基于非線性MPC的分布式驅動電動汽車轉矩協調控制

2021-07-14 03:46:38莊元強張邦基

振動與沖擊 2021年13期

莊元強，吳洋，張邦基，胡文

(湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

隨著能源短缺和環境污染等問題日益突出，電動汽車技術作為解決這些問題的關鍵手段之一，受到了廣泛地關注[1]。除了節能和環保的優勢外,電動汽車的安全性同樣是人們所關注的焦點。當其在高速過彎、變道以及在低附著路面轉向等情況下，很容易因輪胎力達到附著極限而發生失穩，使得車輛處于危險工況。而分布式驅動電動汽車(distributed driven electric vehicle，DDEV)作為全新形式的電動汽車，具有各輪轉矩單獨可控、轉矩響應快速和執行精確等性能優勢，極大地提高了車輛的操縱的靈活性，也為車輛穩定性控制提供了良好的前提。因此，針對DDEV開展的穩定性控制研究具有重要的意義。

近年來，國內外學者在DDEV穩定性控制方向開展了大量的研究工作[2～9]，王進等[4]提出了以橫擺角速度及質心側偏角為控制目標的模糊滑模橫向穩定性控制，但是僅采用平均分配實現附加橫擺力矩控制，忽略了輪胎動態響應的差異。Liang等[5]基于輪胎動態載荷變化來分配轉矩，提高汽車的橫向穩定性。羅劍等[6]提出了一種基于模型預測控制的4輪制/驅動力矩協調控制策略，改善極限工況下的車輛穩定性。在聯合控制策略領域也有不少學者開展研究工作，袁希文等[7]針對DDEV以實現車輛主動安全性同時兼顧制動能量回收為目標,提出一種主動前輪轉向與電液復合制動集成的控制策略。余卓平等[8]設計了轉矩矢量分配控制策略，利用縱向力分配算法將兩者結合形成差動助力轉向/轉矩矢量分配聯合控制策略。曹坤等[9]提岀了分層式輪胎縱-橫-垂向力協同優化控制系統，基于四輪獨立驅動/轉向和主動懸架系統，有效控制車輛行駛姿態和改善車輛操縱穩定性能。以上的研究在車輛穩定性方面都取得較好的控制效果，但很少有文章考慮進輪胎摩擦橢圓的約束條件。然而車輛是一個受垂向運動影響的側向-縱向復雜耦合的非線性動力學系統，車輛的極限性能很大程度上是由輪胎的非線性力學特性決定的[10]。當滑移率達到一定值時，會出現輪胎縱向力的飽和，如果沒有考慮輪胎滑移約束，極易造成輪胎控制力施加過度[11-12]，使得輪胎力進入不穩定區域而急劇下降，甚至發生滑轉或抱死，大大影響車輛操穩性控制。因此，如何協調優化分配各輪轉矩，充分發揮出輪胎的附著潛力，是提高極限工況下DDEV穩定性控制性能的關鍵。

模型預測控制(model predictive control,MPC)的特點使其適用于解決非線性、在線約束和多輸入多輸出問題，并且被廣泛地用于車輛的動力學控制的研究當中。Ataei等[13]提出一種集成滑移控制、橫向穩定性控制、改善操穩性能和防側翻功能的MPC控制器，有效地解決目標間的耦合關系，提升整車穩定性。Zhou等[14]基于非線性模型預測控制(nonlinear model predictive control,NMPC)設計了一種四輪獨立驅動電動汽車的縱向和橫向協調控制系統。Yuan等[15]建立考慮多目標的NMPC滑移率控制器，保證車輛的安全穩定和經濟性等性能。

