數(shù)學歸納推理能力再探：內(nèi)涵與表現(xiàn)①

吳惠玲 郭玉峰

(1.北京師范大學數(shù)學科學學院 100875；2.深圳外國語學校 518110)

1 問題提出

數(shù)學歸納推理能力對學生學習、數(shù)學學科發(fā)展、數(shù)學問題解決等有重要作用[1-4]，數(shù)學歸納推理與數(shù)學演繹推理一起，影響和推動數(shù)學的進展[5].《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(以下簡稱為“2017數(shù)學課標”)明確指出，邏輯推理素養(yǎng)是六大數(shù)學核心素養(yǎng)之一，并給出主要表現(xiàn)與相應(yīng)的水平劃分.而歸納推理作為邏輯推理的一個重要組成部分，無論教材編寫還是教學實踐，研究清楚數(shù)學歸納推理的內(nèi)涵與學生具體表現(xiàn)等無疑有重要意義.

歸納推理在邏輯學、心理學和數(shù)學領(lǐng)域都有研究且各自關(guān)注點不盡相同.如，關(guān)注歸納推理形成過程所體現(xiàn)的形式共性[6]、信息加工過程[7]、任務(wù)表現(xiàn)[1]、歸納推理的邏輯性[8]等.歸納推理是一類重要的推理形式，與演繹推理不同.演繹推理可以得到必然的結(jié)論[9]，而歸納推理的本質(zhì)是前提與結(jié)論的或然性聯(lián)系，那么類比推理也屬于歸納推理[8].從已有研究可見，結(jié)論的或然性和推理過程的邏輯性是歸納推理的特點.如何將二者的敘述相整合，刻畫學生的數(shù)學歸納推理能力，是本研究亟待解決的問題之一.

數(shù)學歸納推理能力內(nèi)涵包含的主成分是什么？它體現(xiàn)在數(shù)學歸納推理活動中.一些研究從推理的環(huán)節(jié)[10, 11]或數(shù)學內(nèi)容特點[12]劃分數(shù)學歸納推理過程，宏觀認識趨于一致，即包括從特殊到一般的猜想過程以及猜想的檢驗過程.也有研究認為，數(shù)學歸納推理的認知過程常出現(xiàn)類的形成、類比、類的擴展等行為.[13]伍春蘭等分析學生猜想線面垂直判定定理的過程，學生能夠進行聯(lián)想、自我檢驗.[14]對知識間關(guān)聯(lián)的認識和想象與聯(lián)想類比密切相關(guān).[15]較為全面的是，Jeannotte 和 Kieran[16]從認知溝通的理論角度，給出9個數(shù)學推理詞匯，描述發(fā)現(xiàn)相似性或差異性過程及檢驗猜想的過程.史亮[17]則統(tǒng)計《普通高中數(shù)學課程標準(實驗版)》中關(guān)于歸納推理的詞匯.“2017數(shù)學課標”涉及的數(shù)學歸納推理，其主要表現(xiàn)以及水平二和三仍較為模糊.除了理論視角，如何用實證研究分析能力結(jié)構(gòu)要素？以上研究較為全面地展示了數(shù)學歸納推理能力的成分，但未明確數(shù)學歸納推理能力的主成分.在教學實踐中，教師抓住主成分，更能有針對性培養(yǎng)學生的數(shù)學歸納推理能力.因此，明確數(shù)學歸納推理能力的主成分，借此分析數(shù)學歸納推理能力的現(xiàn)狀，是本研究擬解決的另一方面.

總之，本文希望在數(shù)學歸納推理能力內(nèi)涵基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學歸納推理過程、相關(guān)操作詞匯以及數(shù)學家的數(shù)學猜想實例，給出數(shù)學歸納推理能力的可能成分.進一步借助測試題，通過探索性因素分析法更深入揭示數(shù)學歸納推理能力的主成分，借助兩次聚類分析分別得到主成分下的學生表現(xiàn)層次以及不同主成分的關(guān)系，從而構(gòu)建數(shù)學歸納推理的框架結(jié)構(gòu)，為課程建設(shè)和教學實踐提供一定的參考和借鑒.

