混合元模型自適應空間探索優化方法及應用

葉鵬程，潘光，魯江鋒

(1.西北工業大學 航海學院，陜西 西安 710072；2.西北工業大學 無人水下運載技術重點實驗室，陜西 西安 710072)

現今復雜產品的設計通常涉及多目標、多學科等計算耗時的仿真分析過程，使得產品設計優化過程異常復雜。傳統的基于仿真分析優化方法往往需要調用數以千計的真實分析模型來處理復雜工程問題，耗費大量計算資源。而元模型能夠在復雜產品設計優化過程中替代真實分析模型，極大地降低計算量，被廣泛應用于工程設計優化領域[1]。目前，廣泛使用的元模型包括：多項式響應面(polynomial response surfaces，PRS)、徑向基函數(radial basis functions，RBF)、克里金(Kriging，KRG)等。對于不同特性優化問題，上述元模型擁有各自優勢和不足，在諸如精度、效率、魯棒性等方面表現各異[2]。Goel等[3]提出了基于廣義均方根誤差的權重因子計算方法，通過測試函數驗證了混合元模型在預測精度和魯棒性方面均優于所選單一元模型。Acar等[4]通過最小化混合元模型的最大絕對誤差來獲得權重因子。黃煥軍等[5]使用混合元模型擬合車身正面碰撞、側面碰撞和白車身模態分析等多種響應，建立針對安全性的車身結構多學科優化模型。上述研究表明混合元模型擁有選取的多個元模型的優點，能夠同時獲取更多關于未知優化問題的信息，有效降低單一元模型出錯率，魯棒性更強。

盡管各類基于元模型優化方法提高了優化效率，但仍無法高效求解復雜工程優化問題。空間探索方法能夠識別包含全局最優點的潛在區域，極大緩解計算壓力。周仕明等[6]提出一種基于元模型和聚類算法的設計空間分割與減縮優化方法。龍騰等[7]提出一種基于信賴域動態徑向基函數優化策略。Younis等[8]利用空間探索和單峰區域消除(space exploration and unimodal region elimination，SEUMRE)策略加快尋優進程。Gu等[9]提出一種基于多個元模型自適應建模優化方法(hybrid and adaptive metamodeling，HAM)，通過確定有效的設計子空間，加快優化收斂速度。

本文針對混合元模型和空間探索方法的特點，提出了混合元模型自適應空間探索優化方法(hybrid metamodels based adaptive space exploration optimization method，HMASEO)。HMASEO方法能夠在迭代過程中自適應提高混合元模型在有效設計子空間內的近似精度，通過逐步減小探索區域以較快的速度收斂到全局最優解。最后，將HMASEO方法成功應用于翼身融合水下滑翔機(blended wing body underwater glider，BWBUG)外形設計優化實例中，驗證其有效性和優越性。

1 混合元模型

混合元模型由多個元模型線性加權組合而成，其數學表達式為：

(1)

混合元模型預測精度很大程度上由權重因子決定，權重因子的選擇需滿足2個基本原則：1)能夠反映元模型近似精度；2)能夠避免元模型在樣本稀疏區域糟糕表現。Goel等[3]根據上述原則，采用預測均方根誤差計算權重因子：

(2)

(3)

2 自適應空間探索方法

自適應空間探索方法利用迭代過程中已有的“昂貴”樣本點確定2個有效的設計子空間“S1”和“S2”。然后在S1和S2內進行空間探索，并通過補充新樣本點自適應更新。設計子空間S1往往包含更多的局部最優點，而S2則更專注于探索關鍵區域。

2.1 S1空間探索方法

按照所有樣本點對應的真實目標函數值進行排序，選擇目標函數值較小的前M1個樣本點(M1取值為“昂貴”樣本點數量一半)。然后使用模糊C均值聚類算法[6](fuzzy C-means，FCM)計算得到設計子空間S1，具體計算公式為：

(4)

