高轉速硬涂層阻尼薄壁圓柱殼的行波共振特性研究

王 宇， 夏 鑫， 楊志宏， 于曉光

(遼寧科技大學 機械工程與自動化學院，遼寧 鞍山 114051)

薄壁圓柱殼類構件在航空航天和艦船等葉輪旋轉機械中應用廣泛，例如：航空發動機的鼓筒和高壓軸等典型的薄壁圓柱殼構件，低階振動時通常具有軸向半波數為1的特征。隨著燃氣輪機等動力裝備的升級換代，在外部復雜服役工況條件下，此類構件的振動問題越來越突出，容易產生共振、失穩和局部疲勞失效等問題[1-3]。采用硬涂層阻尼技術提高結構的動力學特性，近年來得到了學者的廣泛關注，在現有薄壁殼體構件的硬涂層技術中，采用特殊的金屬基硬涂層阻尼材料，研究結構的動力學特性，進而可以提高構件使用壽命的作用，有效的避免振動疲勞等問題。因此，針對高轉速硬涂層阻尼薄壁圓柱殼構件的共振特性進行研究，具有一定的指導意義和工程應用價值。

針對薄壁殼體結構的振動問題，近幾年得到了相關科技工作者的廣泛重視，取得了可觀的研究成果[4-10]。對于具有硬涂層阻尼技術薄壁結構的振動研究，也開始引起了學者們的高度重視，具有代表性的研究成果如下：杜廣煜等[11-12]采用電弧離子鍍法在不銹鋼基片上沉積制備和研究了NiCrAlY涂層的化學和物理屬性，結果表明NiCrAlY阻尼涂層能明顯地提高基底的性能。Ren等[13]通過有限元法研究了硬涂層阻尼薄壁圓柱殼的固有特性和硬涂層參數變化對構件的影響。Li等[14]通過實驗研究了懸臂邊界條件下硬涂層對薄壁圓柱殼的影響，結果表明NiCrAlCoY+YSZ硬涂層能引起固有頻率的輕微變化，在低階/低頻時阻尼效應更明顯。Chen等[15]采用能量法和Rayleigh-Ritz法，對帶有NiCrAlY硬涂層阻尼葉片的葉盤結構進行了振動分析，結果表明硬涂層有明顯的阻尼作用，而整體葉盤只產生了輕微的頻率變化。Yang等[16]基于Voigt-Reuss等效原理和Lindstedt-Poincaré擾動方法求解了帶有NiCrAlY硬涂層薄板的固有特性，并對其非線性振動特性進行了行為研究。Sun等[17]采用瑞利-里茲法分析了固支-自由邊界條件下NiCrAlCoY+YSZ硬涂層薄壁圓柱殼構件的自由振動特性。Song等[18]基于Voigt方法求解了懸臂時旋轉薄壁殼體結構的高階振動特性。張月等[19]采用有限元方法研究了固支-自由邊界條件下考慮應變依賴性的NiCrAlCoY+YSZ硬涂層圓柱殼的固有特性。王宇等[20]針對三種邊界約束條件下旋轉態光滑薄壁圓柱殼的共振問題進行了探討。綜上所述，在高速旋轉時，目前對于以NiCrAlY和NiCrAlCoY+YSZ阻尼材料為代表的硬涂層薄壁圓柱殼構件，其共振特性尚缺少相應的研究。

因此，針對高速旋轉硬涂層薄壁圓柱殼構件，在固支-自由、簡支-簡支和固支-固支三種典型邊界條件下，基于Love薄殼理論、Viogt-Reuss原理和傳遞矩陣法對構件的振動特性進行求解，并與文獻中的計算結果進行比較，分析兩種具有代表性硬涂層材料薄壁圓柱殼構件的模態特性與倍頻激振作用下的共振特性，為硬涂層薄壁殼體類復合結構的振動設計研究提供理論支撐。

