信息技術輔助問學課堂，自主探究提升學習能力《實數》課堂實錄

付長虹 張義寶

（北京市潤豐學校 北京 100000）

1 教學內容

人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊53—54頁。

2 教學目標

（1）通過與有理數的對比，了解無理數概念和實數概念。

（2）通過動手操作、制作課件探索，了解實數與數軸上的點一一對應的關系，滲透數形結合、從特殊到一般的思想。

（3）通過對實數概念的學習，感受類比學習的方法，體會分類的思想，體會到數系擴充的必然性，及數學的和諧統一美。

（4）通過介紹無理數的有關起源史，感悟勇于探索、大膽質疑、追求真理的精神。

3 教學過程

3.1 質疑課題，引入新課

師：在黑板上寫下課題：6.3實數，問學生：“看到這個課題，你有什么問題要問嗎？”

生：什么是實數？

生：為什么要學習實數？

生：實數和以前學的數有什么關系？

生：實數能在數軸上表示嗎？

生：實數能比大小嗎？

生：實數能計算嗎？

生：實數有什么用？

生：還有其他的數嗎？

師：將學生提出的問題記錄在黑板上。

師：同學們的問題都很好，從這節課開始，我們就要陸續解決你們提出的這些問題。

3.2 猜想解問，探尋無理數概念

師：剛才有同學提出為什么要學習實數？是呀，咱們現在已掌握的有理數不夠用了呢？是出現了不屬于有理數的數了嗎？你能舉些這樣的數嗎？

師：你們為什么認為這些數不屬于有理數了？

生：它們既不是整數也不是分數。

師：有理數包括整數和分數，你們為什么認為這些數不能化成分數呢？

生：……

師：這些數有什么共同特點？

生：它們都是無限不循環小數。

師：分數如果化成小數，該是什么樣的小數呢？

課件出示：

生：以小組為單位自己舉四個分數的例子，借助科學計算器把分數轉化成小數形式，有一個小組的學生把他們的例子寫到黑板上。

師：通過剛才的探索，你發現分數轉化成小數形式以后，是什么樣的小數？

生：分數轉化成小數以后，是有限小數或無限循環小數。

師：請問有理數轉化成小數以后，是什么形式？

生：分數轉化成小數以后，是有限小數或無限循環小數，整數可以看著是有限小數，如4等于4.0。那么有理數轉化成小數形式以后就是有限小數或無限循環小數。

師：回答得很好！反過來，有限小數或無限循環小數也都是有理數。剛才同學們舉的這幾個無限不循環小數，不屬于有限小數，也不屬于無限循環小數，所以他們不是有理數，我們知道這樣的無限不循環小數有很多，為了研究問題的方便，數學上，把無限不循環小數，又叫做無理數。

師：同學們對于無理數的概念，有什么問題嗎？

生：無理數的“無理”，是指“沒有道理”嗎？

師：請同學們帶著這個問題，觀看下面的視頻，是關于無理數的起源史的。

師：播放視頻。

師：看了上面這個視頻后，哪位同學能解答上面的問題？

生：無理數的“無理”并不是沒有道理，是指這些數不能寫成兩個整數的比的形式，而有理數的“有理”指的是能寫成兩個整數的比的形式。

師：說得對！從視頻里，你還感受到什么？

生：畢達哥拉斯學派無視真理，將堅持真理的西帕索斯處死，簡直是太專橫“無理”了！

師：他們太“無理”太殘暴了！

生：西帕索斯大膽探索、敢于質疑權威、堅持真理！

師：我們要學習偉大的數學家西帕索斯，我們為他鼓掌！

生：感動，鼓掌。

師：原來無理數的產生很不容易，你是否能準確辨認無理數呢，請看例1。

課件出示：

學生獨立思考。

師：對例1，你覺得要注意什么問題？

生：-0.1212212221…（兩個1之間依次多一個2）這個無限小數，雖然有規律，但是它沒有循環節，是無限不循環小數，是無理數。

師：你們強調的地方正是大家需要關注的地方，謝謝你們！

3.3 類比提問，形成實數概念

師：有理數和無理數都是現實世界中客觀存在的量的反應，于是就像把整數和分數統稱為有理數一樣，為了研究問題的方便，人們把有理數和無理數統稱為實數，我們學習的數的范圍，就從有理數擴充到了實數。

師：指著學生對課題提出的幾個問題說：“同學們，咱們已經解決了‘什么是實數’的問題了，你認為還可以繼續解決什么問題？”

生：還可以解決實數的分類問題。

師：實數能分成幾類？

生：按著實數的定義，實數能分成有理數和無理數兩類。

生：因為有理數、無理數都有正負之分，所以實數還可以按性質符號分為：正實數、零、負實數。

師：很會推理，太棒了！請看例2。

課件出示：

生：獨立思考，展示答案，評價糾正。

師：對于例2，你有什么想法或問題嗎？

生：能化簡的實數，要先化簡再進行判斷。

生：要看清分類的標準，是按定義分的，還是按性質符號分的，如：零，既不是正實數，也不是負實數。

師：很好，分類的標準不同，結果也不一樣。

3.4 做課件畫圖，探究實數與數軸的關系

師：指著學生對課題提出的幾個問題問：“還可以繼續研究你們對課題提出的什么問題？”