采用多起點序列二次規劃算法(multi-start SQP，MS-SQP)在設計子空間S1內對混合元模型進行全局尋優，獲得數量為MS近似響應面全局最優點，根據預測響應值的大小從中選擇所需數量的新樣本點。MS取值滿足：

(5)

式中m表示樣本點數據庫中“昂貴”樣本點數量。

2.2 S2空間探索方法

選用真實目標函數值較小的前M2個“昂貴”樣本點，設計子空間S2計算公式為：

(6)

本文提出一種混合自適應有效樣本方法(hybrid and adaptive promising sampling，HAPS)在設計子空間S2內確定新增樣本點。HAPS方法操作步驟如下：

7)確定同時出現在任意2個樣本集或3個樣本集中的樣本點，3個樣本集A、B、C將被劃分為7個樣本子集E～K(如圖1所示)：

圖1 樣本子集E～K

(7)

8)在所有樣本子集E～K中選取數量為Num_new有效樣本點，各子集分配到的樣本點數量Snewi由如下公式決定：

(8)

式中：i表示各樣本子集E～K序號，round表示對結果進行四舍五入。λi為反映不同樣本子集重要性的權系數，由各樣本子集本身重要性指數li和包含的樣本點數量ri共同決定。本文將li取為樣本子集涉及的元模型數量，即l1=3，l2-4=2，l5-7=1。

在探索過程中，S1和S2可能出現不包含實際全局最優解情況。為了避免HMASEO方法陷入局部最優，同樣采用HAPS方法在初始全局空間(original global space，OGS)內進行探索。HMASEO方法每隔3次迭代依次在OGS、S1和S2空間內進行探索，確定新增樣本點，自適應更新混合元模型和設計子空間S1和S2。

3 HMASEO方法

本文提出的HMASEO方法聯合混合元模型和自適應空間探索方法，流程見圖2，步驟如下：

1)建立真實分析模型，確定設計變量和設計空間，初始化HMASEO方法參數，令迭代參數k=1。

2)使用增強隨機進化算法[10](enhanced stochastic evolutionary，ESE)在整個設計空間內生成8個初始樣本點，同時調用真實分析模型計算響應值。將設計樣本點及其所對應的真實模型響應值保存到樣本點數據庫中。

3)提取樣本點數據庫中的所有樣本點及其所對應的真實模型響應值，分別構造單一元模型PRS、RBF和KRG。

4)求解式(3)中的優化問題，計算得到優化權重因子，構造混合元模型。參數α和β初始值分別設為0.05和-1。

5)判斷迭代數k是否滿足公式Rem(k, 3)=2,如果滿足，則計算設計子空間S1；否則，轉入步驟7)。Rem表示計算余數。

6)采用MS-SQP算法在設計子空間S1內產生3個有效樣本點，轉入步驟10)。

7)判斷迭代數k是否滿足公式Rem(k, 3)=0,如果滿足，則計算設計子空間S2；否則，轉入步驟9)。

8)采用HAPS方法在設計子空間S2內產生3個有效樣本點，轉入步驟10)。

9)采用HAPS方法在初始全局空間OGS內產生3個有效樣本點。

10)將獲得的有效樣本點和樣本點數據庫中已有樣本點進行比較，滿足式(9)的有效樣本點將被剔除。保存剩余新樣本點及其所對應的真實模型響應值到樣本點數據庫中。

(9)

式中：d表示有效樣本點xp和數據庫中樣本點xe在任意維度上的最大距離，Ubi和Lbi分別表示整個設計空間在第i維上的上下邊界值。η為距離控制系數，較大的η值會使優化算法錯失重要的新樣本點，而較小的η值則會產生多余的新樣本點，浪費計算資源，本文η值取0.000 1。

11)重復步驟3～10，直到滿足終止準則，終止準則數學表達式為：

(10)

4 測試結果與分析

4.1 標準優化函數

選用8個經典標準優化函數來測試HMASEO方法的性能，同時選取2種經典的基于元模型優化方法HAM和SEUMRE進行比較分析。

1)Six-hump Camel-Back函數(SC)，n=2

x∈[-2，2]，fmin=-1.031 6

(11)

