強噪聲作用下復合材料壁板氣動彈性摩擦非線性振動

張君賢， 瞿葉高， 謝方濤， 郭其威 ， 張崇峰

(1.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240；2.上海宇航系統工程研究所,上海 201108；3.上海航天技術研究院，上海 201109)

為了減輕結構重量并提高結構強度，在高速飛行器結構設計中廣泛采用復合材料層合壁板。在高速飛行時，壁板常常處于氣動載荷和噪聲載荷聯合作用下的復雜力學環境中。由于制造和裝配過程中產生的誤差，非光滑摩擦界面廣泛存在于結構邊界處(例如飛行器壁板連接處)，導致壁板產生復雜的非線性動力學行為。Dowell[1]基于von Karman非線性應變和完全線性化氣動載荷模型研究了壁板的顫振行為，分析了不同馬赫數和板的長寬比對壁板產的影響。Shore等[2-4]基于有限元方法建立了壁板的非線性顫振數值模型，研究了不同邊界條件以及不同來流角度的氣動載荷對壁板顫振特性的影響。Dhainaut等[5]研究了熱和聲載荷聯合作用下復合材料壁板的隨機振動響應，分析了壁板的線性隨機振動、跳變運動和非線性隨機振動等響應。Vahid等[6]采用三次NURBS基函數建立了板的幾何形狀，分析了斜層合板的自由振動和線性顫振問題，結果表明，斜板兩端的纖維方向對其顫振穩定性有顯著影響。Pacheco等[7]研究了柔性梁加固板的顫振問題，結果表明將加強筋建模為不動邊界會高估顫振邊界。Guimar?es等[8]分析了復合材料壁板的纖維軌跡對復合材料板氣動彈性的影響，指出對纖維的牽引轉向是提高復合材料板氣動彈性和屈曲性能的有效手段。在國內，夏巍等[9-10]針對飛行器壁板的氣熱彈性問題開展了一系列研究，提出“穿零頻次”的概念對熱聲載荷聯合作用下壁板的跳變運動特性進行了研究[10]。沙云東等[11]從結構勢能出發，認為跳變運動是因為屈曲后平板的勢能曲線出現了兩個勢能井，較大的激勵使平板在兩個勢能井間跳躍，而當溫度增加時勢能井加深，跳變運動逐漸被限制在單一勢能井中。Chai等[12]研究了基于彈性地基的點陣夾芯板在超音速氣流作用下的熱彈性顫振和熱屈曲特性，并利用彈性地基實現在不影響結構固有頻率的情況下消除結構的熱屈曲。Sun等[13]導出了二維壁板在經典齊次邊界條件下顫振問題的解析結果，并基于精確解進行了氣動力作用下壁板的動力學響應分析。Lin等[14]研究了含形狀記憶合金的復合材料壁板在熱、氣動載荷和聲載荷共同作用下的動力學響應，結果表明形狀記憶合金可以顯著改變復合材料的振動特性。Jiang等[15]研究了梯形復合材料層合板在超音速氣流作用下的熱彈性問題，詳細分析了鋪設參數和氣流方向等對壁板熱屈曲和顫振邊界的影響。針對含摩擦邊界的振動結構，國內外學者也開展了相關研究。Lassalle等[16]采用諧波平衡法和實驗研究了摩擦阻尼作用下葉片圓盤的非線性氣動彈性行為。Xie等[17]采用宏觀黏滑摩擦模型模擬了摩擦邊界，基于有限元方法建立了含摩擦邊界的復合材料層合壁板顫振的數值模型，研究了摩擦邊界參數對層合壁板顫振響應的影響。

本文基于von Karman型非線性應變、Reddy三階剪切鋸齒理論和準穩態一階活塞理論，采用高斯限帶白噪聲模型計算壁板所受聲壓，利用宏觀黏滑摩擦模型對摩擦邊界進行建模，建立了強噪聲載荷作用下含摩擦邊界復合材料壁板的氣動彈性非線性動力學有限元數值計算模型。研究了在不同聲壓和氣動載荷聯合作用下壁板的非線性振動響應，在此基礎上分析了摩擦邊界正壓力對壁板振動響應的影響。

