大型有限元模型頻響快速修正方法

范新亮， 王 彤， 張麗君， 夏遵平

(1. 南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室， 南京 210016；2. 中車唐山機車車輛有限公司， 唐山 063000)

有限元模型修正首先在航空航天領域提出，發展至今日已形成了一個龐大的理論體系，并且在運載火箭、衛星、航天飛機、飛機和直升機結構的響應與載荷預示、顫振分析、振動控制均得到了廣泛的應用[1]。模型修正方法按用以修正的試驗數據不同可分為基于模態參數的方法[2-6]和基于頻響函數的方法[7-9]。Modak等[10-11]通過數值仿真詳細對比了兩種方法的差異及收斂性。基于模態參數的方法易受模態識別的影響而引入了誤差及不確定性；而基于頻響函數的方法則避免了提取模態參數帶來的誤差，且具有大量數據，對于解決待修正參數眾多的問題具有優勢。然而，在大噪聲干擾下和初始頻響殘差較大時收斂困難、規模龐大的有限元模型修正效率低下等問題均制約著基于頻響函數的模型修正方法的進一步發展。

為了提高頻域修正方法的收斂性，Pascual等[12-13]基于頻響相關性準則，提出一種移頻方法，并利用分析和測試頻響相匹配的頻率點對應數據進行修正，提高了參數的收斂速度及范圍。Gang等[14]在該方法基礎上引入偽自由度的概念解決測試頻響信息不足而導致收斂困難的問題。為了解決自由度數目龐大的有限元模型修正問題，常常需要引入模型縮聚方法將有限元自由度縮聚至測試自由度。而利用模型縮聚難以避免引入較大的近似誤差，Li等[15]通過迭代過程更新縮聚矩陣來減小縮聚引起的誤差。模型縮聚方法僅可利用測試自由度上的頻響信息的特點不利于收斂，Gang等提出將有限元模型縮聚到實測和用戶選擇的偽自由度上，從而增加了用于修正的頻響的自由度數目。但是利用模型縮聚的坐標縮減方法引起的誤差依舊較大，且形成縮聚矩陣本身計算量也較大。因此又有學者研究了采用子結構綜合技術對系統的自由度縮減后進行模型修正的方法。Papadimitriou等[16]在貝葉斯模型修正技術的基礎上，利用模態綜合技術得到縮減的系統，并計算相應的靈敏度，減小了修正的計算規模。王陶等[17]提出了基于改進自由界面子結構模態綜合法的結構模型修正方法，通過子結構綜合技術得到由攝動量表示的綜合系統方程和靈敏度方程，僅需對綜合方程進行修正。然而對于頻響函數在綜合坐標下的靈敏度以及如何對頻域的系統縮減后進行模型修正的方法尚少有研究。

為此，本文提出一種基于縮減基的有限元模型頻響修正方法，將系統的位移表示為模態綜合縮減基或模態振型縮減基的線性疊加，從而將自然坐標映射至縮減坐標下，得到了縮減坐標下的頻響函數殘差的靈敏度矩陣，使得修正過程均在縮減坐標上進行，相比利用模型縮聚將總體自由度映射至測試自由度上的方法，在計算效率及精度上均有所提高。同時引入移頻方法以增加收斂性，由原先的基于測試頻響的頻率點處的頻響殘差最小化改進為基于所匹配的頻率點處的頻響殘差最小化；并基于模態展開式推導了精度較高的分段頻響擴充方法，減小擴充誤差對修正過程的影響。仿真算例和試驗驗證均表明該方法對于規模巨大的有限元模型能高效地得到穩健的修正結果。

1 理論背景

1.1 模態綜合方法

圖1 薄板模型子結構劃分

(1)

根據界面協調條件可得到系統自然坐標下的總體位移向量u為

(2)

其中Bs為子結構的約束模態集及主模態集所組成的Φ經坐標變換矩陣T、S作用后的綜合基

Bs=TΦS

(3)

(4)

式中，M、K、C、f分別為質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷向量。式(2)代入式(4)推導得到系統在模態綜合坐標下的運動方程為

(5)

1.2 基于模態綜合縮減基的修正方法

假設系統的真實參數為p*，對應系統矩陣分別為MT、KT、CT，由式(5)在綜合坐標下有頻域公式

(6)

類似地，假設有限元模型的初始參數為p，有：

(7)

(8)

(9)

取DT=DF+ΔD代入式(8)，其中ΔD為動剛度矩陣的修正量可得到

(10)

與文獻[14]類似，可推導得到進行頻率點匹配后的迭代修正方程

(11)

(12)

(13)

(14)

假設有限元模型按材料參數分為Np個組，則可以將ΔD(ω)表示為

γeKe)

