新型雙段Halbach陣列軸向永磁聯軸器的多目標優化

劉曉，肖羅鵬，崔鶴松，2，黃守道

(1.湖南大學 電氣與信息工程學院，長沙 410082；2.機械工業北京電工技術經濟研究所，北京 100070)

0 引 言

永磁聯軸器[1-2]是傳動系統中的一個重要部件。區別于傳統的機械接觸式聯軸器，永磁聯軸器利用主、從動轉子上的永磁體相對轉角實現無接觸式傳動。永磁聯軸器利用靜態密封代替傳統的動態密封，從根本上解決了工業傳動中的泄漏問題，在許多工業場合具有廣泛的應用，具有隔離、減震、過載保護和允許對準誤差的特性。

永磁聯軸器主要結構[1]分成：軸向永磁聯軸器和徑向永磁聯軸器。軸向永磁聯軸器[3-4]根據充磁方式不同，分為傳統充磁軸向永磁聯軸器、Halbach式軸向永磁聯軸器(axial magnetic couplings with Halbach array，HAMC)。

與傳統的軸向充磁方式相比，理想的Halbach陣列[5-6]建立的磁場波形正弦度大為提高。但在實際生產中，通常采用分段磁塊來實現近似的Halbach磁場，分段越多，波形越接近正弦，但結構越復雜[7]。本文將主要研究雙段Halbach陣列結構，根據雙段Halbach充磁方式不同，分為傳統雙段HAMC、新型雙段[8]HAMC。本文提出的新型雙段Halbach陣列結構簡單，且氣隙磁場波形正弦度高。

作為一種新型的磁力傳動裝置，轉矩與轉矩密度是關鍵指標。在實際設計中，轉矩隨著永磁體用量增加而增大，但增長速率會下降，造成轉矩密度下降。同樣，永磁體利用率高能帶來高轉矩密度，但有時在結構優化后會減小永磁體的用量，造成轉矩減小[9]。所以，轉矩與轉矩密度有時不能同時實現最優，通常需要建立多個目標函數，采用多目標優化方法[10-11]，同時優化兩個及以上性能指標。

本文提出一種新型雙段HAMC，通過3D有限元法建立新型雙段HAMC仿真模型，并且進行參數化分析，研究轉矩性能與設計變量的關系。通過仿真得到大量樣本點，建立轉矩與轉矩密度的多項式回歸模型。采用非支配排序遺傳算法II(NSGA Ⅱ)[12]進行Pareto多目標優化，獲得轉矩與轉矩密度的極大值。最后通過氣隙磁密與轉矩性能分析，驗證新型結構的合理性與優化方法的有效性。

1 雙段Halbach陣列分析

軸向永磁聯軸器由3部分構成，主動轉子、從動轉子、氣隙。主、從動轉子上均安裝有永磁體，且極對數和尺寸規格相同，氣隙將轉子隔開，實現無接觸式傳動。HAMC的結構示意圖如圖1所示。

圖1 Halbach軸向永磁聯軸器Fig.1 Axial magnetic couplings with Halbach array

HAMC轉子上的不同充磁角度的永磁體按一定順序排列，氣隙內的磁場強度增大，軛鐵處的磁場強度減弱。如圖2所示，陣列有磁化角度θ、磁塊厚度h、極弧系數α這幾個主要參數，圖2(a)為傳統雙段Halbach陣列，磁化角度θ為90deg，圖2(b)為新型雙段Halbach陣列，磁化角度θ為60deg。

圖2 不同充磁方式陣列Fig.2 Different magnetization arrays

由于磁塊厚度h、極弧系數α與雙段Halbach陣列氣隙磁密密切相關[13-14]，所以研究磁化角度θ、磁塊厚度h、極弧系數α對HAMC轉矩性能的影響，其他未研究的參數保持保留為原始設計。關鍵設計參數，如表1所示。

表1 HAMC的關鍵參數

將從動轉子保持不動，同時改變主動轉子的機械角度，可以得出傳統雙段HAMC和新型雙段HAMC 的靜態轉矩如圖3所示。可以看出，隨著機械角度的變化，主動轉子的靜態轉矩呈正弦變化，且周期為360deg/p=360deg/6=60deg。傳統雙段HAMC的轉矩為60.80 N·m，新型雙段HAMC的轉矩為69.94 N·m，提高了15.03%。

