利用導數討論函數的單調性

許莉

[摘 要]導數是研究函數性質的一個重要工具，利用求導研究含參函數的單調性是高考的熱點，也是學生感到棘手的一個問題.文章結合實例，分類討論研究導數與函數的單調性之間的關系.

[關鍵詞]導數;函數;單調性

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）14-0030-02

一、利用導數求函數的單調區間

小結：利用導數判斷函數單調性的一般步驟：第一步，求函數的定義域;第二步，求導數[f ′（x）]，其中求導后若有分母就考慮通分，若能因式分解就要因式分解，不能因式分解再考慮求根公式或者其他化簡;第三步，在函數[f（x）]的定義域內解不等式[f ′（x）>0]和[f ′（x）<0];第四步，寫出函數[f（x）]的單調區間.

二、利用導數討論含參數函數的單調性

小結：求導后導函數為含參的二次函數，但是不能判斷導函數是否有零點，則需要根據判別式的正負從而得到“存在零點”和“不存在零點”的分類標準，當判別式大于零時，還要判斷是否可以比較兩零點的大小，以及零點與定義域的關系，做到分類有序、不重不漏[[2]].

通過以上例題發現，利用導數研究函數的單調性是一個有效的工具.利用導數求含參函數單調性的分類標準為：（1）求導后若導函數為含參數的一次函數，可以根據含參數的一次函數進行分類討論.（2）求導后若導函數為含參數的二次函數，若求導后不能判斷開口方向的，分類的標準是先討論二次函數的開口方向，再討論是否存在零點;若求導后導函數可以直接因式分解得到零點，則分類標準是直接對零點進行分類討論;若求導后導函數確定了開口方向，但是不能判斷是否有零點，則分類標準是直接對判別式進行分類討論[[3]].而在分類時要做到不重不漏.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 祝敏芝.利用導數研究函數的單調性問題[J].中學數學教學參考，2020（Z1）：130-133.

[2]? 王歷權，范美卿，金雷.利用導數研究函數的單調性問題[J].中學數學教學參考，2019（7）：36-39.

[3]? 陳達輝.利用導數研究函數單調性的幾種類型[J].數學學習與研究，2019（8）：97.

（責任編輯 陳 昕）