追及和相遇問題探析

浙江

(作者單位：浙江省義烏市第二中學)

追及和相遇問題作為運動學中一類較為典型的問題，其本質就是研究兩個物體能否在同一時刻到達同一位置。求解此類問題屬于運動學規律的應用問題，把握追趕物體與被追趕物體之間的追及和相距最遠(或最近)的臨界條件，是順利解題的關鍵。本文就如何解答追趕問題作初步的探討。

一、把握一個條件

兩個運動的物體速度相等時，是兩個物體間能否追上或兩個物體距離最大、最小的臨界條件，這是分析判斷追及相遇問題的關鍵點。因此，在審題時必須抓住問題中的關鍵字眼，充分挖掘問題中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等。

二、抓住兩個要點

1.若被追趕的物體做勻減速直線運動，則必須注意追上前該物體是否已經停止運動。

2.要注意對解題結果的分析討論，尤其要注意解題結果必須與實際情況相符。

三、理清三大關系

理清兩個運動物體間的速度關系、時間關系、位移關系是解決追及相遇問題的重要步驟。

1.時間關系：t1=t2±t0。要注意弄清兩個物體是同時出發還是先后出發，由此，可以確定兩個物體運動的時間關系。

2.位移關系：x1=x2±x0。確立兩個物體間的位移關系是求解追及相遇問題的關鍵步驟。解題時必須明確兩個物體是從同一位置出發還是從不同位置出發的，由此可以建立兩個物體間的位移關系。

3.速度關系：v1=v2。兩個運動的物體，其速度相等是判斷是否能追上或者兩個物體間距離最大(或最小)的臨界條件。

四、巧用四種方法

1.臨界法。速度相等往往是兩個追趕物體是否追上或相距最遠(或最短)的臨界條件。如速度較小的物體加速追趕速度較大的物體，當兩物體的速度相等時有最大距離；速度較大的物體減速追趕速度小的物體，若追不上則在兩物體速度相等時有最小距離。

【例1】小成以v0=7 m/s的速度追趕前方x0=10 m處、從靜止開始以加速度為a=2 m/s2做勻加速直線運動的客車，則：

(1)小成能否追上客車？

(2)若能追上，要經過多長時間？

【分析】(1)若客車的速度達到v=7 m/s時小成還沒有追上，則以后就再也追不上了。設客車的速度達到v=7 m/s 所經歷的時間為t，由速度公式得

在t=3.5 s內，小成通過的位移為

x1=v0t=7×3.5 m=24.5 m

在t=3.5 s內，客車通過的位移為

顯然，x1>x2+x0，可見，小成可以追上客車。

代入數據，聯立以上方程解得t1=2 s，t2=5 s(不符題意，舍去)

2.函數法。設在t時刻追趕物體追上被追趕物體，由位移關系求出關于t的方程f(t)=0，若方程f(t)=0無正實數解，則說明它們不可能相遇；若方程f(t)=0存在正實數解，說明它們可以相遇。

【例2】火車A以vA=20 m/s的速度勻速行駛，司機發現前方同軌道上相距x0=100 m處有另一列火車B正以vB=10 m/s速度勻速行駛，火車A立即做加速度大小為a的勻減速直線運動。要使兩車不相撞，a應滿足什么條件？

代入數據解得at2-20t+200=0

要使兩車不相撞，則以上方程應無實數解，即滿足

b2-4ac<0

代入數據得(-20)2-4×a×200<0

解得a>0.5 m/s2

3.圖像法。若通過作出位移—時間圖像(x-t)求解，則如果兩個物體的位移—時間圖像有相交點，說明追趕物體可以追上被追趕物體；若通過作出速度—時間圖像(v-t)求解，則由圖線與時間軸包圍的面積來判斷追趕物體能否追上被追趕物體，若在t時間內兩個物體在圖像上相應的面積相等，則說明可以追上。

【例3】如圖1所示，一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以3 m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時一輛自行車以6 m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試求：汽車從路口開動后，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？汽車追上自行車所用的時間是多少？

