考慮圓柱副間隙的連桿機構動力學研究

敬 謙, 劉宏昭

(1.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院,西安 710048； 2.隴東學院 機械工程學院,甘肅 慶陽 745000)

隨著機構性能向高速化、輕量化的方向發展以及工業生產對制造精度要求的不斷提高，關節間隙日漸成為影響動力學性能的關鍵因素之一。近年來，許多學者關于包含間隙機構的動力學問題進行了大量的研究。Shen等[1]針對包含間隙關節的多體系統受常外力影響的動力學問題，采用加權平均的方法將改進后的黏滯阻尼系數融入接觸力模型中的阻尼項，結合赫茲接觸模型提出了一種新的接觸碰撞模型。Chen等[2]以平面2自由度9桿機構為對象，選用Lankarani-Nikravesh模型(L-N模型)和庫倫摩擦模型，通過拉格朗日方程和有限元方法計算了機構中間隙關節的法向和切向力，詳細分析了不同間隙值和驅動速度下的機構系統動力學特性。Guo等[3]將粗糙表面接觸力模型與L-N模型相結合，提出了一種考慮接觸體表面粗糙度的轉動副接觸力模型，分析不同碰撞速度、恢復系數及粗糙度對機構系統動力學性能的影響。Zhao等[4]將混合的潤滑模型與含間隙動力學模型進行耦合，得到了一種平面多體系統考慮間隙潤滑時的建模與求解方法。Wang等[5]選用Flores接觸力模型對五桿機構在同時考慮桿件柔性和關節間隙下的動力學特性進行了研究，進一步證實柔性桿件可以有效改善由于間隙引起的桿件磨損的推論。Cavalieri等[6]將轉動副間隙擴展至3D模型，使用非光滑的廣義α積分法建立運動方程，在不需要定義任何罰參數的情況下可以精準滿足位置和速度約束條件，并以多種機構系統為例進行了驗證，然而該方法對數值計算精度要求較高，且未考慮由于摩擦造成的能量耗散。通過采用開關鍵合圖的方法，王威等[7]對連桿兩端存在間隙和干摩擦的因素建立向量鍵合圖模型，由混合鍵合圖模型最終建立機構的動力學方程。但是該方法面對結構較為復雜的機構系統，動力學建模不易實現。

以上文獻，接觸力模型大多基于研究非共形接觸問題的赫茲接觸理論提出，為了保證在考慮間隙尺寸、恢復系數以及涂層等多種影響接觸力模型適用范圍的同時，不增加動力學數值計算難度，本次研究在對現常用接觸力模型分析的基礎上，將考慮涂層的等效彈性模量引入圓柱副內接觸力模型，得到的新模型較目前較為常用的接觸力模型具有更廣的適用性。以含間隙圓柱副曲柄滑塊機構為例，將不同驅動速度、間隙值大小以及涂層材料的機構動力學計算結果與文獻[8]的試驗結果進行對比,驗證了新接觸力模型的正確性。

1 含間隙機構動力學描述

含間隙機構系統動力學研究的最終目的是分析機構各部件的動力學特性和運動穩定性，進而為系統結構參數設計服務，使得機構系統在許可的精度下性能穩定、無故障長壽命運行[9]。在對理想機構系統運動學和動力學求解的基礎上，考慮包含間隙運動副機構動力學問題的關鍵是如何準確的描述間隙關節處的接觸碰撞過程。一般來說，含間隙機構動力學的分析方法分為以下幾個步驟：首先，計算含間隙關節元素之間接觸點的位置；然后，計算所考慮接觸點間的實際偏心距離eij，通過給定間隙值c計算接觸變形量δ，并以此來判斷接觸體的接觸狀態，不同接觸狀態如圖1所示；最后，通過接觸變形量δ的大小獲得間隙關節之間的相對法向速度vn和切向速度vt，含間隙關節機構動力學計算流程圖如圖2所示。

