個步驟及每個數字的含義關聯起來。具體來說，第一步，先把4捆平均分給3個人，每人分1捆，還剩1捆，算式是4÷3=1（捆）……1（捆），對應豎式中40除以3，商1，余1的過程;第二步，把余下的1捆打開，與單獨的2根合在一起，共12根，算式是10+2=12（根），對應豎式中42減30得12的過程;第三步，把12根再平均分給3個人，每人4根，算式是12÷3=4（根），對應豎式中12除以3，商4，余0的過程;最后結果是每人14根。（見下圖）

從實物操作到算式表達，學生對有余數除法的理解從直觀層面過渡到抽象層面。學生自主表達除法豎式的過程，不僅提高了他們的數學表達能力，更加深了他們對有余數除法的算法和算理的理解。

（作者單位：白凌曉，襄陽市教育科學研究室;李玉琴，襄陽市海容小學）

責任編輯??劉佳