2 研究設(shè)計

小學階段主要進行枚舉歸納推理，小學高年級則逐漸開始科學歸納推理，用以理解數(shù)學概念和命題.[12]本研究希望揭示高中學生數(shù)學歸納推理的特點.考慮到測試的便利性以及數(shù)據(jù)的可靠性，研究對象選取高二年級學生.測試題編制原則是：(1)題目所涉及的數(shù)學知識是高二學生已學過的，包括高一以及高一之前的知識；(2)題目可以從特例入手，借助觀察、分析、比較、聯(lián)想等方式，得到猜想.(3)題目類型是學生未接觸過的.教材中呈現(xiàn)的數(shù)學歸納推理任務(wù)為本研究測試題的設(shè)計和開發(fā)提供了思路.測試卷共3大題，2道類比題，1道歸納題.測試時長40分鐘.

第1題：關(guān)于正四面體性質(zhì)的類比.考察目的：(1)能否認識到正三角形和正四面體的相似性；(2)能否依據(jù)正三角形的某些性質(zhì)，對正四面體的性質(zhì)產(chǎn)生實質(zhì)的聯(lián)想，例如平面內(nèi)關(guān)于邊的問題，往往對應(yīng)于空間中的平面問題；(3)能否得出正四面體性質(zhì)的某個普遍規(guī)律；(4)能否用語言描述猜想.

第2題：關(guān)于空間四面體勾股定理的類比.考察目的：(1)能否認識到直角三角形和3個面兩兩垂直的四面體間的相似性；(2)能否根據(jù)直角三角形的勾股定理，產(chǎn)生空間四面體關(guān)于棱長或面積的聯(lián)想，并得出普遍規(guī)律；(3)對所得的猜想，是否會檢驗.例如演繹證明、用具體例子增強說服力、舉反例推翻等.(4)能否用語言描述猜想.

第3題：探究一元n次實系數(shù)方程的根與系數(shù)關(guān)系.考察目的：(1)能否分析特殊例子的根與系數(shù)關(guān)系，并寫出特例的結(jié)論；(2)能否發(fā)現(xiàn)特例之間的共性和差異性；(3)如果猜出n為具體值時的根與系數(shù)關(guān)系，能否進一步得到一元n次實系數(shù)方程的普遍規(guī)律.

本研究給出數(shù)學歸納推理的8個成分假設(shè)(具體見第3.2節(jié))，三道測試題與這些成分假設(shè)的對應(yīng)關(guān)系以及具體分值(通過層次分析法得到)如表1，滿分為100.

表1 研究假設(shè)維度與對應(yīng)題目與分值

根據(jù)預(yù)測結(jié)果分別調(diào)整題目的提問方式、增設(shè)題目梯度、調(diào)整題量，以及調(diào)整區(qū)分度不大的題目等，形成最終測試問卷.考慮學生的數(shù)學層次分布與問卷發(fā)放的便利性，最終測試對象是山西一所重點中學(編碼SX)、廣東一所省級中學(編碼G)、廣西一所重點中學(編碼GX)的高二學生，其中發(fā)放問卷425份，回收問卷395，回收率93%.回收問卷中的作廢問卷是：存在一道空白的完整大題，或多于3個空白的小題，或兩張問卷答案一樣，這樣有效問卷共368份.

表2 問卷數(shù)量情況統(tǒng)計

測試題的信效度來源于正式測試的數(shù)據(jù)，基于368個數(shù)據(jù)樣本，本次問卷調(diào)查的信度(Cronbach α)是0.772，問卷各題項間的一致性較為合適.各維度與總分之間在顯著水平為0.01(雙側(cè))下，相關(guān)性是顯著的(0.429～0.808之間).可見總分與各維度之間的相關(guān)性良好，即調(diào)查問卷具有較好的效度.因此，可對這批數(shù)據(jù)進行下一步分析，操作軟件是IBM SPSS Statistics 20.

