牽連體加速度問題解析

湖北

(作者單位：武漢華中科技大學附屬中學)

加速度是聯系運動學與力學的橋梁。求加速度一般有兩種思路：其一是根據物體的運動情況由運動學規律求加速度；其二是根據物體的受力情況由牛頓第二定律求加速度。對于牽連體的加速度問題，若牽連體內物體的加速度不同，它們的加速度往往存在某種關聯，而這種關聯又受具體的物理情景所制約。尋找牽連體內物體加速度之間的隱含制約關系，是此類問題分析求解的一個難點。本文通過實例分析，分類總結求解牽連體加速度問題的思維方法。

一、直連體

相互接觸的兩物體，若兩物體在相對運動過程中始終不脫離接觸，則在運動的任意時刻，兩物體在垂直于接觸面方向上(或法向上)有相同的分加速度。

1.加速度恒定

求解各自加速度恒定牽連體的加速度，可根據物體的受力情況由牛頓第二定律列式求解，但要找出牽連體中物體加速度間的隱含關系；也可以假設經過一段運動過程，由能量、動量等相關規律得出此過程中物體獲得的速度，再由運動學規律求物體的加速度。

【例1】如圖1，質量為M、傾角為θ的三角形物塊A置于光滑水平面上，三角形物塊A的斜面光滑。將質量為m的小滑塊B輕放在A的斜面上。已知重力加速度為g，滑塊B在物塊A的斜面上滑動過程中，求滑塊B的加速度a的大小。

圖1

【分析】由于水平面光滑，當滑塊B沿斜面下滑過程中，物塊A沿水平面向左做直線運動。如圖2所示，以地面為參照物，某時刻設滑塊B的加速度a方向與豎直方向成角α；其水平向右的分量為ax，豎直向下的分量為ay，物塊A方向水平向左的加速度為a2。滑塊B受重力mg與A對B的彈力FN的作用，其合力為ma；物塊A受重力Mg、B對A的彈力FN(為簡化符號運算，這里將A對B的彈力大小與B對A的彈力大小均記為FN)，B在A的斜面上滑動的過程中，兩物體間的相互作用力FN的大小與B在A上位置無關，為一恒定值，可知A、B兩物體均做勻變速直線運動，兩物體各自的加速度恒定。

【解法1】如圖2，對A、B兩物體分別由牛頓第二定律有：

圖2

FNsinθ=Ma2

FNsinθ=masinα

mg-FNcosθ=macosα

兩物體在垂直斜面方向上的分加速度相等，即

a2sinθ=acos(α+θ)

【解法2】設水平面對A豎直向上的支持力為F0，A的合力為Ma2。兩物體受力與合力的矢量圖如圖3所示。由矢量間的幾何關系有：

圖3

FNsinθ=Ma2=max

mgcosθ=FN+Ma2sinθ

may=(Ma2+max)tanθ

由以上幾式可得a的值(同上)。

【解法3】以斜面體A為參考系，滑塊B受到一個水平向右的慣性力ma2，如圖4所示。有：

圖4

FNsinθ=Ma2

FNsinθ+ma2=max

mg-FNcosθ=may

由以上幾式可得a的值(同上)。

【解法4】設斜面體A的斜面高為h，底邊長為L，滑塊B從斜面頂端下滑至底端時的水平、豎直分速分別為vx、vy，斜面體A的速度為v2(如圖5所示)。B在A上下滑過程中，系統水平方向動量守恒，有：mvx=Mv2，可得：m(L-x)=Mx；

圖5

由機械能守恒定律有：

由以上幾式可得a的值(同上)。

【點評】解法1在正確分析物體受力的基礎上，分別在水平方向與豎直方向利用牛頓第二定律列出動力學方程，再找出兩物體加速度的隱含關系，即在運動過程中兩物體不脫離接觸，兩物體在垂直于接觸面方向上(即垂直斜面方向)有相同的分加速度；這是一種基本解法，求解關鍵要注意牛頓第二定律的矢量性。解法2基于物體受力與合力(ma)的矢量圖形，利用矢量間的幾何關系求解；此法求解關鍵是正確畫出物體受力與合力間的矢量圖形，利用幾何圖形找出隱含的幾何關系，這是一種實用的解法。解法3選取斜面體A為參照系，這是一個非慣性系，為在非慣性系應用牛頓第二定律，在對滑塊B的受力分析中引入了一個慣性力，雖然超出目前中學物理知識范圍，但此法是值得掌握的一種簡潔方法；以上三種解法均是基于力與運動的觀點，利用牛頓運動定律結合直連體間加速度的隱含關系進行求解；解法4則是從運動學的觀點求加速度，假設物體運動一段過程，利用動量守恒定律與機械能守恒定律求出此過程中物體的末速度，再根據運動學公式求解，求解時要注意物體速度、加速度的分解與合成，在矢量運算下求解，這是一種巧妙的解法。

2.加速度變化

求解牽連體的變化的加速度，一般是求解某一具體位置(或時刻)的加速度。可根據物體在此位置的受力情況由牛頓第二定律列式求解，但要找出牽連體中物體加速度間的隱含關系。也可以假設經過一段很小的運動過程，由能量、動量等相關規律求出此小段過程中物體獲得的速度，再由運動學規律與極根分析，求出物體在某位置(或時刻)的加速度。

