動生電動勢兩類問題探討

寧夏

(作者單位：寧夏六盤山高級中學)

當導體在磁場內做切割磁感線運動時，會產生動生電動勢，與感生電動勢的產生是不一樣的。本文從導體全部和部分在磁場內運動兩種情形，分析了動生電動勢的產生，對理清兩種電動勢的成因，幫助學生準確區分兩種電動勢有一定意義。

當通過閉合線圈的磁通量發生變化時，線圈中就會產生感應電流，這種現象叫電磁感應。磁通量Φ=BSsinθ，引起線圈磁通量變化的因素有兩個：即磁場的變化、面積的變化。這兩種途徑分別對應著感生電動勢和動生電動勢。雖然教材在推導因導體切割磁感線產生電動勢時，用到的方法跟推導產生感生電動勢的一樣，即法拉第電磁感應定律，但二者產生的機理，即非靜電力的來源，是完全不同的，前者是感生電場，后者卻是洛倫茲力。這就決定了在分析具體問題時，要分清是哪種原因引起的哪種電動勢，否則難免陷入邏輯混亂。

一條直導線l在勻強磁場中以速度v向右勻速運動，如圖1，導體中的自由電荷(以正電荷為例說明)隨導體一起運動，每個電荷受到向上的洛倫茲力F=Bqv，在F作用下，導體兩端分別出現正負電荷，使上端電勢高于下端，出現向下的電場，給電荷一個向下的力F′，隨著導體兩端電荷的積累，場強不斷增強，使洛倫茲力與電場力二力最終平衡，導體兩端產生穩定的電勢差，如用其他導線將兩端連接，就會產生電流。

圖1

下面分兩種情形分析探討動生電動勢和電流。

1.導體(框)全部在磁場內

1.1 平動

1.1.1 一個邊切割

如圖2所示，勻強磁場中有一固定金屬線框PMNQ，線框平面與磁感線垂直，導體棒CD垂直放置在線框上，并以垂直于棒的速度v向右勻速運動，運動過程中導體棒與金屬線框保持良好接觸。CD棒切割磁感線，產生動生電動勢E=BLv，相當于電源，D為電源正極，其他三邊是外電路，有逆時針方向電流。

圖2

1.1.2 兩個邊同速切割

如圖3，邊長為l的正方形線框在磁場中移動，左右兩邊切割磁感線，產生動生電動勢E=Blv，左右兩邊上端是高電勢，下端是低電勢，效果相當于兩節相同電池并聯，雖然構成回路，但并沒有電流。若在ad或cd導線上接電壓表，電壓表將顯示0。但若用兩根導線分別接上下邊并引出磁場，這兩節“電池”就可以為元件供電了。

如果在磁場中運動的是一塊矩形金屬片，相當于金屬片上有很多相同的導線同時切割磁感線，同時有多個相同“電池”并聯，如圖4，同樣有動生電動勢，卻沒有電流，若用兩根導線分別接上下邊并引出磁場，這些“電池”也可以為元件供電。

圖4

1.1.3 兩個邊不同速切割

如圖5所示，MN、GH為光滑的水平平行金屬導軌，ab、cd為跨在導軌上的兩根金屬桿，勻強磁場垂直向上穿過MN、GH所在的平面。若ab向左、cd向右同時運動，兩桿產生的動生電動勢同向串聯，即電路合電動勢為二者之和，則abdc回路有順時針方向電流；若ab、cd都向右運動，且兩棒速度vcd>vab，兩桿產生的動生電動勢反向串聯，即電路合電動勢為二者之差，Ecd>Eab，則abdc回路有順向電流。

圖5

【例1】兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為L。導軌上面垂直放置兩根導體棒ab和cd，構成矩形回路，如圖6所示。兩根導體棒的質量皆為m，電阻均為R，回路中其余部分的電阻可不計。在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B。設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行。開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。若兩導體棒在運動中始終不接觸，則：

圖6

(1)在運動中產生的焦耳熱最多是多少?