3 研究結(jié)果一：數(shù)學歸納推理能力的內(nèi)涵

3.1 內(nèi)涵界定

根據(jù)以上分析，借助“2017數(shù)學課標”關(guān)于邏輯推理素養(yǎng)的界定，“從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其它命題的素養(yǎng)”，本研究界定數(shù)學歸納推理能力的內(nèi)涵是，“從具有某一性質(zhì)的一些特例(或一類事物)出發(fā)，猜想包含這些特例的一類事物(或具有共同屬性的其他類事物)也具有一致的性質(zhì)，并說明猜想合理性的能力.”包括以下要點：

第一，數(shù)學歸納推理是前提和結(jié)論之間存在或然性的推理形式，前提和結(jié)論之間的關(guān)系不是必然的；

第二，同數(shù)學演繹推理一樣，數(shù)學歸納推理也是有邏輯的.界定中用文字語言的形式敘述這一邏輯性，也即性質(zhì)傳遞性[8]：Ⅰ(歸納)：對于集合A和性質(zhì)P，x→P，若x∈A，則A→P；Ⅱ(類比)：集合A和集合B都具有屬性Q，對于性質(zhì)P，若A→P，則B→P.

第三，對于高中學生的數(shù)學歸納推理，本研究更關(guān)注這樣兩個方面：(1)歸納：分析歸納多個特殊事物的屬性，得出一類事物(包含這多個特殊事物)的一般屬性，或找到具備此屬性的、合適的數(shù)學研究對象集合.值得注意的是，特殊事物不一定多個，也可以是某個極端的，或具有主導性的.(2)類比：分析比較兩類事物間的相似屬性，從而聯(lián)想到它們在其它屬性上也有相似之處.

例如，一個主導作用的歸納[18]：面α和面β的夾角是θ，面積為A的多邊形在面α內(nèi)，猜想其投影在面β所形成的圖形的面積是多少？矩形是一種便于處理且主導的特殊情形，底邊平行于面α和面β的交線l，設(shè)底邊為a，高為b，則投影圖形的底邊為a，高為bcosθ，面積為abcosθ.這可以推廣到一直角邊平行于交線l的直角三角形的投影面積，再推廣至任意三角形的投影面積，進而推廣至多邊形的投影面積為Acosθ.

3.2 內(nèi)涵成分再探

表3 可能的內(nèi)涵成分解釋

根據(jù)以上研究結(jié)果，運用探索性因素分析法提取整合數(shù)學歸納推理能力的主成分.探索性因素分析法的八個原始變量為：分析、比較、分類、聯(lián)想、概括、類比猜想、歸納猜想、驗證.反映象相關(guān)矩陣(表4)良好，主對角線元素的絕對值均大于0.6，基本大于0.8，主對角線外的元素絕對值絕大部分較??；KMO=0.768以及Bartlett球體檢驗的p值小于0.05.以上三個考慮因素均認為該問卷的數(shù)據(jù)適合做因素分析.通過主成分方法，結(jié)合先前的文獻分析和表5的累積方差貢獻率，相比于2個主成分而言，抽取4個主成分更好(此時的累積方差貢獻率為84.141%).

表4 反映像矩陣

表5 解釋的總方差

由于成分矩陣的維度與成分之間的關(guān)系糅合在一起，不明顯，成分解釋難度加大，故借助旋轉(zhuǎn)變換方法得到旋轉(zhuǎn)矩陣(如表6).成分1對“聯(lián)想”、“概括”、“類比猜想”三個維度的載荷較大，命名成分1為聯(lián)想類推；成分2對“觀察分析”、“比較”、“歸納猜想”三個維度的載荷較大，命名成分2為比較遞推；成分3對“分類”維度的載荷較大，命名成分3為分類；成分4對“驗證”維度的載荷較大，命名成分4為驗證.

表6 抽取4個成分的旋轉(zhuǎn)矩陣

4 研究結(jié)果二：高二學生數(shù)學歸納推理能力的表現(xiàn)

數(shù)學歸納推理能力的主成分包括分類、聯(lián)想類推、比較遞推、驗證，學生在這四個主成分的表現(xiàn)如何？四個主成分間有何關(guān)系？本研究將學生測試成績的總分、成分1得分、成分2得分、成分3得分、成分4得分作為變量，對368份測試樣本進行聚類分析.借助兩次聚類分析分別得到這四個主成分下的學生表現(xiàn)層次以及不同主成分之間的關(guān)系，得到以下數(shù)據(jù)結(jié)果.