δ=eij-c<0

圖2 含間隙關節機構動力學計算流程圖

建立包含能量耗散的接觸力碰撞模型，將相對法向速度vn和切向速度vt代入碰撞接觸力模型，并以系統廣義外力的形式嵌入系統動力學模型，以此求得考慮間隙運動副影響下的機構系統動力學結果。以第一類拉格朗日方程的增廣法為例，考慮接觸碰撞力之后的動力學模型可寫為

(1)

2 圓柱副接觸力模型

圓柱副是考慮間隙機構系統中最為常見的一種運動副，其中最具代表性的是銷軸與軸套之間的間隙配合。通常情況下圓柱副可以分為外接觸圓柱副和內接觸圓柱副兩種形式，本次均以銷軸和軸套軸線始終平行的圓柱副內接觸為例，模型如圖3所示。接觸力模型通常是根據接觸點的幾何形狀和材料性質，假定接觸力與碰撞深度之間存在顯式或隱式關系，用碰撞深度來描述構件之間的局部變形并最終代入機構系統動力學方程對系統進行動力學分析。接觸力模型是研究考慮關節間隙對機構系統動力學影響的重要途徑，間隙關節中的摩擦模型與磨損模型都直接或間接的與接觸力模型相關[13]。考慮能量耗散的接觸力模型整體形式基本一致，均是由表示彈性接觸的法向接觸力和表示能量耗散的切向接觸力組成。

圖3 內接觸和外接觸

2.1 考慮不同接觸類型的接觸力模型

目前，為了準確描述間隙運動副中的碰撞力變化，選用的接觸力模型大多是基于Hertz接觸理論推導的一系列非共形接觸力模型，其中較為常用的幾種接觸力模型如表1所示。

表1 非共形接觸力模型

以上模型從恢復系數cr、間隙大小以及計算難度上均有不同的適用范圍，詳細可參考文獻[14]。需要注意的是，由于Hertz接觸理論在考慮包含間隙的圓柱副受力問題時，假定將長圓柱體壓縮為一個無限半空間的彈性體，在研究考慮存在徑向大間隙小載荷的非共形接觸體之間的彈性接觸問題時可以得到較好的效果，但在處理小間隙大載荷的圓柱鉸接副的內接觸情況時接觸力計算結果必然存在一定誤差[15]。從表1中可以看出，所列接觸力模型的彈性力部分與Hertz接觸力模型相同，因此均不適用于求解圓柱副內接觸情況下的接觸力。

為了解決機構中常見的共形接觸問題，諸多學者從純彈性接觸模型的角度進行了大量的研究Person接觸力模型在不考慮摩擦效應的前提下，假設軸與銷的徑向位移與碰撞深度存在一定關系的情況下建立的一種新接觸力模型。Radzimovski與Goldsmith將軸銷的材料細化，在考慮了軸向尺寸的基礎上找出了接觸力與碰撞深度的關系。遺憾的是，以上三種接觸力模型均沒有考慮能量的損耗，缺乏有力的試驗驗證，而且計算難度較大。在數學推導與試驗的基礎上Johnson提出了一種適用于大間隙和大接觸角且適用范圍較廣的共形接觸力模型，然而由于所得接觸力與接觸深度是隱函數關系，所以仍然存在計算結果精度不高，難度較大的不足。Pereira通過對大量圓柱副接觸力模型對比，在Johnson模型的基礎上針對圓柱副不同間隙下碰撞深度的指數選擇作了詳細的研究，得到了一種非常詳細的純彈性的共形接觸力模型，并將計算結果與有限元的仿真結果進行了對比。雖然Pereira模型可以精確計算出不同間隙時接觸力的大小，但在數值迭代過程中，對步長的選取以及計算機性能的要求較高，很容易出現結果不收斂的情況。

Liu等[16]基于Winker彈性基底模型采用有限元方法提出了一種形式簡單且更適用于圓柱副的共形接觸模型。其數學表達式為

(2)

式中:F表示單位軸向長度上的壓力外載荷;δ表示接觸變形量;L表示圓柱副長度，考慮平面問題時取1。ΔR表示轉軸i與軸套j兩接觸體之間的間隙值，當接觸為內接觸時轉軸半徑Ri與軸套半徑Rj的差值ΔR=Ri-Rj，接觸為外接觸時ΔR=d-(Ri+Rj)，其中d表示兩接觸體的中心距，幾何關系如圖3內接觸所示，E*表示等效彈性模量，具體可通過下式計算

