導數在經濟分析中的應用

王元昆

貴陽市第一中學

一、引言

作為數學中最重要的概念之一，導數可以幫助人們分析因變量隨自變量的變化速率。在分析電場強度、化學反應速率、確定某一種群中雌性個體的數量變化規律時，人們都需要應用導數的知識。可以說，導數在科學研究、工業等領域有著廣泛的應用。

經濟學家常常需要對市場中經濟資源的利用進行研究。自由經濟市場的政府工作人員也需要根據經濟變量的變化情況，評估當前的經濟狀況。經濟分析通常被定義為確定稀缺或有限經濟資源的最佳利用的系統方法，它是用來評估企業、地區、國家的經濟狀況的主要工具。應用與導數相關的知識，經濟學家可以高效地闡述關于經濟體系的學術觀點，分析復雜的經濟學問題。企業的管理者可以高效地對多種經營問題進行定量，準確地把握經濟變量的變化規律，從而制定正確的戰略。

二、應用導數分析經濟學問題的優勢

（一）準確地把握經濟變量之間的關系

應用與導數相關的知識，人們可以準確、高效地把握變量之間的關系。在研究某一國家或地區的居民的消費習慣時，經濟學家常常需要分析，當人們的收入水平提高時，他們的消費水平將如何發生變化。這兩個變量的單位是相同的，但是它們的關系卻不是線性的。應用導數的知識，人們可以計算當收入每增加一個非常微小的單位時，消費將會發生什么方向、多大的變化，這種變化與收入的增量的比值是多少。導數可以幫助經濟學研究者準確地把握消費與收入的關系。類似地，當人們需要分析成本、收入、利潤與產量或雇傭人數的關系時，或者投資收益和投入資金的關系時，他們都可以應用導數，定量地、高效地分析相關問題，得到準確的結論。

（二）預測某些經濟變量的發展趨勢

導數還能夠幫助人們預測某些經濟變量的發展趨勢。讓我們來分析著名的古諾問題：在壟斷市場中有兩家企業，它們生產的某種商品幾乎完全相同，且它們的生產工藝、生產成本也是相同的。其定價必然也是相同的。因為如果某一方的定價低于另一方，那么人們就會購買將價格定得較低的廠商的商品。在制定生產策略時，這兩家企業的決策者可能需要分析在擴大產量后對方的決策—對方的產量將會如何變化。應用導數的知識，決策者可以建立含有兩個變量—己方銷量和對方銷量的模型，并結合博弈論的知識進行推演，從而預測對手對自己的增產決策的反應，以及該種商品的市場價格的變化。如果不應用導數的知識，那么人們很難準確地預測這些經濟變量的變化趨勢。

（三）制定最優解決方案

導數還可以幫助企業的經營者管理者確定最佳價格、最佳產量及最佳銷量，從而實現利潤的最大化。當人們想要通過改變某一影響因素，實現成本最小化、收入最大化或利潤最大化時，他們可以將這一影響因素量化，并建立能夠描述該因素與成本、收入或利潤的關系的數學模型。然后，就可以通過求解成本、收入或利潤對該因素的導數，找出相關函數的駐點，從而確定如何控制上述影響因素可以達到成本最小化、收入最大化或利潤最大化的目的[1]。

三、導數在經濟分析中的應用

（一）求解最優產量及銷量

在經濟學中，我們經常會遇到與生產量和銷售量相關的問題。如何確定最合適的生產量及銷售量，使利潤更高，是一個非常常見的問題。在遇到這類問題時，我們可以應用邊際分析，結合生產成本、銷售費用、銷售單價等，確定最合適的生產量及銷售量。這可以使企業制定更合適的生產計劃，保持企業的平穩發展。

1.運用邊際分析求解最優產量

在確定最優產量的過程中，我們需要對產品的邊際成本進行分析。首先，我們對邊際成本的概念進行介紹。我們把某產品的產量作為自變量q，把生產過程中的總成本（包括固定成本及可變成本）作為因變量C，就可以得到總生產成本函數C=C(q)。當產量增加Δq，即產量由q變為q＋Δq時，總成本將由C變為ΔC，其變化量即為ΔC，我們對ΔC與Δq的比值進行分析，就可以得知，每多生產一單位產品時，總成本將上升多少，這就是邊際成本的概念。一般而言，隨著產量的提升，邊際成本會逐漸下降，這就是生產的規模效應。可以分析邊際成本的變化規律，從而確定最合適的生產規模，從而求得最優產量[2]。