圖1

【分析】先作出自行車和汽車的速度—時間圖線如圖2所示。

圖2

顯然，自行車的位移x自等于其圖線與時間軸圍成的矩形的面積，而汽車的位移x汽等于其圖線與時間軸圍成的三角形的面積。兩車之間的距離則等于圖中矩形的面積與三角形面積的差，從圖中看到，當t=t0時矩形與三角形的面積之差最大。

由于v-t圖像的斜率表示物體的加速度，則

解得t0=2 s

因此，在t=2 s時兩車的距離最大，即

設經時間t1汽車追上自行車，由面積關系得

解得t1=4 s

4.相對運動法。用相對運動的知識求解追及問題時，常把被追趕物體作為參考系，這樣，追趕物體相對被追趕物體的各物理量即可表示為x相對=x后-x前，v相對=v后-v前，a相對=a后-a前，求解時注意將各物理量(矢量)的符號都應以統一的正方向進行確定。

【例4】火車以速率v1向前行駛，司機突然發現在前方同一軌道上距車為s處有另一輛火車，它正沿相同的方向以較小的速率v2做勻速運動，于是司機立即使車做勻減速運動，該加速度大小為a，則要使兩車不相撞，加速度a應滿足什么條件？

【分析】以前車為參照系，后車的初速度為v0=v1-v2，以加速度大小a做勻減速運動，行駛位移s后速度減為零，即末速度vt=0。

所以，要使兩車不相撞，a應滿足的條件是

五、熟悉八類題型

1.勻減速追勻速。如圖3所示，開始時，追趕物體與被追趕物體間的距離在減小，當兩物體速度相等時，即t=t0時刻：

圖3

(1)若兩個物體的位移差等于兩個物體追趕前的距離，即Δx=x0，則追趕物體恰能追上被追趕物體，且兩個物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件；

(2)若兩個物體的位移差小于兩個物體追趕前的距離，即Δx

(3)若兩個物體的位移差大于兩個物體追趕前的距離，即Δx>x0，則它們可以相遇兩次，設t1時刻有Δx1=x0，追趕物體第一次追上被追趕物體；接著，追趕物體超越被追趕物體運動到前方，但隨著做勻減速運動物體的速度越來越小，在t2時刻做勻速運動的物體又追上做勻減速運動的物體，即有Δx2=x0，被追趕物體追上追趕物體，實現第二次相遇。

【例5】女孩正以3.5 m/s的速度在平直道路上跑步，突然發現正前方8 m處有一婦女牽著一只兇狠的大灰狗以1.0 m/s的速度做同方向的勻速直線運動，為了避免與大灰狗相遇，女孩立即做加速度大小為1.0 m/s2的勻減速運動，問女孩能遇上大灰狗嗎？

【分析】設當女孩的速度減小到1.0 m/s時所經歷的時間為t，由速度公式得v=v0+at

在t=2.5 s內大灰狗通過的位移為

x2=vt=1.0×2.5 m=2.5 m

由于x1

2.勻速追勻加速。如圖4所示。設做勻速運動的追趕物體的初速度為v1，做勻加速運動的被追趕物體的初速度為v2。當兩物體速度相等時，即t=t0時刻：

圖4

(1)若兩個物體的位移差等于兩個物體追趕前的距離，即Δx=x0，則追趕物體恰能追上被追趕物體，且兩個物體只能相遇一次；

(2)若兩個物體的位移差小于兩個物體追趕前的距離，即Δx

(3)若兩個物體的位移差大于兩個物體追趕前的距離，即Δx>x0，則它們可以相遇兩次，設t1時刻有Δx1=x0，追趕物體第一次追上被追趕物體；接著，追趕物體超越被追趕物體運動到前方，但隨著做加速運動的被追趕物體速度越來越大，在t2時刻兩者位移差再次滿足Δx2=x0，即被追趕物體追上追趕物體，實現第二次相遇。

【例6】獵狗能以最大速度v1=10 m/s持續地奔跑，野兔只能以最大速度v2=8 m/s的速度持續奔跑。一只野兔在離洞窟x1=200 m處的草地上玩耍，獵狗發現后以最大速度朝野兔追來。野兔發現獵狗時與獵狗相距x2=60 m，野兔立即跑向洞窟。設獵狗、野兔、洞窟總在同一直線上，則野兔的加速度至少要多大才能保證安全回到洞窟？