(3)

在此基礎上文獻[17]選用有限元方法對Liu接觸力模型從接觸條件、圓柱副徑向尺寸、間隙大小、接觸深度以及材料屬性等多個影響適用性范圍的因素進行了闡述。結果表明，在滿足能夠利用初始碰撞點曲率半徑充分描述接觸體間隙變化的前提下，Liu接觸力模型相對其他大部分純彈性接觸模型結構形式簡單，且具有更高的計算精度和更加廣泛的適用性，更重要的是Liu模型可以通過形式上的轉化與Hertz接觸模型保持形式上的統一。將式(2)改寫為

(4)

FC=knδ1.5

(5)

此時，可保證Liu模型與Hertz接觸模型形式完全一致，有利于不同接觸類型的接觸力模型在考慮不同影響因素下的適用范圍，同時也為后續考慮能量耗散時新接觸力模型的推導提供合理依據。

2.2 考慮涂層的內圓柱副接觸力模型

銷軸配合當不能形成有效的動壓潤滑或者由于工況不能使用液體潤滑時，可以通過例如電鍍、噴涂、激光熔覆等特殊工藝將固體潤滑劑黏著在接觸表面形成固體潤滑涂層，從而起到減磨耐磨和增加零件表面力學性能的作用。文獻[18]根據基體厚度、所選材料的彈性模量以及發生屈服的臨界載荷確定了涂層的最佳尺寸。Chen等[19]以帶有硬質涂層球體為研究對象，利用有限元分析方法歸納總結出小球與鋼板碰撞時的塑性變形規律。王加春等[20]基于Winkler彈性基礎模型和Hertz橢圓形壓力分布假設建立了一種修正的雙彈性層接觸力模型，如圖4所示。該模型大大降低了對接觸過程的求解難度。由于Liu模型同樣是建立在Winkler彈性基礎模型和Hertz橢圓形壓力分布的基礎之上，因此本文采用同樣的方法對軸銷考慮涂層時選用Liu接觸力模型進行修正，得到內接觸圓柱副包含涂層的接觸力與碰撞深度的解析表達式，并同樣寫成Hertz接觸模型的形式

圖4 雙彈性層接觸模型

FC=kmδ1.5

(6)

2.3 考慮能量耗散的接觸力模型

上述共形接觸力模型只是單純地考慮接觸變形量與材料屬性之間的關系，沒有考慮接觸碰撞過程中接觸體動能與彈性勢能和耗散能之間的轉換關系。為了提高考慮間隙關節的機構系統動力學計算精度，通常還需要考慮與接觸碰撞速度相關的黏滯阻尼項。如表1所示，考慮能量耗散的接觸力模型中，黏滯阻尼項的主要不同在于遲滯阻尼因子，該因子決定了接觸力模型在接觸過程中能量耗散的方式，具體可參考文獻[14]。通過不斷提高遲滯阻尼因子對接觸過程中能量耗散的描述精度，可以更加準確的得到機構系統考慮間隙關節影響下的動力學結果。

Lankarani等[21]提出的L-N模型是目前諸多考慮阻尼力的一種常用且具有代表性的耗散接觸力模型，雖然L-N模型更適用于低恢復系數下的空間球鉸接觸，但其利用動能定理并假設動量守恒推導黏滯阻尼系數的方法被很多學者證實并進行了推廣[22-23]。其中，Flores等針對L-N模型的不足，以柔性材料為研究對象推導出一種適用于任意大小恢復系數的黏滯阻尼因子，進而得到一種適用接觸體材料更廣的接觸力模型，該模型不僅結構簡單且擁有更加穩定的數值解，Flores接觸碰撞力表達式可寫為

(8)

(9)

圖5 黏滯阻尼因子隨恢復系數的變化規律

2.4 切向碰撞力

間隙鉸處的接觸元素之間的切向碰撞力可選用文獻[25]中改進的庫倫摩擦模型進行計算，其具體表達式可以寫為

Ft=-udcdFdsign(vt)

