正弦曲邊負泊松比蜂窩結構面內沖擊性能研究

虞科炯， 徐峰祥， 華 林

(1.武漢理工大學 現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室，武漢 430070；2.武漢理工大學 汽車零部件技術湖北省協同創新中心，武漢 430070)

負泊松比多胞材料由于其輕質、隔振、高吸能、高阻尼等特性引起了國內外學者的廣泛關注，有望成為航空航天、汽車、建筑、醫療等領域不可或缺的材料之一[1]。隨著微納加工及增材制造技術(AM)的發展，材料設計空間被顯著拓寬，涌現了大量新型結構。不同于傳統實體材料，負泊松比多胞材料的胞元結構直接決定材料整體性能[2-3]。在沖擊載荷作用下，不同的胞元結構形式、排列組合方式都將對材料局部動態力學行為產生顯著影響。因此，正確建立胞元微結構幾何參數與多胞材料動力學的響應關系，是更好闡述負泊松比多胞材料變形機理的重要目標之一。

負泊松比多胞材料最早由Lakes[4]于1987年首次制備，其將聚氨酯泡沫放入鋁制模具中，并對其進行熱處理從而得到了具有內凹胞體的聚氨酯泡沫材料。自此以后，眾多學者針對負泊松比材料進行了大量研究，并提出了形式各異的拉脹結構，其中內凹胞元結構的研究備受關注。而早在1982年，Gibson等[5]便提出了胞元兩側內凹的二維六邊形蜂窩結構。之后，人們通過改變多邊形內凹構型和數量，相繼提出了雙箭頭胞元結構[6]以及星型胞元結構[7]等。例如，Wan[8]等分析了單胞結構參數對內凹蜂窩結構泊松比的影響后發現單胞的內凹程度會顯著影響其結構泊松比。Gong等[9]采用理論結合仿真的方法研究了星形蜂窩胞體不同幾何參數對其泊松比、楊氏模量、剪切模量等的影響。韓會龍等[10]研究了星形節點周期性蜂窩結構的面內沖擊動態響應特性，并總結出了該結構的密實應變以及平臺應力的經驗公式。張新春等[11]通過研究內凹六邊形蜂窩結構討論了胞元擴張角和沖擊速度對其面內沖擊性能和能量吸收機理的影響?？梢姡捌趯ω摬此杀榷喟牧系难芯抗ぷ髦饕窒抻谀愁惤Y構的靜力學性能以及負泊松比變化上，近些年才陸續開展沖擊載荷下結構的動力學演化特性和吸能機理研究。

正弦曲線拉脹結構最早是由Dolla等[12]提出，其將該結構旋轉成圓柱狀并應用于心血管支架設計中，從而得到了比普通支架更高的周向強度和動脈壁支撐表現。鄧小林等[13]在此基礎上研究了一種平面正弦曲線蜂窩結構，研究表明該結構的輕微拉脹效應可增強其平面內能量吸收能力。在一定程度上，負泊松比正弦曲線蜂窩結構可看作是傳統內凹六邊形蜂窩結構的變體，但其胞元幾何參數更少，且易于實現各參數的聯動調整以及蜂窩自動化參數建模。因此，有必要將正弦曲線引入常規內凹六邊形結構進行面內沖擊性能研究，進一步澄清胞元微拓撲結構變化對材料動力學演化特性的影響。

本文在傳統內凹六邊形蜂窩結構的基礎上，提出一種基于正弦曲線的負泊松比蜂窩結構，通過討論胞元振幅、沖擊速度以及胞壁厚度對其面內沖擊性能和能量吸收機理的影響，建立負泊松比多胞材料動力學沖擊特性與胞元微結構幾何參數的內在關系，從而為內凹胞元的設計提供新的思路。

1 計算模型

1.1 蜂窩幾何結構

圖1 正弦曲線的提取

取圖1中虛線框內正弦曲線的一個周期長度，將其引入到下方傳統內凹六邊形胞元中，從而得到如圖2所示的負泊松比蜂窩結構內凹胞元。其中，l1為上下對稱分布的兩條正弦曲線的周期長度、l2為胞元兩側臂長、t為壁厚、b為胞元的面外厚度。