本文提出一種用于提高極限工況下DDEV穩定性的轉矩協調控制策略。結合預測控制可處理帶約束多變量多目標的優化問題的特點，基于NMPC算法開發車輛穩定性控制器；根據操穩性控制需求，同時考慮了輪胎的縱向滑移約束設計目標函數，結合障礙函數的方法，基于估計的期望動態滑移率實現對滑移率的邊界約束；并將期望車輛響應跟蹤和滑移約束控制轉化為帶約束的優化問題，求解得到各輪最優轉矩分配。最后搭建仿真實驗平臺，基于階躍轉向和雙移線工況的仿真實驗分析，驗證該控制系統的有效性。

1 車輛動力學模型

1.1 7自由度整車模型

本文建立7自由度非線性車輛動力學模型來描述汽車的動力學性能，如圖1所示。

圖1 整車動力學模型

沿x軸的車身縱向動力學方程為

(Fyfl+Fyfr)sinδ+Fxrl+Fxrr

(1)

式中：m為整車質量；vx、vy為車輛的縱向和側向速度；r為橫擺角速度；Fxfr為右前輪縱向力;Fxfl為左前輪縱向力；Fxrl為左后輪縱向力；Fxrr為右后輪縱向力；Fyfl為左前輪側向力；Fyfr為右前輪側向力；δ為車輛的前輪轉角。

車身側向動力學方程為

(Fyfl+Fyfr)cosδ+Fyrl+Fyrr

(2)

式中,Fyrl為左后輪側向力;Fyrr為右后輪側向力。

(3)

式中：Iz為車輛繞z軸的轉動慣量；lf為質心到前軸的距離；lr為質心到后軸的距離；tb為前/后橋半寬。

車輪的轉動方程

(4)

式中：Iω為輪胎轉動慣量；ωij為車輪轉速；Rω為輪胎的轉動半徑;Tbij和Tdij分別為車輪的制動和驅動力矩。

各個車輪的中心輪速可由下面公式計算得到

(5)

縱向滑移率計算公式為

(6)

輪胎側偏角計算公式為

(7)

輪胎的垂向載荷為

(8)

1.2 輪胎模型

為了更好地描述輪胎的特性，選取Pacejka魔術輪胎公式搭建輪胎模型計算輪胎力，該模型通過組合三角函數的形式擬合輪胎實驗數據，如下式所示[16]

y(x)=Dsin{Carctan[Bx-E(Bx-arctan(Bx))]}

(9)

Y=y(x+sh)+sv

(10)

式中：B、C、D和E是輪胎試驗擬合參數，與輪胎的負載和道路摩擦有關；Y是輪胎力(縱向力或側向力)；x為輸入參數(滑移率或側偏角)。

在實際的行駛運動中，車輪通常處于組合滑移的綜合工況，考慮摩擦橢圓的限制后，由魔術公式計算得到輪胎側向力和縱向力可以修正為如下表達式

(11)

如圖2所示，可以明顯看出相同輪胎載荷下摩擦橢圓的左右極限值(最大輪胎縱向力)會隨輪胎側偏角的增大而逐漸減小，且減小的幅度不是線性變化。最大輪胎縱向力除了與輪胎側偏角有關外，同時還會隨著垂向載荷的增大而增大，如圖3所示。考慮到輪胎力的實際提供能力，進行輪胎力的動態估計[17]，實時跟蹤極限值點的變化。結合式(11)，以側偏角和輪胎垂向載荷為自變量，根據多項式擬合方法得到輪胎縱向力峰值時候的滑移率動態估計值為

圖2 綜合工況下不同側偏角時摩擦橢圓

圖3 綜合工況下不同垂向載荷時的摩擦橢圓

(12)

式中，p為多項式擬合參數。

1.3 2自由度參考模型

橫擺角速度r和質心側偏角β被廣泛地用于車輛穩定性控制的性能指標。通常將2自由度單車模型作為參考模型[18]，如圖4所示。期望橫擺角速度與車輪轉角成線性關系，符合駕駛員的理想操縱意圖，如下式可得

圖4 2自由度參考模型

(13)