1 動力學方程

含摩擦邊界的復合材料壁板模型如圖1所示，其中a,b和h分別表示壁板的長度、寬度和厚度。在壁板中面上引入笛卡爾坐標系o-xyz，其中高速氣流沿著x軸正方向流過，有限帶寬的高斯隨機噪聲載荷以聲壓Pacoustic的形式沿著z軸負方向均勻作用于壁板表面。不失一般性，假設摩擦邊界沿著x=x1至x=x2分布在y=b邊界上。

圖1 含摩擦邊界的復合材料壁板

采用Reddy三階剪切鋸齒理論來描述復合材料壁板的振動變形。層合板內任意一點處的位移可以表示為

(1)

式中:u，v和w分別表示層合板中面上任意一點沿x，y和z方向的位移分量；?1，?2，η1和η2為中面上的廣義位移變量。φ(z,k)為鋸齒函數，用于滿足層合板厚度方向位移場分段連續性條件，其表達式為

(2)

式中:zk和zk+1表示第k鋪層下表面和上表面的z坐標;hk=zk+1-zk代表第k鋪層的厚度。

考慮壁板的幾何非線性大變形效應，采用von Karman位移-應變關系得到層合板內任意一點處的應變為

(3)

第k層壁板鋪層的應力分量可表示為

(4)

應用準穩態一階活塞理論，得到作用在復合材料壁板上的氣動力為

(5)

式中:λ和RM分別代表無量綱動壓和無量綱氣動阻尼；D110為當層合板中所有纖維方向都與氣流方向相同時壁板彎曲剛度矩陣中的第一個元素，具體表達式見文獻[5]。

采用有限帶寬高斯白噪聲來描述均勻施加在壁板表面上的隨機氣動噪聲載荷。當指定聲壓級SPL時，采用下式計算聲載荷的功率譜密度[18]

(6)

式中:p0代表參考聲壓，p0=20 μPa；fc為聲載荷的上截止頻率。

根據功率譜密度可以得到有限帶寬高斯白噪聲的聲壓表達式

(7)

式中，n代表時域范圍內需要計算的所有時間步。

采用如圖2所示的宏觀黏滑摩擦模型計算摩擦邊界上的摩擦力。圖中m為摩擦邊界中包含的有限元節點個數。當由壁板變形產生的彈性力小于臨界摩擦力時，摩擦邊界處于黏滯狀態并且等效為剛度為kt的線性彈簧支承邊界；當彈性力大于臨界摩擦力時，摩擦邊界轉換為滑移狀態，此時接觸面間發生滑動并且產生一個大小恒定的摩擦力作用在摩擦邊界上。基于宏觀黏滑摩擦模型計算的摩擦力為

圖2 宏觀黏滑摩擦模型

(8)

(9)

強噪聲和氣動載荷聯合作用下含摩擦邊界復合材料壁板的非線性氣動彈性動力學方程由Hamilton原理推導得出

(10)

式中:T和V分別代表層合板的動能和應變能；Wareo,Wf和Wacoustic分別表示由氣動載荷，邊界摩擦力和隨機聲載荷所做的功。T,V,Wareo和Wf的表達式見文獻[17]。聲載荷所做的功δWacoustic可以表示為

(11)

式中,Pacoustic為根據式(6)計算得到的聲壓載荷。

將δT,δV,δWareo,δWf和δWacoustic的表達式代入式(9)并采用有限元方法對壁板進行離散，可以得到壁板的非線性動力學方程

(12)