4.1 高二學生數(shù)學歸納推理能力的表現(xiàn)層次

為了對學生的數(shù)學歸納推理能力按照各成分進行分層，用距離表示樣本之間的關(guān)系，具體方法為：平方歐氏距離.由表7可見，第365步到第366步的聚類系數(shù)變化(7.331-5.921=1.41)與第364步到第365步的聚類系數(shù)變化(5.921-5.288=0.633)的相差較大，認為聚類為3類是合理的.再者，考慮到層次區(qū)分在實際操作的便利與明顯，本研究將數(shù)學歸納推理能力的表現(xiàn)劃分為三個層次.

表7 聚類表

根據(jù)以上分類結(jié)果，統(tǒng)計三個類別下學生的得分均值與得分率，如下表8：

表8 三個類別下的各變量得分均值與得分率

4.2 高二學生數(shù)學歸納推理能力的不同成分之間的關(guān)系

數(shù)學歸納推理能力的四個主成分可分別劃分三個層次，反映學生可能處于的不同認知階段，以及在這些主成分的表現(xiàn)有何特點.除此之外，主成分間存在怎樣的關(guān)系？此時，學生的得分高低不是主要關(guān)注點，關(guān)注的是學生各個變量上分數(shù)的相似程度，也即各成分間有何關(guān)系.為此，本文選擇用相似系數(shù)描述樣本之間的關(guān)系，具體方法為：夾角余弦.

表9顯示了層次聚類分析的聚類過程，類與類之間的距離采用一種使用較廣、聚類效果較好的方法——類平均法.相鄰步驟聚類系數(shù)的變化遠大于前面相鄰步驟聚類系數(shù)的變化，這在統(tǒng)計意義上認為聚類分析進行到這一步是較為合理的.[19]由表9可知，第364步到第365步的聚類系數(shù)變化(0.524-0.333=0.191)遠大于第363步到第364步的聚類系數(shù)變化(0.525-0.524=0.001)，認為聚類為4類是合理的.

表9 聚類表

根據(jù)以上分類結(jié)果，統(tǒng)計四個類別學生的各成分與總成績的得分均值和得分率，如下表10：

表10 四類情況的各變量得分均值與得分率

5 研究結(jié)論

(1)數(shù)學歸納推理能力內(nèi)涵體現(xiàn)結(jié)論的或然性及推理的邏輯性，主成分明確推理關(guān)鍵環(huán)節(jié)

內(nèi)涵界定中的猜想合理性要求學生意識到結(jié)論是或然成立的，從特例(或一類事物)的性質(zhì)到包含這些特例的一類事物(或具有共同屬性的其他類事物)的一致性質(zhì)猜想，揭示了推理的邏輯性.

數(shù)學歸納推理能力的四個主成分——分類、聯(lián)想類推、比較遞推、驗證是對假設(shè)成分的整合，突出歸納推理過程的重點與核心.前三個主成分屬于從特殊到一般情形的猜想過程.分類是此過程的初始階段，學生依據(jù)特例或某類推廣，確定一類事物或其他類別，是對研究對象的分類，從而更有利于學生得到更可靠的猜想.聯(lián)想類推和比較遞推均是第二步，二者沒有明顯的遞進關(guān)系.聯(lián)想類推注重聯(lián)想，更適合用于通常所說的類比推理；比較遞推關(guān)注性質(zhì)的比較，更傾向教學中所理解的狹義歸納推理.驗證是猜想的檢驗過程，是對猜想可靠性和合理性的解釋和說明，體現(xiàn)歸納推理結(jié)論的價值.

(2)數(shù)學歸納推理能力具有明顯的三個層次

通過聚類表(表7)，將樣本學生群體分成三類，分析數(shù)學歸納推理能力的各主成分表現(xiàn).類別1的各項得分均值均低于類別2和3；三個類別在“分類”成分的得分均值差別較?。活悇e3的“驗證”成分得分率遠高于類別1和2的.再統(tǒng)計各成分下各類別學生大部分集中于哪個分數(shù)段，并分析這些學生的具體作答情況.以“分類”成分為例，思考平面中的直角三角形對應(yīng)于空間中的哪種四面體時，類別1的學生較容易選擇所有四面體，或有一個面是直角三角形的四面體；類別2的學生會考慮空間和平面的關(guān)系，選擇有兩個面互相垂直的四面體；類別3的學生會選擇三個面兩兩垂直的四面體.以此，概括數(shù)學歸納推理能力的“分類”、“聯(lián)想類推”、“比較遞推”、“驗證”成分的三個層次(表11)，該層次揭示了學生對事物的認識深刻程度，對簡單和復(fù)雜問題的解決程度.