式中：K為穩態參數，K=m(lf/Cf-lr/Cr)/l2；Cf、Cr分別為前軸和后軸的輪胎側偏剛度。考慮到道路附著率的限制，車輛橫擺角速度的上限值為

(14)

所以可以進一步結合橫擺角速度的上限值，將期望橫擺角速度表示為

rs=min{|rb|,rmax}sgn(δ)

(15)

由于上述所求期望橫擺角速度為橫擺角速度穩態響應，但是實際車輛的響應過程通常需要持續一段時間，因此采用一階滯后環節表征車輛傳遞特性，可以將期望橫擺角速度表示為[19-20]

(16)

式中，τ為橫擺角速度時間常數。

為了更好地保證車輛的側向穩定性，應盡量保持質心側偏角處于安全的區域內，質心側偏角期望值為

βd=0

(17)

2 基于NMPC轉矩協調控制系統

如圖5所示為控制總體框圖。本文以滿足車輛行駛穩定性的需求為目標，采用NMPC方法來實現分布式驅動電動汽車的轉矩協調控制。以2自由度車輛模型作為參考模型，將期望橫擺角速度、質心側偏角導入控制系統中；建立期望值與實際值之間的最優化問題，通過跟蹤期望橫擺角速度和質心側偏角實現穩定性控制，同時運用障礙函數方法，基于估計的期望動態滑移率對車輪滑移率進行邊界約束，使得輪胎能夠工作在穩定的區域內，從而提高車輛驅/制動穩定性。

圖5 控制總體框架

2.1 控制器模型搭建

本文中采用的NMPC控制方法設計車輛動力學控制器。模型預測控制的基本原理是基于系統預測模型，通過當前狀態量和控制時域內的控制序列來預測系統狀態在有限時域內的變化，通過在線滾動求解不同采樣時刻的優化問題，解決每個時間步長上的帶約束的最優控制問題，獲得對應時刻的最佳控制序列，并將控制序列的第一分量作用于目標系統，適用于解決非線性多目標控制問題。在控制器模型搭建中，考慮車輛的縱向運動、側向運動和橫擺運動和輪胎滾動，建立狀態空間模型，表達式如下

(18)

(19)

式中:f為系統的狀態方程;x為狀態變量;u為控制變量。如下式所示

x=[vx,β,r,ω1,ω2,ω3,ω4]

(20)

(21)

系統的輸出方程為

y=Cx=[β,r,ω1,ω2,ω3,ω4]

(22)

(23)

利用歐拉法將狀態空間方程離散化，Ts是采樣時間，在第k步，可以將式(18)和(22)寫成如下

x(k+1)=fk(x(k),u(k))Ts+x(k)

(24)

y(k+1)=Cx(k+1)

(25)

式中，fk表示在k時的系統狀態變化梯度。p是預測時域，m(m≤p)是控制時域。由MPC的預測特性，基于當前第k步的狀態x(k)，可推導出系統未來時刻狀態

x(k+1||k)=fk(x(k|k),u(k|k))Ts+x(k|k)

x(k+2|k)=fk(x(k+1|k),

u(k+1|k))Ts+x(k+1|k)

x(k+m|k)=fk(x(k+m-1|k),

u(k+m-1|k))Ts+x(k+m-1|k)

x(k+p|k)=fk(x(k+p-1|k),

u(k+p-1|k))Ts+x(k+p-1|k)

(26)

由式(25)和(26)可得系統未來時刻的輸出

y(k+1|k)=C[fk(x(k|k),u(k|k))Ts+x(k|k)]

y(k+2|k)=C[fk(x(k+1|k),

u(k+1|k))Ts+x(k+1|k)]

y(k+m|k)=C[fk(x(k+m-1|k),

u(k+m-1|k))Ts

y(k+p|k)=C[fk(x(k+p-1|k),

u(k+p-1|k))Ts+x(k+m-1|k)]

(27)