【分析】設野兔加速到最大速度v2=8 m/s的時間為t1，由速度公式得v2=at1

設獵狗從被野兔發現時經時間t恰好運動到洞窟處，則有x1+x2=v1t

在時間t內，野兔也恰好回到洞窟處，則有

代入數據解得a=4 m/s2

可見，野兔至少要以a=4 m/s2的加速度運動才能保證安全回到洞窟。

3.勻減速追勻加速。如圖5所示，開始時，追趕物體與被追趕物體間的距離在減小，當兩物體速度相等時，即t=t0時刻：

圖5

(1)若兩個物體的位移差等于兩個物體追趕前的距離，即Δx=x0，則追趕物體恰能追上被追趕物體，且兩個物體只能相遇一次；

(2)若兩個物體的位移差小于兩個物體追趕前的距離，即Δx

(3)若兩個物體的位移差大于兩個物體追趕前的距離，即Δx>x0，則它們可以相遇兩次，設t1時刻有Δx1=x0，追趕物體追上被追趕物體；接著，追趕物體超越被追趕物體運動到前方，但隨著做勻加速運動物體的速度越來越大，在t2時刻做勻加速運動的物體又追上做勻減速運動的物體，即有Δx2=x0，實現第二次相遇。

【例7】一客車正以v1=18 m/s的速度在一段平直公路上行駛，司機突然發現正前方x0=18 m處躥出一只黃狗。若黃狗發現客車后立即以a2=3 m/s2的加速度向前運動，則司機立即以多大的加速度做減速運動才能避免相撞？

【分析】設客車的速度與黃狗的速度相等時經歷的時間為t，則v1-a1t=a2t

為了避免相撞，則滿足以下條件

代入數據聯立解得a1≥6 m/s2

4.勻加速追勻速。如圖6所示，設做勻加速運動的追趕物體的初速度為v1，做勻速運動的被追趕物體的初速度為v2。當t=t0時刻，兩物體速度相等，此時刻前追趕物體未能追上被追趕物體，且距離越來越大；此后，隨著追趕物體的速度v1不斷增大，兩者間的距離不斷變小，當滿足x1=x2+Δx時，追趕物體追上被追趕物體，且全程只相遇(即追上)一次。

圖6

【例8】(2007年全國卷)甲、乙兩運動員在訓練交接棒的過程中發現：甲經短距離加速后能保持9 m/s的速度跑完全程；乙從起跑后到接棒前的運動是勻加速的，為了確定乙起跑的時機，需在接力區前適當的位置設置標記，在某次練習中，甲在接力區前s0=13.5 m處作了標記，并以v=9 m/s 的速度跑到此標記時向乙發出起跑口令，乙在接力區的前端聽到口令時起跑，并恰好在速度達到與甲相同時被甲追上，完成交接棒，已知接力區的長度為L=20 m。求：

(1)此次練習中乙在接棒前的加速度a；

(2)在完成交接棒時乙離接力區末端的距離。

【分析】(1)設經過時間t，甲追上乙，則根據題意有

將v=9 m/s代入后解得t=3 s

由于v=at，代入數據解得a=3 m/s2

(2)在甲追上乙的時候，乙通過的位移為x

代入數據得到x=13.5 m

則乙離接力區末端的距離為

Δx=20 m-13.5 m=6.5 m

5.勻速追勻減速。如圖7所示，開始追趕階段，追趕物體與被追趕物體間的距離在增大，當兩物體速度相等時，即t=t0時刻，兩者間的距離最大。隨著被追物體的速度繼續減小，兩者間的距離開始減小，當滿足x1=x2+Δx時追趕物體追上被追趕物體，全程只相遇一次。

圖7

【例9】某人騎自行車，以v1=4 m/s的速度做勻速運動，某時刻在他前面x0=7 m處有一輛以v2=10 m/s的速度行駛的汽車開始關閉發動機，以a=2 m/s2的加速度做勻減速運動，問此人多長時間追上汽車