(10)

(11)

式中:ud為動摩擦因數;vt為切向速度;cd為動態修正系數，修正系數的含義是為了在切向速度趨于零，積分處于動態響應高頻范圍時強制減小積分步數的一種方法，具體表達式見式(10)，其中v0、v1為給定的速度誤差。

2.5 新接觸力模型推導及特點

綜合所提法向接觸力模型和切向接觸力模型，將式(6)和式(9)結合，可得新的接觸碰撞力表達式

(12)

將Hunt-Crossley模型、L-N模型、Flores模型與接觸力模型進行對比，接觸碰撞力隨碰撞深度的變化關系如圖6所示。可以看出，Hunt-Crossley模型和L-N模型遲滯環形狀非常相似，均適用于恢復系數較大的接觸碰撞。Flores模型阻尼環較大，可用于任意大小恢復系數的接觸碰撞，具體模型特點可參考相關文獻[14-15]。以內接觸圓柱副為例，通過將新模型與以上三種接觸力模型對比發現，本文所提接觸力模型與Flores模型在碰撞深度與接觸力的變化關系上非常相似，可以證明式(14)所得新接觸力模型的正確性。

圖6 接觸碰撞力隨碰撞深度變化曲線

相較現有大部分考慮能量耗散的常用接觸力模型，本次所提新接觸力模型具有如下特點：

(1) 新接觸力模型是在Liu接觸模型基礎上的改進，因此在間隙尺寸、材料屬性以及計算難度等方面同樣具有廣泛的適用性；

(2) 新接觸力模型考慮到了軸銷存在固體潤滑層情況下的接觸力變化，可以為后續選用不同涂層材料研究圓柱副接觸表面的接觸力變化提供重要的理論依據；

(3) 針對L-N接觸力模型只適用于低恢復系數下的接觸碰撞問題，新接觸模型延續了Flores模型的優點，擴展了恢復系數的選擇范圍。

3 數值算例

為了驗證本文所提新接觸碰撞力模型的正確性并與試驗結果進行比對，建立與文獻[8]中結構參數和仿真參數相同的曲柄滑塊機構，機構簡圖如圖7所示，機構各構件參數及仿真參數如表2和表3所示。曲柄驅動轉度為200 r/min，初始驅動角度α=0°，考慮連桿與滑塊之間的轉動存在間隙。除考慮驅動速度對滑塊加速度變化曲線之外，其余數據均在滑塊完成1個完整周期運動之后采集。

圖7 間隙曲柄滑塊機構

表2 四桿機構參數

表3 曲柄滑塊機構仿真參數

當間隙接觸體不發生接觸時，構件不受外力，滑塊加速度為零，滑塊速度應當為常數，從圖8可以看出，考慮包含間隙關節的動力學對滑塊位移和速度變化影響很小，考慮間隙關節的滑塊位移曲線與理想機構位移曲線基本重合，說明考慮間隙對構件位移的影響不大，見圖8(a)。而隨著曲柄轉動角度的增加，考慮關節間隙的滑塊速度出現不同階段等于零的情況與理論分析結果相吻合，見圖8(b)。考慮包含間隙關節的機構系統非間隙關節處的關節反力可通過文獻[26]進行確定，例如圖7機構中的O點、A點以及滑塊處的關節反力可依次求得，關節反力隨驅動角度的變化曲線如圖9所示。

(a) 滑塊位移

圖9 理想關節接觸反力

3.1 間隙值對動力學性能的影響

通過圖10與Flores等試驗結果對比可以看出，當間隙值增大時，滑塊加速度幅值明顯增加，且在誤差允許范圍內滑塊加速度幅值變化與試驗結果相吻合。同時，選用本文所提處的新接觸力模型與上述文獻中考慮能量耗散的接觸模型對含間隙機構系統的動力學性能變化規律相同。

