何以感受數學的溫度
——一類“化無形為可見”問題引發的思考

劉師妤

(1.華中師范大學教育學院 430079；2.湖北省武漢市英格中學 430079)

傳統邏輯基礎規律之一就是排中律，通常被表述為A是B或者不是B.集合中元素與集合的關系也是如此，更確切地說，數學對象間關系往往都是如此確定.正如普通高中數學課程標準實驗教科書(人教A版)主編寄語中的論述：“數學是清楚的.清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結論，數學中的命題，對就是對，錯就是錯，不存在絲毫的含糊.”數學因為有了確定性，能看得見、摸得著，才具備了“好玩”的潛質，數學才有了可撫觸的溫度.數學之美，美在數學語言能化無形為可見.儼然是開啟自然之門的鑰匙，轉動它就能看到曲線的優美軌跡，握住它就能感受光輝的溫度，舉起它就能看到真理的距離.筆者以教學實踐中的一類“化無形為可見”的問題為例，即如何運用導數工具研究含參函數的性質，一齊感受一下數學的熾熱溫度.

零點存在性定理，大家都不陌生，在此不再贅述.許多一線教師都站位于邏輯關系上剖析該定理，認定學習該定理的難點在于辨析這是一個判斷零點存在性的定理，而非是判斷零點個數的依據.實際上，從筆者及同事多年的教學實際來看，不得不說我們在“初級階段”即判定區間兩端點處函數值的正負關系，甚至在找零點大致所在區間都存在很大的困難，存在太多的“一筆帶過”，如題：

從極限的視角看問題并不是不可以，只是它的正確性要建立在對函數的性態的準確把握上，數學的奠基作用、數學的原汁原味就蕩然無存了，至少在這里.

全國高考內容改革正在邁出新的步伐，數學的基礎性、科學性及數學的內在理性正日漸突顯出來，我們要辯證的看待數學的理性與靈活性、直覺感與嚴謹性.

如2015年全國高考課標(I)文科數學第21題：設函數f(x)=e2x-alnx.

(Ⅰ)討論f(x)的導函數f′(x)零點的個數；

對于第(Ⅰ)問，參考答案是：

當a≤0時，f′(x)>0，故f′(x)沒有零點；

無獨有偶，這一命題思路在2016和2017年的全國Ⅰ卷中竟是驚人的相似.

如(2017全國卷Ⅰ)：已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

又如(2016全國卷Ⅰ)：已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

分析：(Ⅱ)(i)設a>0，則由(Ⅰ)知，f(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增.

又f(1)=-e,f(2)=a，

如法炮制，仍然對參數a進行討論，

當a≥2時，f(0)=-2+a≥0，

所以f(x)在[0,1)內有且只有一個零點；

當0

綜上，當a>0時，函數f(x)在(-∞,1)內有且只有一個零點.

為節約篇幅，當a=0及a<0的情形略去.

再如，題2：已知函數f(x)=xsinx，判斷命題：?M>0，至少存在一個實數x0，使得f(x0)>M是否正確.

還有一次，筆者給高三學生上“畫函數圖象的大致圖象”的選修課時，談到y=3x與y=2x的圖象差異時，在y軸的左邊并不是隨著x的增大，兩函數圖象就越接近.學生們都感覺不可思議，莫非一直我們畫的圖象都太不準確？為了驗證這個結論，筆者用幾何畫板演示了兩者的圖象，通過放縮圖象發現：在y軸左邊,y=3x與y=2x的圖象均以x軸負半軸為漸近線, 當x=0時, 兩圖象交于點(0,1).這說明在y軸的左邊y=3x與y=2x的圖象從左到右開始時幾乎一樣, 后來y=2x的圖象變化加快使得y=2x與y=3x的圖象逐漸遠離, 而當x經過某一值x0以后y=3x的圖象變化加快使得y=2x與y=3x的圖象又逐漸接近, 直到x=0時兩圖象交于點(0,1).原本以為學生會“善罷甘休”，哪知學生還不依不饒：“老師不常說‘眼見不一定為實’嘛，那這個x0究竟為多少呢？

文[4]中談及到“要是沒有數學，你將無從理解，是什么東西讓一架巨型噴氣式飛機浮在空氣中”“數學允許我們將另外一些不可見——亦即尚未發生之事——變為可見，如用微積分預測明天的天氣”，都揭示著一個道理：合乎情理的事情背后是確定的、實在的對象或機理在發揮著作用.熟讀數學分析的讀者會愈加深刻感受到數學學科的溫度.該門課程以嚴格的極限定義為基礎，切切實實的分析無窮小量；它又不僅限于在一定范圍內探討極限、微分與積分的性質，它在于體現一種問題分解、問題向確定性轉化(此過程常會導致新的層次的問題的產生)的策略與數學本原思想.

不妨再看幾個類似的例子，以探求合理性背后的確定性.

題3(2014福建)：已知函數f(x)=ex-ax(a為常數)的圖象與y軸交于點A，曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1.

(Ⅰ)(Ⅱ)略；

(Ⅲ)證明：對任意給定的正數c，總存在x0，使得當x∈(x0,+∞)時，恒有x2

對于第三問，大部分學生都可以感受到一種很強的合理性，隨著x的增大，指數型函數y=cex(c>0)的函數值總會超過冪函數y=x2的函數值，但難以用數學的方式予以表達.在注重前后設問聯系(指數函數與一次、二次、三次函數的關系)的基礎上，發現證法.

由(Ⅱ)知，當x>0時，x2

從而h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)上單調遞減，

故對任意給定的正數c，總存在x0∈(x0,+∞)時，恒有x2

題4證明：對任意正數a，存在正數x，使不等式成立.

故h(x)>h(0)=0，

原不等式即為ex-(1+a)x-1<0.

令g(x)=ex-(1+a)x-1，

則g′(x)=ex-(1+a).

由g′(x)=0得ex=1+a，解得x=ln(1+a)，

當0

當x>ln(1+a)時，g′(x)>0.

故當x=ln(1+a)時，g(x)取最小值g[ln(1+a)]=a(1+a)ln(1+a),

故s(a)

即g[ln(1+a)]=a-(1+a)ln(1+a)<0.

因此，存在正數x=ln(1+a)，使原不等式成立.

M·克萊因在他的著作《數學——確定性的喪失》中提到數學自古希臘起的兩千年里，經受了災難并最終戰勝了它.從“無理數的發現”到演譯推理下建立的幾何公理體系，從“無窮小是零嗎？”到微積分在諸多領域的成功應用，從“悖論的產生”到重新考量數學基本結構的有效性，表面上數學的確定性正一步步喪失，實質無盡的爭論、質疑與釋疑會把數學推到一個更輝煌的高峰.同樣，我們平時的學習中碰到的看似難以“確定”的內容又何嘗不是我們數學學習中思維提升的助推劑、轉化劑呢.