2020年北京市高考適應性測試壓軸題解析與推廣

2021-07-15 09:46:06王芝平范方兵

數學通報 2021年5期

關鍵詞：符號數學

王芝平范方兵

(1.北京宏志中學 100013；2.北京市第二中學 100010)

(Ⅲ)對任意確定的一個數陣A0，證明：TS(A0)的所有可能取值的和不超過-4.

這是2020年3月北京市高考適應性測試數學卷最后一題，眾多的字母符號、新穎的變換規則以及高度的抽象性，讓相當一部分學生“望題興嘆”！為了讓更多的學生更好地理解題意，我們在不改變題目本質的情況下，將試題重新表述如下：

若S={e1，e2，…，el}?U，其中，e1

(Ⅲ)對任意確定的一個數陣A0，證明：所有TS(A0)的和不超過-4.

下面給出我們對這道題的思考與解答過程.

謀定思路為了敘述方便，我們引入下面記號與術語：

1.將“數陣P經過φk變換得到的數陣Q”記作：φk(P)=Q，讀作“數陣P經過k變換后得到數陣Q”.

2.將“φS(A0)”記作“φS(A0)=Al”，讀作“數陣A0經過集合S變換后得到數陣Al”.顯然A0經過集合S變換，就是A0依次經過集合S中各元素ei(i=1，2，…，l)對應的變換φei，最后得到Al.

前兩問的目的既是幫助考生理解題意，也是給考生送一些分數，這在大型考試中是非常必要的.

對于第(Ⅲ)問，因為TS(A0)是A0經過集合S變換得到的數陣Al中四個數的和，所以一個值得考慮的問題是，數陣Al中每個數與原數陣A0中對應位置上的數有什么關系？

顯然數陣Al中每個數與數陣A0中對應位置上的數要么相等，要么是一對相反數.“相等”與“相反”取決于集合S中的元素.

讓我們再反復閱讀題目中的這句話：

“對任意確定的一個數陣A0，證明：所有TS(A0)的和不超過-4.”

因為數陣A0是確定的，所以TS(A0)是隨集合S變化而變化的.

所以，我們再來考慮集合S：由題設知，S是集合U的63個非空子集.經驗告訴我們，從整體考慮問題可能更容易發現規律、更容易表述解題過程.所以我們不妨先設S是集合U的任意子集，則不同的集合S共有64個.當S=?時，我們約定A0經過集合S——也就是?——變換依然是A0，此時TS(A0)是集合A0中四個數的和.

這樣所有的φS(A0)對應的數陣Al共有64個，對應的TS(A0)的值是64個整數，這64個整數的和我們稱之為“總和”.

如果要知道每一個TS(A0)的值，這不僅是麻煩的，也是不必要的.

因為加法具有交換律，我們可以考慮所有數陣Al中第一行第一列的數，它們都是由A0中的數a11變換得到的，不是a11，就是-a11.直覺告訴我們a11和-a11的個數一樣多，所以在“總和”中這64個數的和等于0.

同理，所有數陣Al中第一行第二列的數的和等于0；所有數陣Al中第二行第一列的數的和等于0；所有數陣Al中第二行第二列的數的和等于0.進而“總和”等于0.

再在“總和”中減去A0中四個數的和，即原題中所有TS(A0)的和等于-(a11+a12+a21+a22).因為a11，a12，a21，a22∈U，所以a11+a12+a21+a22≥4.所以-(a11+a12+a21+a22)≤-4，即所有TS(A0)的和不超過-4.

那么，從A0經過集合S變換得到Al，a11是保持符號不變，還是變成-a11？這既與集合S中是否含有a11有關，也與集合S中是否含有a12有關，所以對a11，a12是否相等進行討論就是自然而然的思路了.

因為，在變換過程中，數陣中同一行的兩個數的“變”與“不變”是同步進行的，所以我們可以整行考慮，先搞清楚一行中兩個數的變化情況.

為了更清楚地把握問題的本質，又不失一般性，我們不妨從具體、簡單的例子開始觀察、思考.

設U={1，2，3}，數陣的第一行為數組A=(1，1)，U的所有子集共八個，分別為：

S0=?，φ?(A)=(1，1)，TS0(A)=2；

S1={1}，φS1(A)=(-1，-1)，

TS1(A)=-2；

S2={1，2}，φS2(A)=(-1，-1)，

TS2(A)=-2；

S3={1，3}，φS3(A)=(-1，-1)，

TS3(A)=-2；

S4={1，2，3}，φS4(A)=(-1，-1)，

TS4(A)=-2；

S5={2}，φS5(A)=(1，1)，TS5(A)=2；

S6={3}，φS6(A)=(1，1)，TS6(A)=2；

S7={2，3}，φS7(A)=(1，1)，TS7(A)=2；

所有TS(A)的和等于0.