( )

A.6 s B.7 s C.8 s D.9 s

6.勻加速追勻減速。如圖8所示，開始時，追趕物體與被追趕物體間的距離在增大，當兩物體速度相等時，即t=t0時刻兩物體間的距離最大。隨著追趕物體的速度越來越大，兩者間的距離開始減小，當兩個物體的位移差等于兩個物體追趕前的距離，即x1=x2+x0，則追趕物體追上被追趕物體，且兩個物體只能相遇一次。

圖8

【例10】某天，小明在上學途中沿人行道以v1=1 m/s速度向公交車站走去，發現一輛公交車正以v2=15 m/s速度從身旁的平直公路同向駛過，此時他們距車站s=50 m。為了乘上該公交車，他加速向前跑去，最大加速度a1=2.5 m/s，能達到的最大速度vm=6 m/s。假設公交車在行駛到距車站s0=25 m處開始剎車，剛好到車站停下，停車時間t=10 s，之后公交車啟動向前開去。(公交車的長度可不計)。求：

(1)若公交車剎車過程視為勻減速運動，其加速度a2大小是多少？

(2)若小明加速過程視為勻加速運動，通過計算分析他能否乘上該公交車。

【分析】(1)公交車做勻減速運動，由運動學公式得

代入數據解得公交車的加速度為a2=-4.5 m/s2

(2)汽車從與小明相遇處到開始剎車經歷時間t1為

汽車剎車過程中經歷時間t2為

小明以最大加速度達到最大速度經歷時間t3為

小明在加速過程中通過的位移x1為

小明以最大速度跑到車站的時間t4為

顯然，t3+t4

7.勻加速追勻加速。如圖9所示，開始時，如果追趕物體的速度小于被追趕物體的速度，則兩者間的距離不斷增大。當兩物體速度相等時，即t=t0時刻兩個物體間的距離最大。隨著追趕物體的速度越來越大，兩者間的距離開始減小，當兩個物體的位移差等于兩個物體追趕前的距離，即x1=x2+x0，則追趕物體追上被追趕物體，且兩個物體只能相遇一次。

圖9

【例11】羚羊從靜止開始奔跑，經過50 m距離能加速到最大速度25 m/s，并能維持一段較長的時間，獵豹從靜止開始奔跑，經過60 m的距離能加速到最大速度30 m/s，以后只能維持這個速度4.0 s，設獵豹距離羚羊x時開始攻擊，羚羊1 s后作出反應，開始逃跑，羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速運動，且均沿同一直線奔跑，求獵豹要在其加速階段追上羚羊，x應在什么范圍？

【分析】設獵豹加速時間為t1，由平均速度公式得

羚羊在加速過程中的加速度a2為

羚羊在加速過程中所經歷的時間t2為

在獵豹加速運動過程中，羚羊經歷1 s的反應時間后，緊接著做t3=3 s的加速運動，則羚羊通過的位移為

所以，獵豹要在其加速階段追上羚羊，x應滿足的條件是x1≥x2+x

解得x≤31.875 m

8.勻減速追勻減速。如圖10所示，開始時，兩者間的距離不斷減小。在t1時刻，如果能滿足追趕物體與被追趕物體間的位移差為x1=x2+x0，則追趕物體追上被追趕物體。當兩物體速度相等時，即t=t0時刻兩個物體間的距離最小，如果此時追趕物體還沒有追上被追趕物體，則以后就再也追不上了。

圖10

【例12】甲車以速度v1=14 m/s做勻速運動，甲車司機實然發現前方距離為x0=12 m正以v2=8 m/s做勻速直線運動的乙車，因前面路口的交通信號綠燈已經開始閃爍，于是立即剎車，乙車以a2=2 m/s2的加速度做勻減速運動，此時乙車距離斑馬線的距離x=28 m。求甲車必須以多大的加速度做勻減速直線運動才能避免與乙車相撞？

【分析】設當兩車速度相等時所經歷的時間為t0，則由速度公式得

v1-a1t0=v2-a2t0

若要使兩車不相撞，則應滿足如下條件