【解析】ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構成的回路面積變小，磁通量變小，于是產生感應電流。ab棒受到與其運動方向相反的安培力而做減速運動，cd棒則在安培力的作用下向右做加速運動。只要ab棒的速度大于cd棒的速度，ab切割磁感線產生的動生電動勢就大于cd棒的動生電動勢，回路總有感應電流，ab棒繼續減速，cd棒繼續加速，直到兩棒速度相同后，回路面積保持不變，兩棒電動勢相同，有動生電動勢，但不產生感應電流，不再受安培力，兩棒以相同的速度v做勻速運動。

(1)從ab棒開始運動到兩棒達到相同速度v的過程中，兩棒的總動量守恒，有mv0=2mv

根據能量守恒定律，整個過程中產生的焦耳熱

1.2 轉動

1.2.1 轉動軸與磁場平行

在磁場中轉動的也可以是一塊金屬圓盤，如圖9。此時，相當于有很多沿半徑方向的金屬棒各自繞圓心一端同角速度轉動，很多相同“電池”輻射狀并聯，有電動勢無電流。若用兩根導線分別接圓心和邊緣并引出磁場，這些“電池”就可以為元件供電，這就是法拉第圓盤發電機原理。

【例2】很多人喜歡到健身房騎車鍛煉，某同學根據所學知識設計了一個發電測速裝置，如圖10所示。自行車后輪置于垂直于車身平面向里的勻強磁場中，后輪圓形金屬盤在磁場中轉動時，可等效成一導體棒繞圓盤中心O轉動。已知磁感應強度B=0.5 T，圓盤半徑l=0.3 m，圓盤電阻不計。導線通過電刷分別與后輪外邊緣和圓心O相連，后輪勻速轉動時，用電壓表測得a、b間電壓U=0.6 V。

(1)與a連接的是電壓表的正接線柱還是負接線柱?

(2)自行車車輪邊緣線速度是多少?

【解析】(1)根據右手定則，輪子邊緣點是等效電源的負極，則a點接電壓表的負接線柱。

1.2.2 轉動軸與磁場垂直

如圖11所示，閉合的矩形導體線圈abcd在勻強磁場中繞垂直于磁感線的對稱軸OO′勻速轉動，與軸平行的一對邊切割磁感線，可產生正弦式交變電流。

2.導體(框)部分在磁場內

2.1 平動

如圖12，矩形線圈進入磁場的過程中，右邊切割磁感線，相當于電源，場外部分接通電源，產生逆時針方向電流。同時，右邊將受向左的安培力，對線圈做負功。進入磁場的如果是一塊矩形金屬片，在磁場內的部分相當于很多個邊同時切割，出現很多個并聯的多個電源，磁場外的部分相當于外電路，將這些電源接通，產生渦流，對金屬片的進入形成阻尼。

圖12

【例3】掃描隧道顯微鏡(STM)可用來探測樣品表面原子尺度上的形貌。為了有效隔離外界振動對STM的擾動，在圓底盤周邊沿其徑向對稱地安裝若干對紫銅薄板，并施加磁場來快速衰減其微小振動，如圖13所示。無擾動時，按下列四種方案對紫銅薄板施加恒磁場；出現擾動后，對于紫銅薄板上下及左右振動的衰減最有效的方案是

( )

圖13

A

裝置的原理是利用電磁阻尼。當薄板進出磁場時產生感應電流，薄板受安培力，安培力總是阻礙導體相對磁場的運動，從而使薄板盡快停下來。四個選項中，導體在左右方向都有部分在磁場內，部分在磁場外，導體左右運動時，場內部分切割磁感線，產生動生電動勢，相當于電源，場外部分將電源連通，形成回路，有電流，受安培力，對運動形成阻礙。但在上下方向，只有A選項在磁場內外都有部分導體，導體上下運動會產生電流，其他三種情形，上下方向上，導體都全部在磁場內，上下邊框不會形成電流。因而只有A可以滿足設計要求，對衰減上下左右振動最有效。

2.2 轉動

若轉動的圓形金屬盤兩部分分別在磁場內外，如圖14，盤繞平行磁場的中心軸逆時針旋轉，場中部分如前面分析，很多個沿半徑方向的導線切割磁感線充當電源，場外部分將電源連通，相當于電路，產生渦流，受安培力，阻礙圓盤轉動。

圖14

平動、轉動的導體不同部分處于不同的磁場，如圖15，不同部分的動生電動勢或大小、或方向不同，合電動勢要么是二者之和，要么是二者之差，會產生感應電流，受安培力。導體處非均勻磁場也是一樣的道理。

【例4】1824年，法國科學家阿拉果完成了著名的“圓盤實驗”。實驗中將一銅圓盤水平放置，在其中心正上方用柔軟細線懸掛一枚可以自由旋轉的磁針，如圖所示。實驗中發現，當圓盤在磁針的磁場中繞過圓盤中心的豎直軸旋轉時，磁針也隨著一起轉動起來，但略有滯后。下列說法正確的是

( )

圖16

A.圓盤上產生了感應電動勢

B.圓盤內的渦流產生的磁場導致磁針轉動

C.在圓盤轉動的過程中，磁針的磁場穿過整個圓盤的磁通量發生了變化

D.圓盤中的自由電子隨圓盤一起運動形成電流，此電流產生的磁場導致磁針轉動