1 旋轉硬涂層薄壁圓柱殼的行波共振特性

1.1 旋轉態硬涂層薄壁圓柱殼模型

在柱坐標系Oxθz中，圖1為旋轉態硬涂層阻尼薄壁圓柱殼的模型，O為模型端面上的圓心，以角速度Ω繞x軸旋轉，基體和硬涂層的長度均為L，基體的半徑和厚度表示為R1和H1，硬涂層的半徑和厚度表示為R2和H2，uj、vj和wj(j=1,2)分別表示基體和硬涂層在x軸、y軸和z軸方向上的振動位移，硬涂層薄壁圓柱殼沿x軸方向分成n0個子段，每個區段的長度分別為L1,L2,…,Li,…Ln0。

(a) 硬涂層薄壁圓柱殼構件

1.2 硬涂層薄壁圓柱殼的行波共振特性求解

根據復合結構的Viogt-Reuss等效原理，把硬涂層薄壁圓柱殼進行等效處理，等效材料的彈性模量、泊松比、密度和剪切模量用硬涂層材料和基體材料的彈性模量、泊松比、密度和剪切模量進行按體積分數比例綜合貢獻得到，設Em為基體的彈性模量，Ef為硬涂層的彈性模量，Vm為基體的體積分數，Vf為硬涂層的體積分數，μm為基體的泊松比，μf為涂層的泊松比，則硬涂層薄壁圓柱殼等效材料的彈性模量E、泊松比μ、密度ρ和剪切模量G分別為

(1a)

μ=μfVf+μmVm

(1b)

ρ=ρfVf+ρmVm

(1c)

(1d)

硬涂層薄壁圓柱殼構件等效后的中面半徑和厚度分別為

(2a)

H=H1+H2

(2b)

根據Love薄殼理論[21]，任一區段硬涂層薄壁圓柱殼構件的振動微分方程表示為

(3a)

(3b)

(3c)

Kirchhoff面內切力Vx和橫向剪力Sx分別為

(4a)

(4b)

中面法線繞x軸的轉角θx、內力Nx和內力矩Mx的表達式分別為

(5a)

(5b)

(5c)

令m表示硬涂層薄壁圓柱殼構件的軸向半波數，n表示周向波數，ωmn表示行波頻率，定義位移解的形式為

(6a)

(6b)

(6c)

式中，“+”和“-”分別表示由于柯氏力和離心力引起的離心剛化效應，固有頻率隨轉速變化產生后行波和前行波。

沿硬涂層薄壁圓柱殼構件的縱向分為n0個子段，n0=2j(j為自然數)，共n0+1個截面，任一截面上的狀態向量為

(7)

在狀態向量中的位移、轉角、內力和內力矩可以表示為

(8)

對上述變量進行整合，推導得到的一階常微分方程組為

(9)

對于任一區段的相鄰兩截面，從一端面到另一端面的傳遞矩陣關系表示為

(10)

相鄰兩個截面的傳遞矩陣關系為

(11)

在簡支-簡支、固支-固支和固支-自由三種典型邊界條件下，通過如下方法求解行波頻率值：

(1) 簡支-簡支邊界條件

(12)

(2) 固支-固支邊界條件

(13)

(3) 固定-自由邊界條件

(14)

令式(12)、式(13)和式(14)的系數行列式分別為零，可以編程計算得到不同邊界條件下的行波頻率，即

det(T′)=0

(15)

(16)

由于外部復雜激振力作用的隨機性，在實際中主要考慮周期激振力的作用，當激振力頻率與行波頻率有式(17)的關系時構件容易發生共振現象，即

ωmn=N·ωeN=1,2,3…

(17)

式中，ωe為激振力頻率。

共振是一種能量聚集的現象，使構件發生危險的幾率增加，為了判斷構件在高速旋轉時是否會發生共振現象，通過繪制Campbell圖進行判斷，在周期性倍頻激振力作用下，激振頻率表達式為

(18)

式中：K表示諧波系數；Nw表示工作轉速。本文取K=1、2、3即可滿足要求，Nw=1.5×104r/min。

當構件在啟動、停止和變速工況條件下，工作轉速附近的共振臨界轉速比較危險，應避開工作轉速的±10%，一般用共振裕度[22]來描述，可以表示為

(19)