生：實數能在數軸上表示嗎？

師：我們需要研究什么？

生：首先看看實數能否用數軸上的點表示。

生：我們已經知道有理數能用數軸上的點來表示，現在就只需要看看無理數能否用數軸上的點來表示了。

師：能嘗試著用數軸上的點表示某個無理數嗎？你想嘗試表示哪個無理數呢？

師：請同學們試著畫一畫，可以用鉛筆、尺子畫圖，也可以用Geogebra app制作課件畫圖。

課件出示：

生：或用紙筆畫圖，或用Geogebraapp制作課件畫圖。并交流畫圖思路、過程與結果。

生：在實物投影上展示畫圖結果。

生：繼續畫圖。做課件的同學，用希沃助手平臺展示用課件畫圖的結果，并講解畫圖的思路：用Geogebra app的滑動條工具，能夠方便快捷地在數軸上找出表示的有理數倍的點，并且談到用課件畫圖既準確又高效。

師：掌握信息技術使我們的學習更加高效！用筆畫圖的同學也做到了認真、嚴謹。

師：和我想到一起了！請看下面的幾何畫板課件演示。

課件出示：

師：誰能將課件上的動畫演示的意思解釋一下？

生：圓上的任意一點，與原點重合，在圓滾動一周后，這一點與數軸上的點A重合，線段OA的長等于，所以A點表示的數就是。

生：我們已知道，有理數也可以用數軸上的點來表示，所以所有的實數都可以用數軸上的點來表示。

師：說的對，反過來，數軸上的每一點，也都表示一個實數，實數與數軸上的點是一一對應的。

師：你還能提出什么問題？

生：我們可以利用數軸比較實數的大小嗎？可以進行實數的運算嗎？

師：真是好問題，我們下節課就要研究它們。

3.5 設計問題，總結提升

師：你能設計問題為這節課做總結嗎？

生：這節課我們解決了實數的什么問題？用了什么學習方法？有什么感受？

師：誰能回答一下。

生：我們學習了實數的定義、分類，實數與數軸上的點的關系。

生：我們用到了與有理數比較的學習方法，及數形結合的學習方法。

生：我們了解到，無理數的誕生經過了漫長的過程，有無數的數學家為之奮斗，特別是古希臘數學家西帕索斯，不畏強權，敢于質疑，堅持真理的精神，值得我們學習。

師：大家的總結好極了！希望大家勇于思考、研究、應用數學，并掌握先進的現代信息技術手段去提高學習效率，爭取在數學上做出自己的創新貢獻！

師：你還有其他的問題嗎？有什么困惑嗎？

師：你是善于思考的好學生！我們將帶著這個問題，在數學學習上繼續前行，相信一定能夠解決它們！

【評析】：

本節課有如下幾個特點。

（1）充分讓學生提問，并研究學生的問題。

學生的問題是課堂寶貴的動態生成資源。

學生先從課題發問，問在知識的最近發展區，通過類比已有經驗，逐漸明晰要研究的對象，與課堂的教學目標不謀而合，課堂一直都在探索學生提出的問題，這些問題形成課堂層層推進的清晰脈絡，為課堂搭建了合理的結構。同時，學生自己提出的問題，載著他們的理解、思考和情感，解決這些問題使他們更積極主動。

學生對概念的關鍵詞提出疑問，如對無理數的“無理”一詞提出疑問，促進學生深入思考，發現有理數、無理數的本質區別是能否寫成整數的比的形式。

學生在課后小結時提出問題，促進學生主動整理、歸納提升，學會學習。學生最后又提出本節課沒有解決的困惑問題，促進學生深度思考，并帶著懸念、期待，繼續學習，培養對數學的熱愛情感。

（2）學生自解自問，提升學習能力。

學生圍繞自己提出的問題，大膽猜想，嚴謹推理，小心驗證，借助小組合作的力量，從特殊到一般地發現結論。

學生類比有理數的研究方法，對實數進行兩種分類，探索無理數在數軸上的表示方法。

學生動手操作解決問題，借助科學計算器完成復雜的計算，畫圖驗證自己的設計思路。

學生做題后自己反思解題方法、注意事項，加深對概念本質的認識。

（3）應用現代信息技術提高學習的效率。

學生在課堂上用Geogebra app制作課件，高效準確地在數軸上表示多個無理數，促進了對新知的發現和理解，并且做課件的過程中，也伴隨著數學的思考、推理、設計，在用課件演示交流的過程中，也提升了語言表達、程序化思維能力，使用信息技術手段來學習，提升了數學抽象、直覺想象、數據分析等素養。

（4）通過介紹數學史，滲透德育。

請學生帶著問題觀看無理數起源史的視頻素材，一方面讓學生領略到無理數的“無理”的數學含義，也一語雙關，從德育方面向學生滲透不畏強權、大膽質疑、堅持真理的可貴精神。