其中：Me、Ke為單元質量、剛度矩陣，αe、γe為單元質量、剛度矩陣修正系數增量；Ce、De為單元阻尼矩陣，βe為單元阻尼矩陣修正系數。將該式代入式(14)可得到系統參數識別方程

(15)

其中θ為αe、βe、γe組成的待識別的修正參數增量，系數矩陣S為

(16)

(17)

式(15)即為利用模態綜合縮減基轉換至模態綜合坐標下的頻域模型修正公式。

1.3 基于模態振型縮減基的修正方法

由頻響模態展開式

(18)

式中：Φ為系統的模態振型;Λ為系統特征值;E為單位矩陣;下標l與h分別代表系統的低階模態與高階模態。將式(18)右乘ej并展開得到

(19)

由式(19)知任意一列頻響可通過系統的模態振型疊加而得。即測試頻響可以用實際系統的完備低階模態作為基底進行表示。而實際系統的完備低階模態無法得到，因此以有限元模型的完備低階模態進行代替。由式(19)，取擬合式

(20)

(21)

其中上標*表示測試自由度對應分量，由式(20)、(21)得到擴充后測試頻響

(22)

與式(19)類似，取測試頻響及有限元頻響為

(23)

自然坐標下基于移頻的頻響直接矩陣方法的公式為

(24)

式(23)代入式(24)簡化得到

(25)

(26)

式(26)即為利用模態振型縮減基轉換至模態坐標下的頻域模型修正公式，與式(14)形式一致，通過1.2節類似推導可得其迭代方程。將基于模態綜合縮減基或模態振型縮減基的方法統稱為縮減基方法。

1.4 算法實現相關問題

1.4.1 縮減基與模型縮聚的對比

應用最廣泛的IRS縮聚(improved reduced system)方法，其縮聚矩陣為[18]

(27)

對于1.3節中轉換至模態坐標下和通過模型縮聚轉換至測試坐標下的修正方法，可以分別理解為以有限元模型的低階模態矩陣ΦF,l和特定的縮聚方法得到的基Td代替式(2)中的模態綜合基矩陣Bs，而后進行與1.2節相同的推導得到與式(15)形式完全相同的修正公式，即

(28)

(29)

值得注意的是，三種方法無一例外需要以有限元模型的基矩陣代替相應真實系統的基矩陣，帶來了近似誤差，因此三種基矩陣在近似誤差的差異上的比較也成為判斷其優劣的標準。雖在數學上難以證明，但在實際應用中發現多數情形下基于模態綜合縮減基或模態振型縮減基的方法的近似誤差要小于模型縮聚方法，尤其當測點較少時，模型縮聚方法的誤差會急劇增加。以某模型為例，圖2表示分別以三種有限元基矩陣代替真實系統的基矩陣所形成的坐標下動剛度矩陣求解的頻響與真實系統的理論頻響的幅值相關性。可見相同情況下，基于縮減基的方法的近似誤差要遠小于模型縮聚方法。

圖2 三種方法所計算頻響與理論頻響幅值相關性對比

1.4.2 基矩陣的迭代更新

subject topL≤p≤pU

(30)

根據上一小節的分析，以有限元模型的基矩陣代替真實系統的基矩陣將帶來近似誤差。文獻[15]通過迭代中不斷更新縮聚矩陣Td的方法減小了模型縮聚方法中該誤差對待修正參數識別的影響。因此本文方法中每一個迭代步以上一步修正后的有限元模型更新的縮減基矩陣來代替真實系統的基矩陣，隨著有限元模型參數逼近真實參數時，該近似誤差得以消除。

1.4.3 寬頻帶頻響擴充方法

如圖3所示，通過選擇模態指示函數的半功率帶寬內的頻率點可以得到測試頻響函數的分段：

圖3 測試頻響函數分段

(31)

(32)

2 算例分析

2.1 仿真算例

采用Garteur飛機仿真模型驗證本文方法的收斂性及迭代速度。有限元模型劃分為5個區域，如圖4所示。每個區域的彈性模量、密度及阻尼系數作為待修正參數，共計15個參數。分別在無噪聲和20%噪聲水平下采用本文方法進行修正。有限元模型劃分為3個子結構進行模態綜合。自然坐標下模型的自由度為99 798，模態綜合坐標下模型自由度僅為582，有效減小了修正過程的矩陣運算規模。

圖4 Garteur飛機有限元模型子結構劃分

2.1.1 無噪聲下頻響修正

將待修正參數向量的某組數值作為真實參數值，計算其有限元模型頻響作為仿真測試頻響；取上下界為真實參數值70%～130%的變化范圍對該組數值進行攝動得到有限元模型修正前的初始參數，計算其頻響得到初始分析頻響。初始分析頻響與仿真測試頻響對比如圖5所示，其相關性較小，殘差較大。