表11 表現(xiàn)層次

(3)數(shù)學歸納推理能力的“聯(lián)想類推”與“比較遞推”不存在明顯關(guān)系，但與“分類”相關(guān)

第二次聚類分析關(guān)注數(shù)學歸納推理能力不同成分之間的關(guān)系，也即取樣學生數(shù)學歸納推理能力各成分得分的波動相似程度.結(jié)合表10以及學生具體作答情況，得到以下結(jié)論：

學生在聯(lián)想類推方面的表現(xiàn)與比較遞推方面的表現(xiàn)不存在一致的強或弱.由表10可見：類別③的聯(lián)想類推和比較遞推的得分均值整體較高，超過類別②和④；但另一種情況更為明顯：學生類別②的“聯(lián)想類推”成分得分均值比類別④多，但“比較遞推”成分得分均值比類別④少；同樣，學生類別①和②之間、類別②與③之間的聯(lián)想類推和比較遞推的得分均值高低明顯相反.進一步分析學生具體作答情況，例如，多數(shù)類別④學生能分析有n個實根的一元n次方程，猜想根與系數(shù)關(guān)系，但平面的結(jié)論類比至空間結(jié)論時，卻進行無關(guān)聯(lián)想；又或者，多數(shù)類別②能推廣出平面到空間的較為普遍結(jié)論，但對于一元n次方程，只分析n=1，n=2的情形.本研究的歸納推理采用學界的廣義觀點，也即“2017數(shù)學課標”表述的“從特殊到一般的推理”，有兩種推理方式：歸納和類比，此處的歸納是狹義的觀點，本文的比較遞推是其具體形式.數(shù)學教育把類比推理作為一類特殊的歸納推理，特別強調(diào)也就不足為奇了.對學生而言，類比推理的難度較大，往往是聯(lián)想強弱的緣故.

分類對聯(lián)想類推的影響存在兩種情況：(Ⅰ)學生對事物的分類較弱時，其聯(lián)想類推也較弱；(Ⅱ)當分類的水平較強時，對聯(lián)想類推的影響不明顯.表10顯示，學生類別④和其他類別的“分類”成分得分均值相差較多，“聯(lián)想類推”成分也如此；但類別①，②和③的“分類”和“聯(lián)想類推”成分得分均值沒有呈現(xiàn)一致的高或低.再結(jié)合學生具體作答情況，“分類”成分在6分及其以下的學生，其聯(lián)想類推的得分也相對較低，例如，沒有發(fā)現(xiàn)需要類比的性質(zhì)，答非所問.“分類”得分6分以上的取樣學生，其聯(lián)想類推的得分波動較大.

6 討論

隨著“2017數(shù)學課標”的發(fā)布，六大數(shù)學核心素養(yǎng)的理論研究及其在實踐中的真正貫徹落實成為關(guān)注的熱點.核心素養(yǎng)的重要組成部分是關(guān)鍵能力，數(shù)學歸納推理能力作為邏輯推理素養(yǎng)的一部分，研究清楚數(shù)學歸納推理能力的內(nèi)涵和學生表現(xiàn)無疑對課程實施以及教學實踐有重要意義.與已有研究相比，本研究的貢獻主要有以下方面：

(1)從理論上析出了數(shù)學歸納推理能力的主成分，為實踐中有目的地指導學生提供了方向

數(shù)學歸納推理能力的主成分包括分類、聯(lián)想類推、比較遞推和驗證，細化了“2017數(shù)學課標”的邏輯推理素養(yǎng)主要表現(xiàn)關(guān)于歸納推理的部分.這并不代表全面的數(shù)學歸納推理能力，而是強調(diào)在高中數(shù)學教育階段，對學生數(shù)學歸納推理能力的發(fā)展起關(guān)鍵作用的不可或缺成分.主成分有利于教師在有限的時間內(nèi)對學生的數(shù)學歸納推理行為做出快而準的觀察與分析，發(fā)現(xiàn)學生的薄弱之處，從而有針對性地引導學生排除障礙；另一方面，面面俱到地評價學生的數(shù)學歸納推理能力，是困難的、不切實際的，而數(shù)學歸納推理能力的主成分可以為教師提供幾個重要方面，著手評價.

