抓住彈簧模型特征，提升學科思維品質
——彈簧類問題歸類探析

云南

(作者單位：云南省保山市施甸縣第一完全中學)

彈簧模型是一個典型的變力模型，彈簧的形變量發生改變時，其彈力隨之變化，這種瞬時性變化特征使彈簧模型能很好地融入到動態平衡問題和牛頓第二定律的瞬時性問題中，從而考查學生應用動力學觀點解決問題的能力；此外，彈簧的形變量發生改變時，彈簧的彈性勢能也跟著變化，因此彈簧模型也常常和能量守恒定律、動量守恒定律糅合在一起形成綜合性問題，從而考查學生應用守恒觀點解決問題的能力。正因為彈簧模型是考查學生核心素養的良好題材，彈簧類問題一直是高考中的熱點，本文對這些問題進行歸類探析。

一、彈簧模型與力學問題

彈簧彈力與重力、摩擦力等性質力一樣是矢量，其運算規則仍然遵循平行四邊形定則和三角形定則，正交分解、效果分解等方法依然適用，因此處理彈簧類力學問題時，我們依然按照“先分析重力和已知力、然后分析彈力、最后分析摩擦力”的順序完成，只不過彈簧彈力與其形變量成正比，這個特征決定了設問角度的多樣化，考生解答彈簧類力學問題時，可對設問角度和設問方式多加揣摩。

【例1】(原創)如圖1，用一根輕繩將a、b兩個小球連接在一起，再用另一根輕繩將兩個小球掛在天花板上，現用一根輕彈簧對小球a施加拉力F(F未知)，使Oa繩緩慢偏離豎直方向的夾角為30°，然后使整個裝置靜止不動，接著拉力F緩慢從水平方向旋轉到豎直方向(旋轉過程中整個裝置依然靜止不動)，已知彈簧的勁度系數為k，兩小球的質量均為m，當地重力加速度為g，在此旋轉過程中，下列說法正確的是

( )

A.拉力F逐漸減小

B.Oa繩的拉力先增大后減小

圖1

圖2

【答案】C

【解題總結】三力動態平衡一直是高考的熱點，把這類題型吃透是很有必要的，但一法通吃各種情形的策略往往繁瑣不堪，因此最好的做法是分門別類，針對不同條件，靈活選用不同的方法。筆者通常給學生總結如下的三種情況：(1)三力平衡時，有一個力是恒力，還有一個力的方向不變，優先考慮圖解法判斷動態變化；(2)三力平衡時，有一個力是恒力，且其余兩個力之間的夾角保持不變，優先考慮拉密定理判斷動態變化；(3)三力平衡時，有一個力是恒力，其余兩個力的方向都在變，優先考慮三角形相似判斷動態變化。

【例2】(改編)如圖3，將一質量為m的小球放在傾斜角為θ1=30°的固定光滑斜面上，再用一根一端固定在天花板上的輕彈簧將小球拴住，小球平衡時，彈簧與豎直方向的夾角為θ2=30°，當地重力加速度為g，下列說法正確的是

( )

圖3

D.若用原長相同但勁度系數更大的輕彈簧取代原來的彈簧，小球重新平衡時，彈簧仍處于拉伸狀態，此時斜面對小球的支持力變小

圖4

【答案】BD

【解題總結】處理牛頓第二定律的瞬時性問題時，一定要注意彈力施力物體形變量的程度，“微小形變型”彈力會隨著其他力的變化而發生突變，但“明顯形變型”彈力不會隨著其他力的變化而發生突變，本題中彈簧的彈力屬于“明顯形變型”彈力，因此將斜面突然撤走的瞬間，彈簧彈力保持不變。

二、彈簧模型與能量問題

【例3】(改編)如圖5，將一原長為3.5L、勁度系數為k的輕彈簧的一端固定在P點，另一端與質量為m的小球拴接在一起，再將小球套在光滑的豎直桿上。現將小球從A點由靜止釋放，它在下降的過程中依次經過了B、C點，已知PB⊥AC，PA=3L、PC=4L、AC=5L，重力加速度為g，下列說法正確的是

( )

圖5

D.小球從A點運動到C點時，其機械能先減小后增大

【答案】BC

【解題總結】小球沿著桿下滑時，彈簧彈力對小球所做的功屬于變力做功，因此計算小球的速率時，優先考慮能量守恒定律，本題中系統的能量在重力勢能、動能和彈性勢能之間轉化，分成三種情況討論：(1)若彈簧的末態形變量等于初態形變量，則小球重力勢能的減少量等于小球動能的增加量；(2)若彈簧的末態形變量大于初態形變量，則小球重力勢能的減少量等于小球動能增加量與彈性勢能增加量之和；(3)若彈簧的末態形變量小于初態形變量，則小球重力勢能減少量與彈性勢能減少量之和等于小球動能的增加量。正因為彈簧的彈性勢能與彈簧形變量有關，因此充分利用幾何關系算出小球處在各個位置時彈簧的形變量是解答本題的關鍵。

圖6

(1)若P的質量為m，請通過計算說明物塊P能否運動到D點；

(2)若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質量的取值范圍。

【試題解析】(1)由平衡條件得

當彈簧被壓縮至長度l時，彈簧的彈性勢能為

設P的質量為M，到達B點時的速度大小為vB，由能量守恒定律得

聯立①②式，并將題給條件M=m代入可得

若P能沿圓軌道運動到D點，其到達D點時的向心力不能小于重力，即P此時的速度大小v滿足

設P滑到D點時的速度為vD，由機械能守恒定律得

vD滿足⑥式要求，故P能運動到D點。

(2)為使P能滑上圓軌道，它到達B點時的速度不能小于零，有

5mgl>μMg×4l⑨

為使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點C。由機械能守恒定律有

聯立④⑨⑩式得

三、彈簧模型與動量問題

如圖所示，足夠長的光滑水平地面放著A、B兩滑塊，其中B滑塊的左端固定著一輕質彈簧，A滑塊現以速度v0向右運動壓縮彈簧，在壓縮的起始階段，在彈力的作用下A滑塊做減速運動，B滑塊做加速運動，因此到了某個時刻兩者必然共速，在共速以前，A的速度始終大于B的速度，所以彈簧的壓縮量越來越大；在共速以后，在彈力的作用下A的速度繼續減小，B的速度繼續增加，此時B的速度大于A的速度，彈簧的長度逐漸增加，直到恢復原長，綜上所述，兩者速度相等時，彈簧壓縮量最大，此外從A開始壓縮彈簧到彈簧恢復原長的過程中，彈性勢能變化量為零，系統的初態動能與末態動能相等，因此該過程可等效成彈性碰撞。

圖7

【例5】(改編)如圖8甲所示，在光滑水平面上，輕彈簧一端固定在墻上，滑塊A以速度v0向右運動壓縮彈簧，測得該過程中彈簧的最大壓縮量為x。現讓彈簧一端連接另一質量為m的滑塊B(如圖8乙所示)，滑塊A以2v0的速度向右運動壓縮彈簧，測得彈簧的最大壓縮量仍為x，則

( )

A.滑塊A、B的質量之比為3∶1

B.彈簧壓縮量最大時，滑塊A的動量大小為5mv0

D.在圖乙中，彈簧第一次恢復原長時滑塊B的速率為3v0

甲

乙

【答案】ACD

綜上所述，彈簧模型能和力學問題、能量問題和動量問題有機地結合在一起，考查學生的核心素養，學生只有熟悉彈簧模型的特征，通過模型特征提升自己解決問題的能力，在考場上才能從容不迫地面對各種創新題。