【例2】質量均為M、圓心分別為O1、O2的兩相同大環重疊豎直放在光滑水平面上，一質量為m的小環C套接在兩大環的最高點。受一微小擾動，兩大環由靜止開始分別沿水平面向左、右運動，小環C則從靜止開始豎直向下運動(如圖6所示)。當∠CO1O2=θ時，求小環加速度a的大小。

【分析】根據對稱性，同一時刻或同一位置，兩大環對小環的彈力FN大小相等，方向與豎直方向夾角相同；但在小環運動到不同位置處，FN方向不同，即FN與位置有關，可知兩大環與小環均做變加速直線運動。當位置一定時，大環與小環的加速度大小一定。求某一確定位置(∠CO1O2=θ)時小環加速度a的大小，可根據此位置小環受力情況由牛頓第二定律求出，也可以根據運動學規律通過極限分析求出。

【解法1】如圖7，設此時大環O2的加速度大小為a2，方向水平向右。對小環與大環分別由牛頓第二定律有：

mg-2FNsinθ=ma

FNcosθ=Ma2

小環與大環不脫離接觸，在運動的任意時刻，小環與大環沿連心線方向的分加速度大小相等，即：asinθ=a2cosθ

【解法2】建立如圖8所示坐標系，設大環的半徑為R，此時小環C的豎直位置坐標為yC=Rsinθ，大環O2的橫坐標位置為x2=Rcosθ。

圖8

可得此時小環與兩大環速度的大小關系為：v2=v1tanθ

【點評】解法1是一種動力學解法，在正確分析此位置小環與大環受力的基礎上，根據牛頓第二定律列出動力學方程，求解中要根據直連體的特點找出牽連體內物體間加速度的隱含關系；解法2是一種運動學解法，假設此位置后經過一小段運動過程，根據小環與兩大環運動特點與對稱性，找出小環與大環隱含的速度大小關系，利用機械能守恒定律求小環獲得的速度，再根據運動學規律通過極限分析得出此時小環的加速度大小。

二、繩連體

用拉緊的細繩連接兩物體，同一時刻兩物體的運動方向不一定都沿細繩方向，在同一時刻兩物體沿細繩方向的加速度不一定相等。在繩上張力大小未知的情況下，我們可以運用假設法找出繩連體物體間加速度的制約關系；或根據具體問題條件，結合物體的運動情況與特點，運用微元法、幾何法找出繩連體物體間的速度、位移等關系式，再運用數學方法求導得出繩連體物體間加速度的制約關系。

【例3】如圖9所示，光滑直桿與水平方向成θ角固定，桿上套一質量為mA的小環A，環下用一輕繩連一質量為mB的小球B，開始時用手持住環使A、B處于靜止狀態，且輕繩保持豎直，已知重力加速度為g，則在釋放環A的瞬間，小球B的加速度大小為多少？

圖9

圖10

(a)

【解析】釋放環A的瞬間，對A、B兩物體由牛頓第二定律分別有：

(mAg+FT)sinθ=mAaA

mBg-FT=mBaB

又aB=aAsinθ

【點評】物體的速度為零時加速度不一定為零。本題中小環A受桿的制約，只能沿桿運動，其加速度方向沿桿向下，沿繩方向存在分加速度；釋放小環A的瞬間，連接A、B間的細繩呈豎直狀態，小球B受到的重力與細繩的拉力均沿豎直方向，此時小球B的加速度沿豎直方向(即沿此時的細繩方向)。以上分析中運用假設法、微元法找出A、B兩物體加速度的關聯。用拉緊的細繩連接的兩物體，當兩物體的速度為零或均沿繩方向運動時，由于細繩不可伸長，則同一時刻兩物體沿細繩方向有相同的加速度。

【例4】如圖12所示。一輕繩繞過光滑的小定滑輪，其兩端分別連接兩小物體A、B，其中物體B套在固定光滑豎直桿上，桿與小定滑輪相距l。已知物體A豎直向下運動，物體B沿桿向上運動，當輕繩與豎直桿夾角為θ時物體B的速度大小為v，加速度大小為a，求此時物體A的加速度大小aA。

圖12

【分析】設此時物體A的速度為v1，方向向下；物體B的速度v沿桿向上，不沿繩方向，物體B相對小定滑輪既做平動又做轉動。如圖13所示，將物體B的速度與加速度分別向沿繩方向與垂直繩方向分解，沿繩方向的分速度v1與物體A的速度大小相等；其中分量a1改變v1的大小，分量a2改變v2的方向。

【解法1】如圖13，v1=vcosθ，v2=vsinθ。由于v1與θ均隨時間t發生變化，則有：

圖13

圖14

即：Lv1=hv

對等式Lv1=hv兩邊求導有：

【點評】物體的加速度由物體受到的力與質量決定，與速度無直接關系。繩連體中當物體的速度不沿繩方向時，則相對某一定點，物體可能既有平動又有轉動。當繩上的拉力參與提供轉動的向心力時，繩上的拉力大小與物體運動速度有關，這時物體的加速度大小在表象上與物體運動的速度有關。這種情況下繩連體間的加速度關系較為復雜，但在運動過程中兩物體的位移、速度存在一定的關聯。解法1根據兩物體運動過程中的速度關聯(即物體B沿繩方向的分速度v1等于物體A的速度大小)，通過對速度關系式求導得出兩物體加速度大小的關系；解法2根據兩物體位移的關聯，通過對位置關系式的兩次求導得出兩物體加速度大小的關系。在求導過程中，要注意分析相關物理量大小的增減及物理意義。