(2)聚類得到數(shù)學歸納推理能力的表現(xiàn)層次，體現(xiàn)學生認知的規(guī)律性

數(shù)學歸納推理能力的三個層次是針對四個主成分進行展開的，體現(xiàn)了學生不同歸納推理認知階段的特點，同時也顯示了學生的發(fā)展規(guī)律，由表象到本質(zhì)，由簡單到復(fù)雜.例如，“分類”的層次揭示對事物認識的深刻程度，依次為：不能發(fā)現(xiàn)兩類研究對象的關(guān)系、發(fā)現(xiàn)兩類研究對象的非本質(zhì)相似之處、發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)相似處或一致性.“比較遞推”的層次體現(xiàn)學生對簡單和復(fù)雜事物的解決順序，依次為：可分析簡單熟悉的特例、將簡單特例的情形遷移至其他特例、將特例推廣至一般情形.細化和補充“2017數(shù)學課標”關(guān)于邏輯推理素養(yǎng)的水平劃分；有利于教師分層教學，從而有效提高學生的數(shù)學歸納推理能力.

(3)分類是數(shù)學歸納推理能力基礎(chǔ)且重要的部分

發(fā)展學生的數(shù)學歸納推理能力時，注重“分類”成分的基礎(chǔ)性是必要的.聯(lián)想類推的提升需要較強的分類.分類是在認識事物的相似和差異的基礎(chǔ)上，對事物進行歸類；聯(lián)想是通過熟悉的類別來思考一個新的類別，主要聯(lián)系這兩個類別的相似性.本研究結(jié)論發(fā)現(xiàn)，學生對事物的分類較弱時，其聯(lián)想類推也較弱；當分類的水平較強時，對聯(lián)想類推的影響不明顯.這現(xiàn)象反映，在進行類比推理初期，學生更需要學會如何分類；分類到達較好的水平時，學生學習如何聯(lián)想更有利于提高類比的能力，例如主動聯(lián)想、相似聯(lián)想和大跨度聯(lián)想.也即，培養(yǎng)學生的數(shù)學歸納推理能力并不是一蹴而就的，需講究策略.

總之，數(shù)學歸納推理能力研究可進一步推動數(shù)學核心素養(yǎng)的進展，但仍需從理論和實踐兩方面相互推進.本文的四個主成分呈現(xiàn)了學生數(shù)學學習的重要思維方式，例如，抓住問題的本質(zhì)、建立待解決問題與熟悉問題的聯(lián)系、用質(zhì)疑的眼光看待問題等，與數(shù)學“三會”相一致，是數(shù)學核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn).主成分下的三個層次水平不局限于數(shù)學知識考核，轉(zhuǎn)而關(guān)注學生的數(shù)學學習與思維過程，朝著數(shù)學核心素養(yǎng)測評的方向前進.朱立明[20]提到，深入數(shù)學核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系是其研究趨勢之一，目前關(guān)于內(nèi)涵、要素、測評等研究方面仍處于淺層階段，需要不斷挖掘與驗證.因此，本文不僅補充和豐富邏輯推理素養(yǎng)的研究，也進一步推動數(shù)學核心素養(yǎng)的進展.未來，這四個主成分的創(chuàng)新方面也是今后進一步的研究方向.創(chuàng)造性的概括、類比和模式對創(chuàng)新的歸納推理至關(guān)重要[21].什么是創(chuàng)造性的分類、聯(lián)想類推、比較遞推和新穎的檢驗猜想思路，仍值得研究，這對于發(fā)展學生的創(chuàng)造能力具有重要作用.又如，分析學生在各種歸納推理任務(wù)情境下的表現(xiàn)，可以更好地補充和完善數(shù)學歸納推理能力的主成分.