圖2 負泊松比蜂窩結構的胞元示意圖

為了對不同負泊松比蜂窩結構進行面內動力學響應分析，本文將胞元內正弦曲線的振幅變量A設定在0.5～1.5 mm，采用相同的單胞臂長和壁厚建立由不同負泊松比胞元填充而成的蜂窩幾何結構模型，如圖3所示。

(a) A=0.5 mm

1.2 有限元模型

本文采用HYPERMESH/LSDYNA聯合仿真進行非線性動態顯式分析。如圖4所示為正弦曲線蜂窩結構的面內沖擊模型示意圖。其中，蜂窩試件被置于左右兩塊剛性板之間，長度為L1，寬度為L2，分別由不同振幅的正弦曲線胞元填充。研究表明，在x、y方向上排列胞元的數目超過10時，結構的動態響應更加穩定。為有效捕捉試件變形特征，試件在x、y方向上的胞元數目分別為16和15。模型加載時，左端剛性板固定，右端剛性板以恒定速度v沿x軸負方向沖擊試件。

圖4 正弦曲線蜂窩結構面內沖擊模型示意圖

其中，蜂窩材料為金屬鋁，采用理想彈塑性模型，沿z軸方向的面外厚度為1 mm，左右剛性板均定義為剛體，具體材料參數如表1所示。計算過程中蜂窩結構選用SHELL163薄殼單元進行離散，為保證計算精度和收斂性，沿厚度方向定義5個積分點。經過多次試算和靈敏度分析，最終確定網格尺寸為0.7 mm。采用與文獻[14-15]一致的邊界條件和接觸設置，即蜂窩結構左端與固定端剛體綁定，上下兩側面內自由，右端與沖擊端剛體之間采用面面自動接觸算法，摩擦因數為0.17；為防止沖擊后各結構相互穿透，蜂窩內部各胞元間設置單面自動接觸算法。另外，為保證沖擊過程中蜂窩始終滿足平面應變狀態，限制試件中所有節點的面外位移。

表1 蜂窩材料和剛性板材料參數

根據多孔材料理論和文獻[16]對蜂窩材料相對密度的定義，具有負泊松比效應蜂窩材料的相對密度可表示為

(1)

式中：ρ*為蜂窩結構的表觀密度；ρs為基體材料的密度；As為胞元實體部分的面積；Atotal為胞元總橫截面面積；li為胞臂總長度；t為胞壁厚度；L1，L2為整個蜂窩結構試件的長度和寬度。

根據式(1)，易知正弦曲線蜂窩試件的相對密度可由胞元的承載面積與其總橫截面面積的比值給出。因此，本文通過計算胞元內上下曲線、兩側胞臂的總長及總橫斷面面積，得到了相同壁厚下，不同振幅蜂窩試件的幾何參數以及振幅相同、壁厚不同時的蜂窩相對密度，如表2、表3所示。

表2 不同振幅正弦曲線蜂窩幾何參數

表3 不同壁厚正弦曲線蜂窩的相對密度(A=1.00 mm)

1.3 模型可靠性

為了驗證有限元模型的可靠性，本文建立了與文獻[17]參數相同的計算模型，討論常規六邊形蜂窩材料的面內沖擊變形模式。圖5給出了剛性板以v=3.5 m/s的速度沿x軸負方向沖擊六邊形蜂窩時，試件在不同時刻的變形狀態，兩者的載荷-位移曲線如圖6所示。由圖可見，在材料參數、載荷參數和邊界條件設置完全一致的情況下，本文計算結果與文獻[14]中面內變形模式和載荷-位移曲線基本吻合，證明了該有限元模型的可靠性。此外，沙漏能是衡量網格質量好壞的一個重要指標，也是驗證沖擊仿真模型的有效方法。在該模型的沖擊過程中，沙漏能和滑移能的總和小于總能量的5%，由此進一步證明了仿真模型的可靠性。