圖10 滑塊加速度變化曲線

3.2 驅動速度對動力學性能的影響

同樣，通過與試驗結果對比發現，圖11中3種不同驅動速度驅動下滑塊的加速度幅值與試驗結果變化趨勢相同，隨著驅動速度的增加，滑塊加速度變化愈加劇烈，且以周期開始階段最為明顯。

圖11 滑塊加速度變化曲線

滑塊加速度的數值結果與試驗結果存在誤差的主要原因有：① 未考慮機構系統各構件的關節柔性以及滑動軸承中的摩擦力與油膜潤滑；② 忽略了除間隙關節以外其它理想關節處的干摩擦；③ 試驗構件本身的裝配與加工精度存在誤差；④ 同一機構系統的不同工況和構件材料對恢復系數和摩擦因數的選擇具有不確定性，具體的參數選擇方法可參考相關文獻[27]。

3.3 涂層材料對機構動力學性能的影響

為了分析考慮涂層的圓柱副內接觸碰撞力對機構動力學性能的影響，選用軋制純銅、軋制鋁以及金屬鉛三種不同材料作為軸套的內表面涂層并進行動力學仿真，曲柄轉速200 r/min，間隙尺寸0.5 mm，涂層厚度3 mm，基底厚度6.5 mm，轉軸與基底材料均為合金鋼，滑塊加速度在考慮不同材料涂層的動力學仿真結果如圖12(a)所示。從圖中可以看出，涂層材料的不同對滑塊加速度的影響明顯，隨著涂層材料彈性模量的降低，滑塊水平方向的加速度幅值逐漸減小，間隙對機構整體的動力學性能影響減弱。同時，為了分析涂層厚度對考慮圓柱副間隙的影響，選用鋁作為涂層材料，曲柄轉速200 r/min，間隙尺寸0.5 mm，分別對三種不同涂層厚度的雙彈性層軸套加以分析，觀察滑塊水平方向加速度的變化規律如圖12(b)，顯然，隨著涂層厚度的不斷增加，滑塊加速度幅值呈明顯下降的趨勢，且下降趨勢相較圖12(a)更為明顯。

(a) 不同涂層材料

4 結 論

為了研究考慮包含間隙機構的動力學特性，在對國內外現有常用接觸力模型分析對比的基礎上，提出以Hertz接觸理論為基礎的一系列非共形接觸力模型在處理小間隙大載荷的圓柱鉸接副必然存在誤差的缺陷。在此基礎上，對比分析了Liu模型在間隙尺寸、材料屬性及計算難度等多個方面均具有廣泛的適用性，同時，將Liu模型在形式上與Hertz接觸模型進行了形式上的統一。依據數值仿真結果，選取一種更加精確的黏滯阻尼因子，與考慮涂層的彈性力模型相結合。得到一種適用于任意大小恢復系數且可選用不同涂層材料接觸體的圓柱副內接觸力模型，該模型中的等效彈性模量是以雙彈性層為例提出的。為了說明文中所提新接觸力模型的正確性，尤其是機構在考慮不同間隙大小、材料屬性以及涂層時動力學計算結果的準確性，以曲柄滑塊機構為例，研究考慮間隙圓柱副內接觸情況下的動力學問題，將仿真結果與文獻中的試驗結果進行對比，研究結果表明：

(1) 考慮間隙曲柄滑塊機構在不同間隙值和驅動速度變化時，滑塊加速度變化曲線與文獻[8]中試驗結果吻合，可以驗證本文所提接觸力模型的正確性。

(2) 間隙值增大使得滑塊加速度變化愈加明顯，峰值大小與試驗結果吻合。隨著驅動速度增加，滑塊加速度峰值相應增加，且主要表現在機構運動的前半個周期。

(3) 涂層材料和厚度對考慮圓柱副間隙的機構動力學結果影響顯著，彈性模量的減小和厚度的增加均會減小構件的加速度幅值，涂層材料與厚度的選擇問題還需要通過試驗進行驗證。

(4) 數值解與試驗結果存在誤差的原因主要是由于桿件柔性、潤滑條件以及裝配誤差等多方面因素造成，為了提高計算精度可以針對恢復系數和涂層材料與厚度的選擇問題進行更加深入的研究。