2)Goldstein and Price函數(GP)，n=2

x∈[-2，2]，fmin=3

(12)

3)Branin函數(BR)，n=2

x1∈[-5，10]，x2∈[0，15]，fmin=0.397 9

(13)

4)Trid 6函數(TR6)，n=6

x∈[-36，36]，fmin=-50

(14)

5)Trid 10函數(TR10)，n=10

x∈[-100，100]，fmin=-210

(15)

6)Sphere函數(SP12)，n=12

x∈[-5.12，5.12]，fmin=0

(16)

7)Sum Squares函數(SF15)，n=15

x∈[-10，10]，fmin=0

(17)

8)A Function of 16 Variables函數(F16)，n=16

i=1，2，…，n，x∈[-1，1]，fmin=25.875 0

(18)

式中αij取值參考文獻[9]。

本文選用的8個標準優化函數從低維到高維，具有不同函數特性，能夠代表不同特征工程設計優化問題。對于每個測試函數，分別用3種優化方法連續運行10次以減小隨機誤差影響，避免獲得不具代表性的優化結果。在測試過程中，3種優化方法SEUMRE、HAM和HMASEO的收斂參數ε分別設為0.01、0.01和0.001。在實際工程應用中，優化時間基本上取決于調用真實分析模型的次數NFE。因此，對于工程優化方法來說，盡可能減少調用高精度分析模型的次數是一個非常重要評價指標，本文采用NFE來表征優化效率。另外，收斂全局最優解fopt也將用于反映優化精度和魯棒性。3種優化方法精度和效率測試結果對比如表1和表2所示。

表1 優化精度測試結果對比

表2 優化效率測試結果對比

分析表1優化精度測試結果可知，在實際最優解未知的情況下，HMASEO方法能夠成功捕捉到所有測試函數的理想優化解(與真實最優解相差在1%以內)，除SC和GP函數外優化精度均好于比較方法HAM和SEUMRE。而對于SC和GP函數，HMASEO方法獲得的優化結果與實際全局最優解也非常接近，相差在1%以內。HAM方法在SC和GP函數中獲得的fopt平均值最接近實際全局最優解，但在高維函數TR10、SF15和F16中，分別有數次無法獲得收斂優化解(Shan等[11]將設計變量n≥10定義為高維問題)。同樣地，SEUMRE方法在高維函數TR10、SP12、SF15和F16中無法獲得令人滿意的優化解。測試結果表明HMASEO方法不僅具有較高優化精度，而且具備處理高維優化問題能力，而HAM和SEUMRE方法無法在有限計算資源內獲得令人滿意的全局優化解。

分析表2優化效率測試結果可知，HMASEO方法在其中6個測試函數中均能以最小計算資源獲得理想優化解，僅在SC和GP函數中所需NFE多于SEUMRE方法。以TR6函數為例，HMASEO方法平均只需要調用真實分析模型 95.1次，比HAM方法平均少101.2次，比SEUMRE方法少105.2次。另外，HAM和SEUMRE方法在2個函數TR10和SF15中完全不能捕捉到全局最優解，同時在F16函數中分別有4、1次無法得到收斂優化解。HMASEO方法采用自適應空間探索方法，能夠有效減少真實分析模型調用次數，減輕計算壓力，優化效率明顯高于比較方法HAM和SEUMRE。

為了更加直觀展現HMASEO方法在魯棒性方面優勢，采用箱線圖對各測試函數優化結果進行統計分析，如圖2所示。箱線圖矩形內部的橫線表示中位數，矩形上下兩端分別對應數據的上、下四分位數，矩形端外的2條線段分別對應數據的上、下四分位距，這2條線段表示異常值截斷處，異常值截斷處之外的點為異常值，用+表示。異常值通常與其他統計結果相差較大，表示可靠性較低。分析圖中矩形盒長度和中位線可以看出，HMASEO方法在所有測試函數中均表現穩定，具有很強魯棒性。而比較方法HAM和SEUMRE表現糟糕，優化結果分布分散，魯棒性較弱。再來分析圖中異常值，發現3種方法在不同測試函數中均存在異常值，其中HMASEO方法在SC、GP、BR、F16函數中存在異常值。事實上，HMASEO方法對于所有測試函數都能獲得理想優化解，因此異常值在選取的測試函數中并不能很好地表征魯棒性。HMASEO方法在尋優過程中同時調用3種典型元模型，可以很好地利用各模型優點，有效規避每個模型本身不足之處，形成組合保險機制，相比其他優化方法更加穩健高效。