圖3 不同HAMC靜態轉矩Fig.3 Static torque of different HAMC

新型雙段HAMC相較于傳統雙段HAMC，轉矩性能得到了提高，既增強了HAMC的轉矩性能，又避免了Halbach磁塊分段過多而導致結構復雜。在下一部分，將仔細研究磁化角度θ、磁塊厚度h、極弧系數α對新型雙段HAMC轉矩性能的影響。

2 參數分析

由于磁化角度θ、磁塊厚度h、極弧系數α與新型陣列氣隙磁密密切相關，在本節中，重點研究新型陣列的3個關鍵參數對新型雙段HAMC轉矩和轉矩密度的影響，有效體積為磁塊體積，其他參數保持恒定。

2.1 單參數分析

磁化角度θ對轉矩和轉矩密度的影響曲線如圖4所示。θ變化時，其他參數不變，有效體積不變，所以這兩條曲線的變化趨勢是相似的。磁化角度θ超過某一角度時，氣隙磁密強度減弱，導致轉矩性能下降。保持其他參數不變，θ在45deg到75deg范圍內變化，轉矩密度和轉矩在θ=65deg最大。θ超過65deg時，轉矩性能開始下降。

圖4 轉矩和轉矩密度與θ的關系Fig.4 Variation of torque and torque density due to θ

圖5展示了磁塊厚度h與轉矩和轉矩密度的影響曲線。隨著h增大，轉矩也隨著增大，但增長速率下降。由此可見，磁塊厚度增加并不能一直有助于增大轉矩密度。保持其他參數不變，h在4 mm到9 mm范圍內變化，轉矩密度在h=6 mm時最大。

圖5 轉矩和轉矩密度與h的關系Fig.5 Variation of torque and torque density due to h

如圖6所示，極弧系數α對轉矩和轉矩密度的影響關系與h類似。保持其他參數不變，α在0.8到1范圍內變化，轉矩隨著α的增大而增大，但是轉矩密度在α=0.9時最大。所以，在新型雙段HAMC設計中，轉矩和轉矩密度之間需要進行調和。

圖6 轉矩和轉矩密度與α的關系Fig.6 Variation of torque and torque density due to α

2.2 多參數分析

圖7展示了不同的磁化角度θ和磁塊厚度h對轉矩和轉矩密度的影響。保持其他參數不變，θ變化范圍為45deg到75deg，h變化范圍為4 mm到9 mm。θ在一定范圍內有助于轉矩的增大，h的增大有助于轉矩的增大，但轉矩密度隨著θ與h的增大呈現先增大后減小的趨勢。保持h=6 mm，且θ從45deg到75deg變化時，轉矩從60.74 N·m增長到70.78 N·m，然后降到68.93 N·m。同樣，保持θ=60deg，且h從4 mm到9 mm變化時，轉矩從44.43 N·m一直增長到100.04 N·m。但是，轉矩的增長速率隨著h的增長而變慢。從圖7(b)可以看出，θ保持恒定時，轉矩密度先增大再下降。比如當θ=60deg時，轉矩密度從654.75 kN·m/m3上升到687.12 kN·m/m3，然后下降到655.22 kN·m/m3。因為θ變化時，新型雙段HAMC有效體積不變，轉矩和轉矩密度變化趨勢一樣。但θ取不同值時，最大轉矩密度處的h值不同，例如θ=55deg時，h=7 mm，轉矩密度最大且為667.69 kN·m/m3；θ=65deg時，h=6 mm，轉矩密度最大且為695.37 kN·m/m3。

當磁化角度θ從45deg增長到75deg，且極弧系數α從0.8增大到1時，其他參數不變，其轉矩和轉矩密度曲線如圖8所示。對比圖7與圖8可知，θ與α對轉矩和轉矩密度的影響與圖7類似。當α=1，θ變化范圍為45deg到75deg時，轉矩在θ=65deg最大，且為70.78 N·m。同樣，當θ=60deg，α從1減小到0.8時，轉矩從69.94 N·m一直下降到56.15 N·m。當θ恒定時，α的變化對轉矩密度的影響與圖7類似，轉矩密度由于永磁體的用量驟減，呈先上升后下降的趨勢。當θ=60deg，且α=0.9時，轉矩密度最大，為702.55 kN·m/m3。從圖8(b)可以看出，隨著θ的增大，最大轉矩密度處的α值不同，例如θ=60deg時，α=0.9，轉矩密度最大且為702.55 kN·m/m3；θ=70deg時，α=0.8，轉矩密度最大且為739.53 kN·m/m3。磁化角度θ和極弧系數α共同影響著轉矩和轉矩密度。