式中，Nr表示共振點對應的共振臨界轉速。

2 算例分析

針對高速旋轉的硬涂層阻尼薄壁圓柱殼構件，在固支-自由、簡支-簡支和固支-固支三種邊界約束條件下，采用本文方法沿殼體縱向分成16子段，基體所示的光滑薄壁圓柱殼材料為Ti5Al2.5Sn[23-24]，兩種硬涂層阻尼材料分別取NiCrAlY和NiCrAlCoY+YSZ，表1和表2分別給出了硬涂層薄壁圓柱殼構件的尺寸參數和材料參數，其中包括文獻[19]的相關參數。

表1 硬涂層薄壁圓柱殼的幾何參數

表2 硬涂層薄壁圓柱殼的材料參數

2.1 固支-自由邊界條件

為了驗證計算結果的準確性，利用本文方法，采用文獻[19]中的參數進行計算，硬涂層材料為NiCrAlCoY+YSZ，得到的結果如表3所示。可以看出，本文方法和文獻[19]得到的結果具有較好的一致性，各階頻率的平均誤差約為1.15%，最大誤差約為1.74%，誤差在合理范圍內，說明了本文分析方法的有效性。

表3 硬涂層薄壁圓柱殼的前5階固有頻率

當轉速在0時，對于NiCrAlY和NiCrAlCoY+YSZ兩種硬涂層材料與文獻[20]中不帶硬涂層時薄壁圓柱殼構件，由式(15)和式(16)進行求解，對眾多階次篩選后得到的低階靜頻值和三維模態振型如表4和圖2所示。由表4和圖2可知，當轉速為0時，帶有硬涂層1和硬涂層2時薄壁圓柱殼的最低階靜頻值均對應(1,4)模態，與不帶硬涂層時構件的最低階三維模態振型相同，但靜頻值均減小，帶NiCrAlY硬涂層薄壁圓柱殼的靜頻值減小了0.98%，帶NiCrAlCoY+YSZ硬涂層薄壁圓柱殼的靜頻值減小了2.15%，同時其余各階的靜頻值也發生了偏移。隨著階次的增加，帶有硬涂層1和硬涂層2時硬涂層薄壁圓柱殼對應的三維模態振型相同，前六階依次為(1,4)、(1,3)、(1,5)、(1,6)、(1,2)和(1,7)，與不帶硬涂層薄壁圓柱殼的模態振型完全相同，前六階振型仍然以周向模態的振動為主，并且在自由端的振動幅度最大。

表4 固支-自由邊界條件下薄壁圓柱殼的靜頻值

第1階

當轉速為0～2×104r/min時，在轉動坐標系下帶有硬涂層1和硬涂層2時高轉速薄壁圓柱殼的Campbell圖如圖3所示。可以看出，殼體結構的前后行波頻率曲線隨著轉速的增加明顯分離，在K=1、K=2和K=3倍頻激勵作用下，與前六階模態的前行波和后行波的行波頻率線存在多個共振點，但是K=2和K=3時激振頻率線和行波頻率線的交點都遠離工作轉速。在工作轉速附近，硬涂層阻尼薄壁圓柱殼構件容易引起共振的共振點僅有1個，與不帶硬涂層時構件的共振點數量相同。對于帶NiCrAlY的硬涂層薄壁圓柱殼，在K=1倍激振力作用下，與(1,6)階模態形成共振，而第1階模態沒有發生共振，共振頻率為1 726 Hz，共振臨界轉速為16 484 r/min，與工作轉速的共振裕度為9.89%；對于帶NiCrAlCoY+YSZ的硬涂層薄壁圓柱殼，在K=1倍激振力作用時，同樣和(1,6)階形成共振，對應的共振頻率為1 706 Hz，共振臨界轉速為16 290 r/min，與工作轉速的共振裕度為8.6%。所以，不帶硬涂層和帶兩種不同硬涂層時薄壁圓柱殼都容易引起(1,6)階模態的共振，但是對應的共振頻率和臨界轉速均增加。