2 算例及討論

本節選取的研究對象為正方形壁板，其幾何尺寸為：0.3 m×0.3 m×0.000 9 m；所有鋪層的厚度相等，鋪設方式為[0°/90°/0°/0°/90°/0°]s，每個鋪層的材料參數為：E1=69 GPa，E2=10 GPa，μ12=0.22，G12=G13=G23=4.55 GPa，ρ=1 550 kg/m3。 層合板的邊界條件為：x=0 m和x=0.3 m兩條邊上為簡支邊界條件，在y=0.3 m的邊上沿x=0.15 m至x=0.3 m為摩擦接觸面，其余邊界自由。摩擦邊界的接觸剛度kt=1×105N/m，正壓力N0=50 N，摩擦因數μ=0.3。

2.1 結果驗證

為了驗證計算程序的正確性，計算了四邊簡支壁板的前兩階固有頻率隨無量綱動壓λ的變化規律，并與文獻[19]進行了對比，對比結果如圖3所示，從圖中可以看出本文結果與已有文獻中的結果吻合得很好。

圖3 四邊簡支壁板的固有頻率隨無量綱動壓λ的變化曲線

2.2 強噪聲作用下復合材料壁板的顫振特性分析

如前所述，當摩擦邊界處于黏滯狀態時，摩擦邊界為線性彈簧支承邊界。因此，在計算壁板的顫振臨界動壓時，將壁板的摩擦邊界替換成一系列剛度大小為摩擦邊界接觸剛度的線性彈簧即可。如圖4為摩擦壁板的前四階固有頻率隨無量綱動壓λ的變化曲線。結果表明，隨著λ逐漸增加，第二階和第三階固有頻率逐漸相互靠近并且在λ≥273時重合，因此可以得到壁板的臨界顫振動壓為λcr=273。

圖4 壁板固有頻率隨無量綱動壓λ的變化曲線

圖5為作用在壁板表面上的氣動噪聲載荷的時域波形，聲壓級取為90 dB。圖6為在聲壓級為90 dB的噪聲載荷作用下，無量綱動壓分別為λ=0，λ=210，λ=300和λ=330時層合板幾何中心處的橫向振動位移響應。結果表明，來流動壓較小時，氣動載荷幅值較小，壁板沒有產生穩定的顫振響應，如圖6(a)和圖6(b)；而隨著來流動壓的增大，壁板發生顫振響應，如λ=300時的響應曲線的幅值開始趨于穩定，當λ=330時壁板振動的幅值基本穩定。這表明，隨著氣動載荷的增大，氣動載荷逐漸對壁板的顫振響應占據主導作用。圖7給出了無量綱動壓為λ=0和λ=330時，層合板的橫向振動位移響應的概率密度。圖中的曲線是按照每組數據的平均值與標準差作為參數作出的正態分布曲線。結果表明，僅有聲壓載荷作用時(即λ=0)，層合板的橫向振動位移響應的分布基本符合正態分布，其與作用于層合板表面上的聲壓載荷分布形式是一致的；而當λ=330時，層合板的橫向振動位移響應分布呈現為一個雙峰分布，這表明壁板的振動響應在兩個峰值之間振蕩，也即氣動載荷主導下的極限環運動特征。

圖5 隨機聲壓載荷(90 dB)

(a) λ=0

(a) λ=0

將氣動載荷λ=330時的噪聲載荷提高至120 dB，得到的壁板中心的橫向振動位移響應與響應的概率密度，如圖8所示。結果表明，層合板的橫向振動位移響應相比于噪聲載荷為90 dB的情況顯著增大，但層合板的極限環顫振特征已經消失，層合板的振動表現為接近于正態分布的隨機振動，這種情況下噪聲載荷對于層合板的振動響應占據主導作用。