圖2 各測試函數優化結果箱線

4.2 翼身融合水下滑翔機外形設計優化實例

翼身融合水下滑翔機外形采用翼身融合技術，使得整體沿翼展方向各截面均為翼型，可視為由一系列不同截面翼型組成滑翔機，如圖3所示。BWBUG外形設計優化是一個極其復雜的系統工程問題，不僅設計周期長，研制成本高，而且優化模型復雜。參考文獻[12]，本文在保持BWBUG總體外形輪廓不變前提下，以升阻比最大為優化目標，選擇了7個關鍵位置處的站位翼型在攻角α=7°、速度v=1 m/s工況下進行優化，然后將優化翼型代替初始翼型，最后使用Unigraphics NX(UG)軟件利用優化翼型重新生成BWBUG優化外形。圖4給出了7個站位翼型的位置示意圖，圖中l1～l7和d1～d7分別表示站位翼型與中心截面翼型前緣的水平和垂直距離。7個站位翼型基本信息如表3所示。

表3 站位翼型基本信息

圖3 初始BWBUG外形設計

圖4 站位翼型展向位置

采用4階形狀類別函數變換方法[13](class function/shape function transformation，CST)構建得到站位翼型的參數化模型，并保證優化BWBUG外形仍為上下對稱。每個站位翼型的優化設計變量數為5，因此BWBUG外形設計優化問題總共包含35個設計參數。站位翼型優化問題定義為：

(19)

表4 站位翼型設計變量取值范圍

站位翼型優化結果如表5所示，3種優化方法SEUMRE、HAM和HMASEO獲得的BWBUG優化外形的升阻比均大于初始外形，分別提高了19.00%、23.19%和24.32%。而HMASEO方法優化得到的BWBUG外形升阻比為14.26，高于比較方法HAM和SEUMRE。同時，HMASEO方法優化過程中調用的真實分析模型次數NFE僅為426次，相比HAM和SEUMRE方法分別減少了235次和88次，HMASEO方法所需的計算資源最少。另外，HAM方法得到的優化外形的排水體積最大，相比初始設計提高了3.03%，而SEUMRE、HMASEO方法分別提高了1.52%和2.65%。排水體積的增大能夠使BWBUG獲得更大的有效容積，攜帶更多的儀器設備，拓寬其任務范圍。

表5 BWBUG外形設計優化結果對比

分析上述結果可以發現，當BWBUG外形選用水動力性能更優的站位翼型時，滑翔機整體外形的升阻比將得到同步提高。另外，相比HAM和SEUMRE方法，本文提出的HMASEO方法不僅極大地降低了計算資源，同時提高了BWBUG外形的流體動力性能和有效容積，具有較強的工程實用性和有效性。

5 結論

1)自適應空間探索方法打破了傳統優化方法依賴經驗給定設計空間的局限，通過自適應更新設計子空間，逐步提高混合元模型在最優解附近的近似精度，最后引導優化快速收斂到全局最優解。

2)采用8個標準優化函數和翼身融合水下滑翔機外形設計優化實例對HMASEO方法的性能進行測試，并與HAM和SEUMRE方法進行比較分析，結果表明HMASEO方法在全局收斂性、優化效率和魯棒性方面具有一定的優越性，尤其是針對高維優化問題。

HMASEO方法在處理高維工程問題時還有待進一步研究與提高。在未來研究中，考慮引入維度降低策略，發展針對高維優化問題的自適應空間探索方法。