在對常規六邊形蜂窩結構研究的基礎上，本文將采用相同的方法建立正弦曲線蜂窩結構的有限元模型，用于討論它們的面內沖擊動力學性能。

(a) 本文

圖6 常規六邊形蜂窩沿x軸方向壓縮的載荷-位移曲線

2 模擬結果與討論

2.1 蜂窩結構的變形模式

變形的局部化和應力增強是蜂窩材料沖擊響應的典型特征[18]。圖7給出了兩種沖擊速度下，正弦曲線蜂窩結構在不同壓縮應變狀態時的典型變形模式。其中，名義應變ε為試件橫向壓縮位移與初始長度的比值。模型參數分別如下：A=0.75 mm、t=0.2 mm、v=10 m/s；A=0.75 mm、t=0.2 mm、v=90 m/s。在較低沖擊載荷(v=10 m/s)作用下，如圖7(a)所示，壓縮開始時，由于胞元結構自身的負泊松比效應，整個蜂窩試件發生了明顯的縱向頸縮現象。與此同時，局部變形帶率先在右側沖擊端出現。在該弧形變形帶上，靠近上下自由邊界的胞元兩側受拉，而弧形帶中部附近的胞元受壓。隨著壓縮的進行，固定端開始出現局部變形帶，并進一步加劇頸縮現象，而沖擊端中部受壓胞元逐漸潰縮成菱形內核，其上下側變形帶呈“人”字形由內向外擴張。當壓縮至ε=0.5時，固定端同樣開始生成菱形內核和上下對稱分布的變形帶，但其壓縮變形始終滯后于沖擊端。當ε=0.7時，蜂窩結構已不再有明顯的頸縮現象而是向外擴張并呈現出局部對稱的折疊結構。將沖擊載荷提高到v=90 m/s，如圖7(b)所示，變形模式發生了較大變化。此時，慣性效應起主導作用，蜂窩頸縮現象在壓縮中后期才逐漸顯現，其局部變形主要集中在沖擊端并由沖擊端逐層圧潰至固定端，最終趨于密實，這與其他結構形式的蜂窩材料變形模式基本相似。

ε=0.1

2.1.1 不同沖擊速度下蜂窩結構的變形模式

圖8給出了四種沖擊速度下，具有不同幅值的正弦曲線蜂窩結構在ε=0.3時的面內變形模式。其中，各結構壁厚t=0.2 mm，曲線幅值A分別取0.5 mm、1 mm、1.5 mm，沖擊速度v依次取3 m/s、10 m/s、30 m/s、90 m/s。

圖8 正弦曲線蜂窩結構在不同沖擊速度下的變形模式(t=0.2 mm，ε=0.3)

在v=3 m/s的低速沖擊載荷作用下，不同振幅的蜂窩結構的面內變形均集中在沖擊端和固定端，但局部應力分布有所不同。當ε=0.3時，A=0.5 mm的蜂窩結構，其沖擊端有明顯的弧形變形帶以及菱形內核雛形；固定端則呈現出縱向的頸縮現象和y向變形帶；蜂窩中間部分的胞元以行為單位向一側扭曲且關于結構x向中軸對稱交錯分布。而此時A=1 mm的蜂窩結構沖擊端的菱形內核已趨于密實且在縱向排列有不同于前者的“人”字形局部變形帶，其中間胞元則基本不變。至于A=1.5 mm的蜂窩結構，其兩端變形相似且應力分布相對于前兩種結構更為分散，中間部分的胞元整體扭曲也更明顯。由此可知，A=1.5 mm的蜂窩結構變形在三者中最為均勻，A=1 mm的蜂窩結構變形波動最大。

當v=10 m/s時，慣性效應開始顯現，各蜂窩結構的縱向頸縮現象更為明顯，沖擊端的變形帶開始逐層擠壓中間胞元；固定端的變形現象則被削弱，振幅較小的蜂窩結構均只出現程度輕微的弧形變形帶。各蜂窩兩端的變形存在較大差距，只有A=1.5 mm的蜂窩結構變形帶明顯且近似于三角形。

當v=30 m/s時，各蜂窩結構的頸縮現象依然可見，但面內變形基本上發生在沖擊端，固定端的少量變形也隨著振幅的增大而進一步減輕。隨著沖擊速度的逐步增大，慣性效應不斷增強，當v=90 m/s時，各蜂窩結構呈現出從沖擊端到固定端逐層圧潰的變形模式，這與常規蜂窩結構基本相似。