圖8 聲載荷(120 dB)和氣動載荷(λ=330)聯合作用下壁板位移響應及其概率密度

2.3 摩擦邊界正壓力對壁板響應的影響

首先考慮僅有氣動載荷作用下的含摩擦壁板的非線性振動響應。圖9給出了無量綱動壓λ=330作用下，取摩擦邊界上正壓力為N0=0.05 N和N0=50 N時，計算得到的層合壁板幾何中心處的橫向振動響應。從圖中可以看出，正壓力取50 N時，層合板的橫向振動位移響應幅值明顯大于正壓力為0.05 N的情況。通過計算，得到兩種正壓力條件下，層合板摩擦邊界上宏觀黏滑模型的臨界摩擦力大小分別為15 N和0.015 N。圖10(a)給出了位于壁板x=0.15 m，y=0.3 m處的摩擦力曲線。從圖中可以看出所有時刻的摩擦力絕對值均小于臨界摩擦力，此時摩擦邊界處于完全黏滯狀態并可以等效為彈性支承邊界，且由于僅有氣動載荷作用下壁板的振動類型為極限環振動，因此穩定后的摩擦力也呈現一定的周期性。圖10(b)則給出了同樣載荷情況下但正壓力為0.05 N時，位于壁板同一位置處的摩擦力曲線。結果表明層合壁板的振動存在明顯的黏滯與滑移運動狀態相互切換的現象。根據上一節的理論分析可知，處在滑移狀態的摩擦邊界存在著相對滑動，從而耗散了壁板的振動能量，因此這種情況下的層合壁板振動響應相比于正壓力50 N作用下完全黏滯的壁板響應更小。

圖9 不同正壓力條件下壁板的位移響應(SPL=0, λ=330)

(a) 正壓力50 N

下面考慮噪聲載荷與氣動載荷聯合作用下的壁板非線性振動響應。圖11給出了噪聲載荷和無量綱動壓分別為120 dB和λ=330時的摩擦力曲線。結果表明，相較于僅有氣動載荷作用的情況而言，處于黏滯狀態的摩擦力變得十分復雜，具有隨機性。圖12給出了x=0.15 m，y=0.25 m處的層合板橫向振動位移響應。從圖中可以發現，由于正壓力為5N的摩擦邊界上存在滑動摩擦，其耗散了壁板振動的能量，壁板的橫向振動位移響應相對于完全黏滯狀態有所減小。對比圖9的結果可知，圖12中由于摩擦邊界滑移削弱的層合壁板振動響應程度較小，這一方面是因為強噪聲載荷的引入使得摩擦力甚至氣動載荷對壁板振動的影響減弱；另一方面，統計兩種載荷條件下滑移狀態占整個時間歷程的比例可以發現，圖9所示的運動有97.1%的時刻存在滑移運動，而圖12所示的運動僅有2.1%的時刻存在滑移運動。

(a) 正壓力50 N

圖12 不同正壓力對位移響應的影響(SPL=120 dB, λ=330)

3 結 論

本文建立了強噪聲載荷作用下含摩擦邊界復合材料壁板的氣動彈性非線性動力學有限元數值計算模型。利用Reddy三階剪切變形鋸齒理論結合von Karman大變形理論建立壁板的非線性結構模型。采用高斯限帶白噪聲、一階活塞理論和宏觀黏滑模型分別計算噪聲載荷、氣動載荷和摩擦邊界上的摩擦力。結果表明：

(1) 在不同氣動載荷和聲載荷的聯合作用下，壁板的振動響應會呈現出由氣動載荷主導的極限環運動特征和聲載荷主導下近似服從正態分布的隨機振動；

(2) 摩擦邊界上過大的正壓力使得摩擦邊界的運動狀態處于完全黏滯的狀態，減小正壓力會導致臨界摩擦力的減小從而使摩擦邊界上存在耗散振動能量的滑移運動狀態，從而對層合壁板的振動位移響應產生抑制作用；

(3) 含有強噪聲載荷作用的情況下，相對較小的摩擦力對壁板響應的影響較弱，同時占比較少的滑移狀態也使得摩擦力對位移響應的削弱作用很小。