圖7 轉矩性能隨θ和h變化規律Fig.7 Variation of torque performance due to θ and h

圖8 轉矩性能隨θ和α變化規律Fig.8 Variation of torque performance due to θ and α

圖9展示了不同的磁塊厚度h和極弧系數α對轉矩和轉矩密度的影響。保持其他參數恒定，h從4 mm增長到9 mm，α從0.8增長到1。h與α的增大有助于轉矩的增大，但α使轉矩的增長速率要小于h，那么h的影響更大。保持h=6 mm，α的變化范圍為0.8到1，轉矩由56.15 N·m增長到69.94 N·m。同樣保持α為1時，h從4 mm增長到9 mm，轉矩由44.43 N·m變化到100.04 N·m。但是，轉矩會隨著h和α的增大而增長速率變緩。結果如圖9(b)所示，轉矩密度隨著h和α的增大，先上升后下降。例如，h=6 mm時，轉矩密度由689.55 kN·m/m3增大到702.55 kN·m/m3，然后下降到687.12 kN·m/m3。保持α為1，轉矩密度由654.75 kN·m/m3增大到687.12 kN·m/m3，然后下降到655.22 kN·m/m3。

圖9 轉矩性能隨h和α變化規律Fig.9 Variation of torque performance due to h and α

3 多目標優化與分析

3.1 擬合模型

通常，如果優化目標與優化變量之間沒有已知的函數關系，那么可以通過擬合函數[15]來代替。擬合模型既可以實現較高的精確度，又可以取代耗時的有限元模型，加快優化進度。

根據3D有限元分析結果，得出大量采樣點，利用多項式回歸模型擬合目標函數轉矩(Te)和轉矩密度(Td)，并使用θ、h、α這3個優化變量，目標函數表示為：

Te=-333.112+5.197θ+5.642h+

337.626α-0.024θ2-0.545h2-

133.492α2-0.026θh-1.889θα+

13.885hα,

(1)

Td=-2903.541+57.454θ+68.592h+

3411.056α-0.226θ2-4.533h2-

1286.678α2-0.849θh-22.572θα+

40.316hα。

(2)

為了評估擬合函數的準確性，采用平方值(R2)，F檢驗統計量(F-statistic)和F-statistic的概率p。準確性評估見表2，兩個目標函數的R2接近1，且F-statistic很大，p小于0.05，可以判斷擬合結果的準確性很高。

表2 擬合模型的準確性評估

3.2 優化模型

盡管參數變化對轉矩和轉矩密度的影響在前面部分已經研究了，但是各個參數之間相互影響，依然無法得出全局最優解。新型雙段HAMC的多目標優化是解決Pareto解集的問題，具有一系列非劣解。在新型雙段HAMC的多目標優化問題中，目標函數是轉矩(Te)和轉矩密度(Td)。取θ=60deg、h=6mm、α=1為初始設計參數，引入轉矩參考值(Teref)和轉矩密度參考值(Tdref)，使得兩個目標函數有比較性。

其他參數保持原始數據，優化函數的公式可以寫成

(3)

約束條件如下：

(4)

采取NSGA Ⅱ對新型雙段HAMC進行多目標優化，與傳統的單目標優化不同，NSGA Ⅱ可以搜索全面的Pareto解決方案，更好地實現轉矩和轉矩密度的極大化。

Pareto前沿展示了非劣等解集，如圖10所示。從圖10可以看出，轉矩與轉矩密度不能同時達到最優。經過3D有限元法驗證，若只考慮轉矩，最大值達99.97 N·m；反之，只考慮轉矩密度，則最大值達758.01 kN·m/m3。

圖10 多目標優化的Pareto前沿Fig.10 Pareto frontier for multi-objective optimization

但在實際生產中，需要同時保證轉矩和轉矩密度都較大，如表3所示，選取了θ=69.52deg、h=6.99 mm、α=0.87為設計優化參數。將這組優化數據代入3D有限元仿真模型，比較結果見表4，可見擬合結果與有限元模型誤差在2%以內。