(a) 硬涂層1

2.2 簡支-簡支邊界條件

當轉速在0時，對于NiCrAlY和NiCrAlCoY+YSZ兩種硬涂層材料與文獻[20]中不帶硬涂層時薄壁圓柱殼構件，由式(15)和式(16)進行求解，對眾多階次篩選后得到的低階靜頻值和三維模態振型如表5和圖4所示。由表5和圖4可知，當轉速為0 r/min時，帶有硬涂層1和硬涂層2時薄壁圓柱殼的最低階靜頻值均對應(1,5)模態，與不帶硬涂層時構件的最低階三維模態振型相同，但靜頻值增加，帶NiCrAlY硬涂層薄壁圓柱殼的靜頻值增加了3.15%，帶NiCrAlCoY+YSZ硬涂層薄壁圓柱殼的靜頻值增加了1.93%，同時其余各階的靜頻值也發生了偏移。隨著階次的增加，帶有硬涂層1和硬涂層2時硬涂層薄壁圓柱殼對應的三維模態振型相同，前六階依次為(1,5)、(1,4)、(1,6)、(1,7)、(1,3)和(1,8)，與不帶硬涂層薄壁圓柱殼的模態振型相比較，第2階和第3階振型發生了變換，但前六階振型仍然以周向模態的振動為主，并且振動幅度最大部位發生在殼體中部。

表5 薄壁圓柱殼的靜頻值

第1階

當轉速為0～2×104r/min時，在轉動坐標系下帶有硬涂層1和硬涂層2時高轉速薄壁圓柱殼的Campbell圖如圖5所示。可以看出，由于柯氏力的作用，隨著轉速的增加殼體結構的前行波和后行波頻率曲線明顯分離。在K=1、K=2和K=3倍頻激勵作用下，與前六階模態的前行波和后行波的行波頻率線存在多個共振點，但是K=2和K=3時激振頻率線與行波頻率線的交點都遠離工作轉速。在工作轉速附近硬涂層阻尼薄壁圓柱殼構件容易產生共振的共振點有2個，而不帶硬涂層時構件的共振點僅有1個。對于帶NiCrAlY的硬涂層薄壁圓柱殼，當K=1倍頻激振力作用時，與(1,5)階和(1,3)階模態發生共振，共振頻率為1 645 Hz和1 725 Hz，共振臨界轉速分別為15 709 r/min和16 474 r/min，與工作轉速的共振裕度為4.73%和9.83%；對于帶NiCrAlCoY+YSZ的硬涂層薄壁圓柱殼，當K=1倍激振力作用時，同樣與(1,5)階和(1,3)階模態發生共振，共振頻率為1 626 Hz和1 705 Hz，共振臨界轉速分別為15 529 r/min和16 279 r/min，與工作轉速的共振裕度為3.53%和8.53%。所以，同不帶硬涂層時的薄壁圓柱殼相比較，帶兩種不同硬涂層薄壁圓柱殼除了容易引起(1,5)階模態的共振，還容易引起(1,3)階模態的共振，對應的共振頻率和臨界轉速均增加，并且共振裕度數值越小越容易引起對應階次的共振。

(a) 硬涂層1

2.3 固支-固支邊界條件

當轉速在0時，對于NiCrAlY和NiCrAlCoY+YSZ兩種硬涂層材料與文獻[20]中不帶硬涂層時薄壁圓柱殼構件，由式(15)和式(16)進行求解，得到的低階靜頻值和三維模態振型如表6和圖6所示。由表6和圖6可知，當轉速為0 r/min時，帶有硬涂層1和硬涂層2時薄壁圓柱殼的最低階靜頻值均對應(1,6)模態，與不帶硬涂層時構件的最低階三維模態振型相同，但靜頻值均變大，帶NiCrAlY硬涂層薄壁圓柱殼的靜頻值減小了0.68%，帶NiCrAlCoY+YSZ硬涂層薄壁圓柱殼的靜頻值減小了1.85%，同時其余各階的靜頻值也發生了偏移。隨著階次的增加，帶有硬涂層1和硬涂層2時硬涂層薄壁圓柱殼對應的三維模態振型相同，前六階依次為(1,6)、(1,5)、(1,4)、(1,7)、(1,3)和(1,8)，與不帶硬涂層薄壁圓柱殼的模態振型相比較，第1階和第2階振型相同，其余各階振型發生了變化，但前六階振型仍然以周向模態的振動為主，在殼體中部的振動幅度最大。

