冪級數展開的應用研究

黃 勇 何敏藩

（佛山科學技術學院數學與大數據學院 廣東·佛山 528000）

1 研究背景

在本文中，我們主要研究二階Sturm-Liouville特征值問題，其方程如下：

一般來說，這似乎不太可能以顯式的形式獲得解析解或是很難獲得上述問題的精確值。因此，一些數值方法和近似方法已經實現了確定的Sturm Liouville特征值問題的解決方案。基于漸近校正的Numerov方法和有限元法，Andrew和Paine改進的結果為自然邊界條件下的Sturm-Liouville問題。Ghelardnoi采用邊界值方法（BVM），對Sturm-Liouville問題進行離散探討其特征值的近似解，將Andrew-Paine的校正技巧擴展到BVM。在[8]和[9],elik等用Chebyshev配置方法研究高等SturmLiouville方程特征值的近似計算，給出了邊界條件的矩陣方程。

在本文中，我們將介紹用于有確定邊界條件的Sturm-Liouville問題的特征值的一種簡單方法。通過對函數的級數展開，我們將微分方程的未知系數變成一個線性方程組，為使得未知函數有非零解，我們可以由其線性方程組的系數矩陣的行列式為零確定其特征值 。我們將應用該方法計算實例中常用的Sturm-Liouville問題的特征值，并給出其逼近的精度。

2 二階Sturm-Liouville問題的數值方法

不失一般性，邊界條件可以表示如下：

因此，問題就變成求解滿足在上述邊界條件和二階常微分方程（1）的未知函數y（x）。

在本部分中，為了避免直接求解微分方程（1），我們介紹一個簡單的方法來確定的Sturm-Liouville方程的特征值。首先，我們將y（x）展開成冪級數。如果忽略足夠小的誤差，那么未知方程y（x）可以近似地展開為：

接著我們將方程（5）兩側都乘上（n=0，1，2，…，N-2），然后將新方程關于x在a到b之間求積分，可以得到另外N-1個線性代數方程組的未知系數：

3 Sturm-Liouville問題的數值結果與討論

為了驗證上文所提出的方法的有效性，本節主要討論常見Sturm-Liouville問題的數值例子，期望得出的精確解和其他數值結果逼近于準確值。我們考慮以下的 Sturm-Liouville問題

例1：特征值的數值結果和絕對誤差。

我們考慮以下的Sturm-Liouville問題：

例1：特征值的數值結果和絕對誤差

表2：例2特征值的數值結果和絕對誤差

4 結論

我們提出一個高效的方法來處理Sturm-Liouville問題。我們不是直接求解微分方程的解，而是利用冪級數將微分方程展開成線性方程組，進一步得到參數的特征方程，通過Matlab編程有效地將特征值計算出來。