將電機系統作為執行機構時，應考慮輪轂電機執行器存在飽和約束，需要將約束條件考慮進去，控制輸出應該滿足

umin≤u(k+j|k)≤umax

(28)

Δumin|≤|Δu(k|+|j|k)|≤|Δumax,j|=|1,2,3,…,m|-|1

(29)

式中，umin和umax分別是控制輸入的下限和上限，在這邊代表的是當前轉速下電機的最大制動力矩和最大驅動力矩。

同時Δumin和Δumax代表的是輸出轉矩的變化率的下限和上限；在預測時域范圍內，但是在控制時域范圍外的控制輸入變化率應滿足

Δu(k+i|k)=0,i=m,m+1,…,p-1

(30)

2.2 目標函數設計

非線性MPC可以通過求解每個時間步長的最優化問題得到所需的控制量的值。圍繞提高車輛穩定性的需求，同時將輪胎滑移率的優化考慮在內，設計目標函數，得到最優的轉矩分配，從而充分發揮每個車輪的潛力，保證極限工況下車輛的操縱穩定性和主動安全性。

(1) 車輛穩定性控制可以通過跟蹤駕駛員的期望的車輛響應來實現。綜合考慮橫擺角速度和質心側偏角的控制需求，構建目標函數

(31)

式中:Qr橫擺角速度控制的權重，Qβ是質心側偏角控制的權重；rd和βd分別是期望的橫擺角速度和質心側偏角，由式和得到。

(2) 驅/制動穩定性控制通過控制滑移率在最優范圍內來實現。如圖6所示，隨著滑移率的增加，輪胎的縱向力先會顯著增加，然后減小；使得輪胎力可能會在穩定性區域Ⅰ(λ<λmax)和不穩定性區域(λ>λmax)有著同樣的值。但是當輪胎處于Ⅱ區域時，輪胎比較不穩定，可能會導致抱死或者滑轉的狀態發生，影響車輛的穩定性。

圖6 輪胎滑移率和輪胎縱向力的關系示意圖

由于在控制器的動力學模型中考慮進了車輪滾動的自由度，所以結合式(6)，可以將對滑移率的優化控制轉換為對車輪轉速的控制，可以寫成

(32)

式中，λmax是輪胎力峰值時候的滑移率。則可以建立相應的控制目標函數

(33)

式中，ωd是車輪的期望轉速。S=diag(S1,S2,S3,S4)是滑移率控制的權重矩陣，是基于Ataei等提出的一種利用滑移率期望值約束的障礙函數，如下式所示

Sj=γs(|λj|+(1-λmax))?(j=1,2,3,4)

(34)

式中:γs是正實數；?是正實數，且?增大可以加強滑移率超過安全邊界的懲罰力度。

如圖7所示，當滑移率狀態值在穩定性區域(λ<λmax)內，則權重值較小，使得其他具有高優先級別的控制目標在總目標函數中占主導地位，能夠被優先滿足；當目標狀態參數接近或者超出穩定的臨界值λmax時候，則權重值增大到一個較大的值，通過滑移率的懲罰，及時控制車輪的輸出轉矩的幅值，使得輪胎工作在穩定的區域內。

圖7 滑移率控制目標權重曲線

(3) 在滿足安全穩定的前提下，應避免過大控制信號的變化率，否則可能會導致轉矩控制信號產生較大的波動，造成保證駕駛員的乘坐不舒適，權重矩陣設置為L。

(35)

(4) 為防止在求解過程中存在變量不可解的問題,需加入松弛變量，并設置相應的代價函數

(36)

式中，ζ是表征松弛變量重要程度的權重矩陣。

基于上述分析可以得到控制器的總目標函數，繼而可以求解得到系統的最優控制律，如下式所示

minJ=J1+J2+J3+J4

s.t.:ymin(k+i)≤y(k+i)≤ymax(k+i),i=1,2,…,p

umin≤u(k+i)≤umax,i=1,2,…,m-1

Δumin≤Δu(k+i)≤Δumax,i=1,2,…,m-1

(37)