2.運用邊際分析求解最優銷量

許多人認為，應當盡量提高銷量。銷量越高，企業的總收入越高。然而，在現實生活中，銷量并非越高越好。在一些供過于求的情況下，如果企業一味追求高銷量，可能會導致一些產品以低于成本的價格賣出，這對企業的長期發展非常不利。因此，我們需要運用邊際分析，確定最合適的銷量，使企業在獲得較高收入的同時，保持平穩發展。

在確定最優銷量的過程中，我們同樣需要進行邊際分析。應當同時考慮價格和產量，才能得到最優銷量，提高銷售收入。可以把某商品的銷量作為自變量q，把銷售過程中的獲得的總收入作為因變量R，用q表示相應的價格p之后，就可以得到銷售收入函數R=R(q)。通過求解R(q)對q的導數，人們就可以得到最佳銷量，以及對應的價格[3]。

（二）應用導數求解最佳定價

1.經濟學中彈性的含義

若函f(x)在x0的臨近區域內數有定義，且且f（x）≠0，若極限存在，則將該極限的值記為函數f(x)在x0處的彈性，通常記為，則可求出。

2.需求價格彈性的含義

若用Q 表示某一商品在市場中的需求量，p表示商品的價格，且二者構成的需求函數存在導函數，則將稱作該商品的需求價格彈性，記作εp。

根據經濟學原理，當某一商品的價格上漲時，顧客可能會做出減少購買量或者不購買的決策，也就是說，該商品的市場需求量將會下跌。一些經濟學研究證實了這一原理，因此εp的值通常小于0。我們常常以εp的絕對值為參考，研究對象，對市場需求及消費者行為做出預測，從而制定較為合理的生產及銷售計劃，避免庫存積壓[4]。

需求價格彈性反映了顧客對價格變化的敏感程度，且由于需求價格彈性并非需求對價格的導數，而是需求對價格的導數與價格需求比的乘積，它可以較為精準地反映顧客對價格變化的敏感程度[5]。

一些商品是維持企業運轉所必須的，或者是維持人類生活所必須的，這類商品的需求價格彈性通常較小。在價格發生變動時，顧客將基本維持原來的購買量，總需求量將不會發生很大的變化；還有一些商品是奢侈品，很多人在日常的生活中可能不需要這種商品。這類商品的需求價格彈性通常較大。在商品的價格發生變化時，顧客會根據價格的變化幅度，做出相應的決策，總需求量將發生較大的變化。利用導數，我們可以較為直觀地描述市場規律，從而為企業的經營者和決策者提供制定銷售計劃的依據[6]。

需要注意的是，在一些情況下，我們要根據實際情況靈活地處理問題。在不同時期，某一商品的需求價格彈性可能不同，企業的經營者應當綜合考慮可能影響市場情緒的因素，從而制定最佳的銷售策略，增加企業的收入。

3.導數在商品需求價格彈性與總收入關系中的應用

一般來講，在商品的銷售過程中，企業最關注的是價格變化給收益帶來的影響.假設某商品的單價為p，銷售總收入為R，則有R＝Q＊p.若此時對價格進行 Δp的改變，則有。

因此，當產品處于高彈性狀態時，我們可以通過降低價格來增加總收入，此時雖然商品的單價較低，但是銷量的增幅較大，企業的收入將提高；當產品處于低彈性狀態時，我們可以通過提高價格來增加總收入。

某企業的經營者在市場調查中發現，其生產的A商品的需求函數為，試求：

（1）該產品的需求價格彈性函數。

（2）求當p＝2，p＝4，p＝10時的需求價格彈性值，并闡述其經濟學含義。

解：

（2）當p＝2時，εp＝－0.5＞－1，此時商品處于低彈性狀態，說明此時顧客對價格不敏感，商品屬性接近生活必需品。提高價格，商品的總收益將會增加。

當p＝4時，εp＝－1，此時商品處于單位彈性狀態，改變價格將不會影響總收益。

當p＝10時，εp＝－2.5＜－1，此時商品處于高彈性狀態，說明此價格區間內，顧客對價格比較敏感。如果繼續提高價格，銷量將大大降低，說明此時提高價格將會降低商品的總收益。

四、結語

作為微積分學的重要概念，導數可以反映一個變量相對于其他變量的變化率。在經濟學研究中，這種對變量間關系的分析是至關重要的，它可以幫助人們分析復雜的經濟體系的特征，為企業的戰略制定者提供理論參考。經濟學家和企業的管理者應當具備應用導數知識建立數學模型的能力，才能在不同的場景中高效地進行定量分析，找到可靠的解決方案。