通過以上分析可知，正弦曲線蜂窩結構的面內變形模式與曲線幅值和沖擊速度有一定的關系。當中低速載荷沖擊時，曲線幅值越大，局部應力分布越分散，結構面內變形越均勻；當高速載荷沖擊時，振幅對蜂窩結構變形模式的影響基本可忽略不計。

2.1.2 不同厚度下蜂窩結構的變形模式

圖9給出了沖擊速度v=30 m/s時，具有不同胞壁厚度的正弦曲線蜂窩結構在ε=0.45時的面內變形模式。其中A=1 mm，厚度t分別取0.1 mm、0.2 mm、0.3 mm、0.4 mm。

(a) t=0.1 mm

由圖9可見，壁厚較小的蜂窩結構在沖擊端的局部變形帶比厚度大的蜂窩密實，而其在固定端的應力變形則相對較小，這使得該結構兩端的變形差距明顯。由此可知，在中高速沖擊時，厚度越小的蜂窩結構，其局部應力分布越集中，面內變形波動越大；因此，在一定程度上增大胞壁厚度可使蜂窩結構面內沖擊變形更加均勻。

2.2 蜂窩結構的動態響應分析

蜂窩面內壓縮的名義應力、名義應變為

(2)

式中：F為接觸反力；b為蜂窩面外厚度；δ為蜂窩壓縮位移；L1，L2為整個蜂窩試件的長度和寬度。

基于式(2)，圖10、圖11給出了不同振幅的正弦曲線蜂窩結構在四種沖擊速度下，固定端和沖擊端的面內沖擊響應曲線。由圖可見，在沖擊過程中，正弦曲線蜂窩結構變形具有與常規蜂窩結構總體相似的動態響應規律，即壓縮初始時近似的線彈性階段、達到初始應力峰值后相對穩定的平臺階段以及應力陡升的密實化階段。圖10中固定端的名義應力應變曲線表明：在振幅一定時，固定端的初始應力峰值和平臺段的應力波動幅度均隨著沖擊速度的增大而有小幅提高。當沖擊速度較大(v=90 m/s)時，變形起始階段存在某些時刻應力值接近于零的滯后現象且幅值越小，滯后現象越明顯。對此現象合理的解釋是蜂窩試件受沖擊后，沖擊端胞元被迅速壓縮，但固定端受力較遲且與支撐剛體存在局部節點的短暫分離，因此產生向試件內部傳遞的卸載波，同時，由于負泊松比效應，上下側材料縱向收縮抵御高速沖擊，從而出現應力滯后[19]。

(a) v=3 m/s

(a) v=3 m/s

與固定端相比，圖11中沖擊速度對沖擊端的應力波動影響更為明顯。在低速載荷(v=3 m/s)沖擊下，名義應力應變曲線與固定端基本相似，但隨著沖擊速度的增加，沖擊端的初始應力峰值有了大幅的提高。從圖11(c)、(d)中可以看出，在中高速載荷沖擊下，曲線幅值越小，沖擊端應力波動幅度越大，相應的平臺段應力越小，而這些應力波動主要是沖擊過程中，胞元快速坍塌并逐行圧潰、應力波在圧潰區傳播所致。

2.3 平臺應力與能量吸收特性

蜂窩材料的平臺應力定義為

(3)

式中：εcr為屈服應變，即初始應力峰值所對應的名義應變；εd為鎖定應變，可由名義應力再次達到初始應力峰值時所對應的應變確定；σ(ε)為隨名義應變而變化的名義應力。

基于式(3)，圖12給出了不同沖擊速度下正弦曲線蜂窩結構在沖擊端和固定端的平臺應力。由圖可知，隨著沖擊速度的增加，不同振幅蜂窩沖擊端的平臺應力均明顯增大，而固定端的平臺應力基本保持不變且相對較小。由圖13進一步可知，蜂窩結構沖擊端的平臺應力隨振幅的增加而不同程度的增大，其中沖擊速度越大，平臺應力增幅越明顯，其結果與文獻[11]基本一致。