3 仿真與分析

為進一步驗證所設計的控制策略，本文建立了分布式驅動電動汽車的仿真平臺，主要參數見表1。通過多組重復的測試選定控制器權重參數：Qr=104,Qβ=1 200，L=[1 1 1 1 ]，γs=6，?=55。然后進行階躍轉向工況和雙移線工況仿真實驗，分別對考慮滑移約束的協調穩定性控制(CSC)與常規未考慮滑移約束的橫擺穩定性控制[21](NYSC)以及無施加控制構建的閉環控制系統進行仿真分析，驗證算法的控制效果。

表1 分布式驅動電動汽車仿真模型參數

3.1 階躍轉向工況

仿真工況1：車輛以初始速度80 km/h，在路面附著系數μ=0.6的路面上行駛，前輪轉角信號如圖8所示，1～1.5 s輸入斜坡階躍轉角信號，以構建一個等效的過多轉向工況，來考察本文所提出的控制策略對改善車輛穩定性的有效性。

圖8 車輪轉角

在此工況下對車輛動態響應，包括車輛的橫擺角速度、質心側偏角、車輛的側向加速度和車輪滑移率進行仿真分析。由圖9和圖10的響應結果可以看出，在此工況下，無施加控制的車身橫擺角速度的幅值最大達到了0.4 rad/s左右，車輛的質心側偏角最大達到了5°左右。裝有CSC控制系統的車輛橫擺角速度比無控制的車輛減小很多，并且和裝有NYSC的車輛相比，能夠更好地跟蹤期望橫擺角速度值。同時車身的質心側偏角也顯著地抑制到2°左右，并且保持較小的側向加速度，保證車輛能夠進行穩定地轉向，提高車輛的穩定性和安全性。

圖9 橫擺角速度響應

圖10 瞬態轉向的整車動態響應

如圖10(c)所示，車輪滑移率在(-0.06～0.02)的范圍內，車輪沒有發生較大的滑移率超調，說明輪胎工作在穩定區域，能保證較好的制/驅動穩定性。并且相較于NYSC，裝有CSC控制系統的車輛輪胎滑移率更為均勻，避免單個車輪的磨損不均。協調分配的車輪的輸出轉矩如圖11所示，通過分配給4個車輪轉矩，形成補償的橫擺力矩，使車輛快速進入穩態，提高車輛的穩定性。

3.2 雙移線工況

仿真工況2：車輛以初始速度72 km/h，路面附著系數為0.4，進行雙移線工況實驗。雙移線工況能夠較好地反映在緊急避障操作下車輛的響應特性，可以進一步驗證設計的控制系統對車輛穩定性和驅動制動穩定性的控制效果。

車輛的橫擺角速度和質心側偏角響應如圖12和圖13所示。無控制車輛的橫擺角速度和質心側偏角有較大的超調，車輛發生了失穩的，軌跡發生了明顯偏移。

(a) 橫擺角速度

圖13 車輛運動軌跡

施加控制之后，兩種控制策略都可以使車輛穩定下來，但是相對于裝載NYSC的車輛，裝載CSC的車輛在橫擺角速度響應中表現了更好的期望值跟蹤效果，更加平穩，保證更小的質心側偏角的幅值，同時使車輛的行駛軌跡貼近期望路徑，改善了車輛的穩定性的同時保證了良好的操縱性。

圖14為車輪的縱向滑移率，在轉向階段，未考慮滑移約束的車輛的左側車輪的制動滑移率超出了期望的滑移率區域，并且幅值超過了-0.5(50%)，輪胎的工作狀態不穩定。但是相比之下，裝載CSC車輛的滑移率可以很好地控制在期望的滑移率內，使得車輛可以更充分利用多輪的附著，保證輪胎能提供穩定的輪胎力。求解出的最優轉矩輸出信號如圖15所示。