表3 設計優化參數

表4 優化模型誤差

新型雙段HAMC優化前后的穩態輸出轉矩如圖11所示，經過NSGA Ⅱ優化，優化前轉矩為69.94 N·m，優化后為73.86 N·m，提高了5.60%。且由表5可知，轉矩密度提高4.19%，達到了715.93 kN·m/m3。

表5 優化前后轉矩性能

圖11 優化前后穩態輸出轉矩Fig.11 Steady output torqueof non-optimized and optimized HAMC

3.3 氣隙磁密和轉矩性能分析

圖12展現了新型雙段HAMC優化前后兩個模型在平均半徑處氣隙磁密的FFT分解。為了深入分析優化后的新型雙段HAMC模型，利用Maxwell應力張量來計算轉矩[3]，得出平均半徑處的轉矩為

(5)

則平均半徑處氣隙磁密的軸向分量Bz(θ,z)和切向分量Bθ(θ,z)表達式分別為：

(6)

(7)

將式(6)與式(7)代入式(5)中，則式(5)可轉換為

(8)

圖12 平均半徑處氣隙磁密FFT分解Fig.12 FFT decomposition of air gap magnetic density at average radius

表6 平均半徑處氣隙磁密分布

設計變量參數不但會影響氣隙磁密基波幅值(6次諧波分量)，而且會影響氣隙磁密正弦性[13]。為了詳細研究氣隙磁密對轉矩性能的影響，引入氣隙正弦性畸變率KB來衡量氣隙磁密的正弦性，可以表示為

(9)

其中：Bm1為氣隙磁密基波幅值；Bm2，Bm3…Bmk為各次諧波幅值。由于轉子極對數為6，氣隙磁密周期數為6，氣隙產生6對極波，即Bm1=b6，Bm2=b12…Bmk=bk6。

為了深入分析單個設計變量對氣隙磁密和轉矩性能的影響，將初始參數定義為初始模型，h保持不變，θ和α優化之后的模型定義為改進模型(θ和α改變，h不變)，NSGA Ⅱ優化之后的模型定義為優化模型(θ、h和α均改變)。根據式(9)，表7列出了新型雙段HAMC不同設計參數與氣隙磁密值。

表7 不同參數的新型雙段HAMC

初始模型與改進模型對比如圖13所示，Bz正弦性畸變率由16.43%下降到9.28%，Bθ正弦性畸變率由22.73%下降到13.27%，θ和α的優化顯著提升了氣隙磁場的正弦性，但基波幅值也略有下降。所以可以通過增大磁塊厚度h，提升基波幅值，彌補轉矩的下降。與初始模型相比，優化模型的Bz正弦性畸變率下降到8.76%，Bθ正弦性畸變率下降到11.47%，Bz基波幅值上升到0.875 1T，Bθ基波幅值上升到0.647 2T，既降低了氣隙磁密正弦性畸變率，又提升了基波幅值。Pareto多目標優化之后的新型雙段HAMC轉矩性能整體得到了提升，與3D有限元仿真結果吻合。

圖13 氣隙磁密對比Fig.13 Comparison of air gap magnetic density

4 結 論

本文提出了一種新型雙段HAMC，并利用多目標優化方法提升轉矩性能。橫向對比傳統雙段HAMC與新型雙段HAMC的轉矩性能，發現新型雙段Halbach陣列可以有效地改善轉矩性能。以磁化角度θ、磁塊厚度h、極弧系數α為關鍵設計變量，縱向對比各關鍵設計變量對轉矩和轉矩密度的影響。為滿足實際設計需要，采用NSGAⅡ方法對轉矩和轉矩密度進行多目標優化，轉矩較之前增大5.60%，達到了73.86 N·m，轉矩密度為715.93 kN·m/m3，提升了4.19%。氣隙磁密和轉矩性能分析表明，磁化角度θ和極弧系數α有效改善了氣隙磁密正弦度，但基波幅值略有下降，可以調整磁塊厚度h彌補轉矩，整體提升新型雙段HAMC的轉矩性能。通過有限元結果驗證與分析，進一步證明了新型結構的合理性和多目標優化方法的有效性。