圖12 不同沖擊速度下正弦曲線蜂窩的平臺應力

圖13 正弦曲線蜂窩沖擊端的平臺應力隨振幅的變化

為了分析蜂窩厚度對平臺應力的影響，圖14給出了不同厚度正弦曲線蜂窩在不同沖擊速度下的響應情況。取振幅A=1 mm的正弦曲線蜂窩結構在t=0.1 mm、0.2 mm、0.3 mm、0.4 mm和v=3 m/s、10 m/s、30 m/s、90 m/s下的沖擊響應情況進行比較。結果表明，蜂窩厚度是影響結構平臺應力的關鍵因素之一。隨著厚度的增加，固定端和沖擊端的平臺應力在不同沖擊速度下均有一定程度的增大。其中，固定端的增幅較為明顯，但由于其平臺應力值較小，故依舊保持在較低的應力水平；沖擊端的平臺應力增幅雖然不如固定端，但其增長凈值相對較大，因此可在一定程度上解釋增大壁厚可使蜂窩面內沖擊變形更加均勻的現象。

(a) 固定端

對于蜂窩材料而言，吸能特性評價指標能夠反映其能量吸收能力，主要包括比吸能(specific energy absorption, SEA)和壓縮力效率(crash load efficiency, CLE)等。其中，比吸能(SEA)即材料單位質量吸收的能量，可以表示為[20]

(4)

(5)

式中：Fp、Fm分別為平臺載荷、初始峰值載荷；σp、σm分別為平臺應力、初始峰值應力。

圖15所示為四種振幅正弦曲線蜂窩結構(相同壁厚)在不同沖擊速度下的比吸能變化曲線。

(a) v=3 m/s

由圖15可以看出：當v=3 m/s時，沖擊起始階段正弦曲線蜂窩結構的振幅越小，能量吸收能力越好。隨著壓縮量的增大，振幅較大的蜂窩結構負泊松比效應凸顯，在ε=0.4時，振幅A=0.75 mm的正弦曲線蜂窩的吸能性能超越了A=0.5 mm的正弦曲線蜂窩，并在余下的沖擊過程中保持領先。而A=1 mm和A=1.5 mm的兩種正弦曲線蜂窩由于其相對密度較大，使得總體的比吸能水平與振幅較小的兩種蜂窩結構有明顯差距。值得注意的是，振幅A=1.5 mm的正弦曲線蜂窩的比吸能在ε約為0.7時反超了A=1 mm的正弦曲線蜂窩，呈現出快速上升的走勢，并最終接近振幅較小的兩種蜂窩結構吸能水平。這是由于A=1.5 mm的蜂窩結構面內變形時應力分散，變形模式更為均勻，而A=1 mm的蜂窩結構變形波動較大所致的。當v=10 m/s時，正弦曲線蜂窩結構的能量吸收能力反比于振幅大小，直到ε接近0.8時，不同振幅蜂窩結構的比吸能曲線才產生交點，此時各結構的吸能能力趨于一致，隨后振幅A=1.5 mm的蜂窩結構的比吸能曲線快速上升，這說明一定沖擊速度下，振幅較大的蜂窩結構在沖擊過程后期其單位質量能量吸收能力較好。當v=30 m/s、90 m/s時，A=0.5 mm的蜂窩結構比吸能曲線始終高于其他大振幅蜂窩結構，其中振幅越小，吸能能力越好。這是由于在高速載荷沖擊下，大振幅蜂窩結構的負泊松比效應尚未完全顯現，結構便已從沖擊端開始被逐層圧潰。由上述分析可知，隨著沖擊速度的增大，不同振幅的正弦曲線蜂窩結構的比吸能均有所增加，在中低速沖擊時，改變振幅大小對蜂窩結構的能量吸收能力有較大的影響；在高速沖擊時，慣性效應增強，蜂窩結構的振幅越小，相應的比吸能越大，但總體上各結構吸能水平差距較小。