圖5 修正前初始分析頻響與測試頻響對比

如圖6、圖7所示為經過3個迭代步修正后的分析頻響與測試頻響，相關性有了很好的改善。理論上在無噪聲情形下修正后的參數將與真實參數完全一致，但由于擴充頻響過程產生的誤差、自由度縮減過程的假設帶來的誤差是等效的頻響噪聲，對參數識別的過程同樣產生了擾動。在模態綜合坐標下，單個迭代步運行時間僅為220 s左右；而自然坐標下則需要2 400 s(硬件信息：CPU-Intel i5 7300HQ，RAM-8G，OS-Windows 10 Pro，SSD-intel 256 G)。可見基于模態綜合縮減基的方法在保證參數收斂性的前提下，有效提高了模型修正的效率。

圖6 修正后分析頻響與測試頻響對比

圖7 修正前后分析頻響與理論測試頻響幅值相關性對比

2.1.2 20%噪聲水平下頻響修正

初始待修正參數設置同2.1.1節。如圖8所示，仿真測試頻響添加20%的噪聲，以驗證基于模態綜合縮減基的方法在大噪聲情形下的修正精度。

圖8 修正前初始分析頻響與測試頻響對比

在大噪聲情形下，經過10個迭代步修正后達到收斂，除第6階模態對應頻帶外，其余頻帶的修正后分析頻響與測試頻響相關性有了很好的改善，如圖9、圖10所示。可見在大噪聲干擾下，基于模態綜合縮減基的方法收斂性仍較好。若采用基于模態振型縮減基的方法，取80階有限元模態作為坐標變換基矩陣，模態坐標下模型自由度為80，單步迭代所需時間僅為180秒，且修正精度與基于模態綜合縮減基的方法類似。

圖9 修正后分析頻響與測試頻響對比

圖10 修正前后分析頻響與理論測試頻響幅值相關性對比

2.2 試 驗

以某型列車轉向架構架作為試驗對象，進行多參考點錘擊試驗，采用N-Modal模態參數識別軟件識別試驗結果。從測試角度，測點布置應清晰地反映出各階振動形態，參考點布置需要考慮到避開各階振型的節點；從模型修正角度，布置盡可能完備的測點不僅能有效提高擴充精度，且能有效反映有限元模型與測試模型的振動形態差異，所修正的有限元模型亦愈逼近真實模型。如圖11所示。

圖11 試驗結構與測試設備

有限元模型劃分為10個區域，如圖12所示。每個區域的彈性模量、密度及阻尼系數作為待修正參數，共計30個參數。由于構架為焊接的一體化結構，其各個區域之間焊縫厚度的不確定性以及焊接區域的力學性質的未知導致了有限元模型與實際結構相差較大。同時，數目眾多的待修正參數均給模型修正帶來了較大的難度。設置初始待修正參數后計算得到初始分析頻響，其中某些測試自由度的初始分析頻響與測試頻響對比如圖13所示，其頻響相關性較小。

圖12 構架有限元模型子結構劃分

圖13 修正前初始分析頻響與測試頻響對比

有限元模型劃分為3個子結構進行模態綜合。自然坐標下模型的自由度為181 356，模態綜合坐標下模型自由度僅為1 830，大大減小了修正過程的矩陣運算規模。如圖14、15所示，采用基于模態綜合縮減基的方法進行修正，通過若干迭代步后，修正后分析頻響與測試頻響相關性有了很好的改善。

檢驗修正前后的模態頻率變化，如表1所示，修正前后平均頻率誤差由12.72%降低至0.61%。因此，基于模態綜合縮減基的方法不僅在初始分析頻響與測試頻響相關性較差、待修正參數較多、具有較大測試噪聲干擾等情況下收斂性較好，且有效提高了模型修正的效率。若采用基于模態振型縮減基的方法，取80階有限元模態作為坐標變換基矩陣，模態坐標下模型自由度為80，修正精度與基于模態綜合縮減基的方法類似。

圖14 修正后分析頻響與測試頻響對比

圖15 修正前后分析頻響與測試頻響幅值相關性對比

表1 修正后各階頻率對比

3 結 論

針對規模巨大的有限元模型，本文提出了基于縮減基的頻域有限元模型修正方法，通過數值算例與試驗結構的模型修正表明：

(1) 對于自由度高達幾十萬的有限元模型，利用模態綜合縮減基或模態振型縮減基可以有效減小矩陣運算規模，提高修正算法的計算效率。

(2) 在測試噪聲較大、初始分析頻響與測試頻響殘差較大、待修正參數較多等復雜情形下，本文方法仍具有較好的收斂性。

(3) 轉向架模型修正中，本文方法修正后的分析頻響與測試頻響的相關性有較大的提高，這對實際結構在較復雜情形下的大型有限元模型修正具有一定的意義。