表6 固支-固支邊界條件下薄壁圓柱殼的靜頻值

第1階

當轉速為0～2×104r/min時，在轉動坐標系下帶有硬涂層1和硬涂層2時高轉速薄壁圓柱殼的Campbell圖如圖7所示。可以看出，殼體結構的前后行波頻率曲線隨著轉速的增加明顯分離，在K=1、K=2和K=3倍頻激勵作用下，與前六階模態的前行波和后行波的行波頻率線存在多個共振點，但是K=2和K=3時激振頻率線和行波頻率線的交點都遠離工作轉速。在工作轉速附近，硬涂層阻尼薄壁圓柱殼構件容易產生共振的共振點有3個，不帶硬涂層時構件的共振點僅有1個。對于帶NiCrAlY的硬涂層薄壁圓柱殼，在K=1倍激振力作用下，與(1,4)階、(1,5)階和(1,3)階模態形成共振，而第1階模態沒有發生共振，共振頻率分別為1 562 Hz、1 656 Hz和1 697 Hz，共振臨界轉速分別為14 917 r/min、15 814 r/min和16 208 r/min，與工作轉速的共振裕度為0.55%、5.43%和8.05%；對于帶NiCrAlCoY+YSZ的硬涂層薄壁圓柱殼，在K=1倍激振力作用下，同樣與(1,4)階、(1,5)階和(1,3)階模態形成共振，共振頻率分別為1 544 Hz、1 637 Hz和1 677 Hz，共振臨界轉速分別為14 740 r/min、15 632 r/min和16 015 r/min，與工作轉速的共振裕度為1.73%、4.21%和6.77%。所以，同不帶硬涂層時的薄壁圓柱殼相比較，帶兩種不同硬涂層薄壁圓柱殼除了容易引起(1,3)階模態的共振，還容易引起(1,4)階和(1,5)階模態的共振，對應的共振頻率和臨界轉速均減小，并且共振裕度數值最小的(1,4)階最容易發生共振，而在其它交點處的共振裕度均大于10%。

(a) 硬涂層1

3 結 論

本文基于Love薄殼理論、Viogt-Reuss原理和傳遞矩陣方法，在固支-自由、簡支-簡支和固支-固支三種邊界約束條件下，通過算例分析了高速旋轉硬涂層阻尼薄壁圓柱殼的行波共振特性，主要結論如下：

(1) 對固支-自由邊界條件下硬涂層薄壁圓柱殼的固有頻率進行計算，與文獻中的結果基本一致，最大誤差小于2%，驗證了本文分析方法的合理性。

(2) 當轉速為0時，在三種邊界條件下NiCrAlY硬涂層比NiCrAlCoY+YSZ硬涂層薄壁圓柱殼的各階靜頻值偏高，兩種硬涂層材料對構件的第1階模態振型無影響，僅靜頻值發生了偏移，隨著階次的增加和邊界條件的變化，前六階三維模態振型的順序發生了變化。

(3) 在2×104r/min轉速范圍內，在三種邊界條件下轉速對兩種硬涂層材料薄壁圓柱殼行波頻率的影響較大，高轉速時前、后行波頻率曲線明顯分離。在工作轉速附近和倍頻激勵作用時激振頻率線與前六階模態的前、后行波頻率曲線存在共振裕度小于10%的共振點，共振點數量與邊界條件和倍頻激振力有關。

(4) 對于高速旋轉的兩種硬涂層薄壁圓柱殼構件，隨著邊界條件的變化，共振模態不一定發生在第1階，而是隨著共振點變化容易引起對應階次的模態振動，并且共振裕度越小越容易引起相應階次模態的共振，通過調整構件的工作轉速、固有頻率或激振頻率等措施，保證構件在工作轉速時有充分的裕度，避免發生共振現象。