圖16所示為四種振幅正弦曲線蜂窩結構的壓縮力效率隨速度的變化曲線?？梢钥闯觯翰煌穹恼仪€蜂窩結構的壓縮力效率曲線均近似于“V”形，其中低速和高速沖擊時的壓縮力效率明顯高于中速沖擊。蜂窩結構的振幅越大，壓縮力效率也越大，這表明結構能更有效地吸收能量，恰好印證了上文蜂窩面內變形模式中曲線幅值越大，結構面內變形越均勻的結論。

圖16 不同振幅正弦曲線蜂窩的壓縮力效率隨速度的變化

結合圖15和圖16可以看出：低速沖擊時，盡管振幅較小的正弦曲線蜂窩結構壓縮力效率較低，但由于其相對密度較小，故比吸能較大，即單位質量能量吸收能力較好；高速沖擊時，蜂窩結構具有較高的壓縮力效率，因此比吸能較大，吸收的能量也相應增加，但由于慣性效應的存在，在蜂窩結構面內沖擊變形模式中，不同振幅蜂窩結構間的壓縮力效率差距可忽略。

為了對比正弦曲線蜂窩的吸能特性，本文選取上文中四種不同振幅正弦曲線蜂窩相對密度的平均值0.053 8，作為常規正六邊形蜂窩的相對密度，另外取比吸能較大的A=0.5 mm正弦曲線蜂窩和與其內凹程度一致的負泊松比六邊形蜂窩進行比較。三種蜂窩結構均采用相同方法建立沖擊模型，結果如圖17所示：在中高速沖擊時，A=0.5 mm正弦曲線蜂窩和內凹六邊形蜂窩的吸能曲線相近且長期位于常規正六邊形蜂窩的上方，說明兩者的吸能特性均優于常規正六邊形蜂窩，此外，從圖17(a)中可以看出，在v=30 m/s,ε約為0.4時，兩者的比吸能優勢相對于常規正六邊形蜂窩達到了最大且均至少有40%的提高。進一步結合初始沖擊力數據，在v=30 m/s時，A=0.5 mm正弦曲線蜂窩結構的峰值沖擊力為75.6 N，而內凹六邊形蜂窩為94.9 N，由此可知，盡管中高速時正弦曲線蜂窩結構與

(a) v=30 m/s

內凹六邊形蜂窩比吸能水平相近，但正弦曲線蜂窩結構具有低于后者20%左右的峰值沖擊力，即更大的壓縮率效率，這進一步證明了其優于其他常規結構蜂窩的吸能能力。

3 結 論

本文針對不同振幅、不同厚度的正弦曲線蜂窩結構，研究了不同沖擊載荷作用下結構的面內動態沖擊特性，從變形模式、動態響應以及吸能特性方面得到結論如下：

(1) 正弦曲線蜂窩結構的面內變形模式主要與振幅和沖擊速度有關。中低速沖擊時，振幅越大，結構面內變形越均勻；高速沖擊時，慣性效應增強，振幅對蜂窩結構變形模式的影響較小。

(2) 在中高速沖擊時，厚度越小的正弦曲線蜂窩結構，其局部應力分布越集中，面內變形波動越大。增大胞壁厚度可在一定程度上使蜂窩結構面內沖擊變形更加均勻。

(3) 在相同的沖擊速度下，增加正弦曲線蜂窩結構的壁厚可使其兩端的平臺應力增大。當壁厚相同時，蜂窩結構沖擊端的平臺應力隨振幅的增加而不同程度的增大，其中沖擊速度越大時，相應的平臺應力增幅越明顯；而此時固定端的平臺應力始終較小且基本保持不變。

(4) 隨著沖擊速度的增大，不同振幅的正弦曲線蜂窩結構的比吸能均有所增加。在中低速沖擊時，改變振幅大小對蜂窩結構的能量吸收能力有明顯的影響，其中振幅較小的蜂窩結構總體吸能表現較好；在高速沖擊時，振幅越小，則比吸能越大，但總體上各結構吸能水平差距較小。

由此可見，合理優化正弦曲線蜂窩結構的振幅、壁厚等參數，能夠有效地提高正弦曲線蜂窩結構在不同沖擊載荷作用下的吸能能力，并且獲得優于內凹六邊形蜂窩結構等其他常規蜂窩的能量吸收表現。