因為U={1，2，3，4，5，6}的所有子集中，含有1的子集共有25=32個，在這32個子集的變換下，(1，1)變成了(-1，-1)；U的其余32個子集中都不含1，在這32個子集的變換下，(1，1)仍然為(1，1).

所以在U所有子集變換下，(1，1)的64個“象”中，有32個(-1，-1)，32個(1，1)，顯然，其總和為0.

設一個數陣的第一行為二元數組(1，2)，對于U的含1不含2的子集，如{1，3，4}，數組(1，2)在該集合的變換下得到(-1，-2)；對于U的含2不含1的子集，如{2，3，4}，數組(1，2)在該集合的變換下得到(-1，-2)；對于U的既含1，又含2的子集，如{1，2，3，4}，數組(1，2)在該集合變換下得到(1，2)；對于U的既不含1又不含2的子集，如{3，4}，數組(1，2)在該集合的變換下仍然是(1，2).

這樣就必須得清楚，對于數組(a11，a12)而言，U的所有子集中含a11而不含a12的集合有多少個，含a12而不含a11的集合又有多少個，既含有a11，又含有a12的子集有多少個，既不含a11，又不含a12的子集又有多少個.只要這些問題搞清楚了，問題就迎刃而解了.

規范解答(1)若a11=a12，在集合U的所有子集中含a11的集合有25=32個，所以A0經過這32個集合變換后得到的32個數陣中，第一行的兩個數分別變成了-a11，-a12；而不含a11的集合也有25=32個，A0經過這32集合個變換后得到的32個數陣中，第一行的兩個數依然分別是a11，a12.

此時，所有數陣(Al)中第一行的兩個數的和的和等于 32(-a11-a12)+32(a11+a12)=0.

(2)若a11≠a12，則集合U的所有子集中含a11而不含a12的集合有24=16個，A0經過這16個集合變換后得到的16個數陣中，第一行的兩個數分別變成了-a11，-a12；含a12而不含a11的集合也有24=16個，同理又有16個數陣中第一行的兩個數分別變成了-a11，-a12；

集合U的既含有a11，又含有a12的子集有24=16個，A0經過這16個集合變換后得到的16個數陣中，第一行的兩個數依然是a11，a12；集合U的既不含a11，又不含a12的子集也有24=16個，A0經過這16個集合變換后得到的16個數陣中，第一行的兩個數依然是a11，a12.

此時，所有數陣Al中，第一行的兩個數的和的和等于(16+16)(-a11-a12)+(16+16)(a11+a12)=0.

總之，所有數陣Al中第一行的兩個數的和的和等于0.

同理，所有數陣Al中第二行的兩個數的和的和等于0.

所以，64個數陣Al的四個數的和的和等于0.

所以，當S是集合U的所有非空子集時，所有TS(A0)的和等于-(a11+a12+a21+a22).

因為a11，a12，a21，a22∈U，

所以a11+a12+a21+a22≥4.

所以-(a11+a12+a21+a22)≤-4，

即所有TS(A0)的和不超過-4.

反思啟迪數學之難學，往往在于數學符號的抽象.許多同學看見陌生的符號就頭疼.用數學符號表示某些數學對象是數學研究和數學解題的常用手段，也是重要的數學思想和能力.理解并掌握符號表達能力的核心是對新定義的數學符號的理解和運用.符號表示不僅是用字母表示數字，還包含數學中的一切公式、特殊約定的字符以及新定義的符號等.

第三問——求所有TS(A0)的和，初看上去好像雜亂無序，無從下手，冷靜思考后我們發現，從全局出發，利用加法的交換律，可以改變運算順序，變“局部求和”為“整體求和”.理解到這一點后，我們就不會糾纏于問題的細枝末節，而是注重通覽全局，通過分析問題的整體結構特征，進行整體轉化，達到問題解決的目的.

建議同學們摒棄“重結果輕過程”式的學習，回歸教科書，關注知識的形成過程并感悟其中蘊含的數學思想方法，夯實基本技能，追求對數學知識的本質性理解，提升數學素養.在解題訓練中，必須跳出題海、遠離各種技巧，注重通性通法，養成用數學概念思考問題、解決問題的好習慣.遇到新穎、陌生的含有“新定義”的題目時，要重視審題環節，反復認真研讀題目，適當時候變換三種數學語言(自然語言、符號語言、圖形語言)來對問題進行重新表述，使得對問題的刻畫是全方位、多角度的，有利于理解題目所定義的新概念、新規則、新運算，在此基礎之上，還要善于從特殊的、簡單的、極端的情形入手去“寫寫看”，通過對這些特殊情形的探討，獲得一些結論，受到一些啟發，從而找到解決問題的有效途徑.

變式研究

1.對于本題，如果求TS(A0)的所有可能取值的和，那么結果等于什么呢？