數學推廣：概念、特征及教育價值①

劉成龍 余小芬

(四川省內江師范學院數學與信息科學學院 641100)

推廣是數學研究的重要手段，數學自身的發展在很大程度上依賴于推廣.[1]從數學的發展歷史來看，數學研究者們總是在已有知識的基礎上，通過推廣不斷向未知的領域擴展.這一過程中，許多數學結果的發現都歸因于“幸運的推廣”[2]，比如：大數學家費馬通過推廣畢達哥拉斯方程x2+y2=z2，提出了舉世聞名的費馬猜想：“xn+yn=zn(n≥3)是否有整數解”.雖然推廣的重要作用得到了數學研究者們的普遍認同，但從數學教學實踐來看，一些教師并未充分認識數學推廣的教育價值.因此，下文在厘清數學推廣概念、特征的基礎上，分析數學推廣所具有的教育價值.

1 數學推廣的概念界定

什么是數學推廣呢？張景中院士認為：“數學中的推廣就是擴大命題條件中有關對象的范圍，或擴大結論的范圍，即從一個事物的研究過渡到包含這一事物的研究”[1]；羅增儒教授指出：“數學推廣是這樣一種研究方法，從一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合，或從一個較小集合過渡到考慮包含該集合的更大集合”[3]；鄭隆炘教授將數學推廣定義為“在一定范圍內或一定層次上對數學概念、定理、法則進行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立，此外，也指對條件、結論進行結構分析以后，進行適當變化，使得到的新命題為真”[4]；汪純中教授認為：“把一個數學命題中的某些特殊的條件一般化(比如取消某些條件過強的限制)，從而得到更普通的結論，叫做數學命題的推廣”.[5]盡管上述數學推廣的概念表述不同，但都強調了對象范圍變大，都體現了研究過程.當然，差異也較為明顯：一些界定要求推廣后的命題為真，一些界定對此未做要求.是否一定要求推廣后得到的命題為真呢？我們認為推廣后命題的真假性可不作要求，比如，前文所述的費馬猜想是畢達哥拉斯方程的推廣，但推廣提出358年后才被數學家安德魯·懷爾斯所證明.此外，一些定義側重于問題結構上推廣，而忽視從問題解決方法上推廣.基于此，我們把握推廣的“抓手”(問題結構或問題解決方法)和本質(研究過程)，重新界定數學推廣的概念：數學推廣是指根據問題結構或解決方法，將數學問題從一個較小的范圍拓展到更大范圍的研究過程.

2 數學推廣的特征分析

2.1 問題性

數學推廣的過程是問題伴隨的過程.首先，問題是推廣的生長點，推廣必須基于數學問題展開，正所謂“沒有問題，何來推廣”；其次，問題是推廣的驅動點，推廣實質上是原問題作為初始問題觸發新問題產生的反復、螺旋上升的過程，問題驅動著推廣活動的開展和深化；最后，問題是推廣的落腳點，推廣目的是在更大范圍上生成新問題，且推廣的最終成果以問題呈現.

2.2 系統性

數學推廣的過程是不斷完善問題系統的過程.錢學森認為：“系統是由相互作用相互依賴的若干組成部分結合而成的，具有特定功能的有機整體.”推廣通過對問題或方法的一般化，形成一個由初始問題生成的意義系統，揭示更為深刻、更為普遍的數學事實或規律，構成一個結構前后一致、邏輯連貫的問題域.特別指出，問題域中初始問題是整個系統的基石，在結構或方法上支撐新問題，而推廣得到的最一般問題處于系統的頂層，統攝整個問題系統.

2.3 研究性

數學推廣的過程是研究的過程.數學推廣不僅僅是數量上的簡單增加或呈現形式的簡單變化，通常是一個探索與發現、猜想與論證的過程.[3]這一過程涉及問題提出與問題解決方法的尋求，往往會經歷觀察、歸納、類比、聯想、猜測、論證、反思等思維活動.由此，數學家們一致認為“數學推廣本身就是數學研究的重要方法.” 比如，米山國藏就曾指出：“每當我發現一個新定理，就立即集中力量從各方面考查這個定理能不能將它一般化、能不能推廣，從而一步一步進行研究工作.”[6]

2.4 創新性

數學推廣的過程是創新的過程.數學推廣不是簡單模仿、機械重復，它是一項富有創造性[7]、伴隨生命活力的數學活動，其實質就是創新與發現.[3]通過推廣產生新問題，發現新方法，促使新系統的構建，推動該問題領域知識和研究方法的不斷完善.

3 數學推廣的教育價值

當教育指向核心素養，“知識核心時代”將真正走向“核心素養時代”.在關注人的素養發展，推進人的素養發展與時代發展需求相融合的進程中，“怎樣培養人”比“培養怎樣的人”更重要，“怎么教”“怎么學”比“教什么”“學什么”更重要.[8]這正如畢達哥拉斯所說，在數學的天地里，重要的不是我們知道了什么，而是我們怎么知道什么.數學推廣引領學生超越淺層的知識學習，進入知識內在的邏輯領域，挖掘知識內涵的豐富價值[9]，體會數學研究的重要意義，它不僅是一種重要的數學研究手段，也是一種重要的數學學習活動，具有豐富的教育價值，是發展學生數學核心素養的重要載體.

3.1 培養問題意識

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下文簡稱《課標2017》)指出：通過高中課程的學習，進一步培養學生“四能”，即發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.[10]其中，提出問題能力尤為重要.這是因為問題是思維的起點和動力，提出問題往往比解決問題更具創造的成分.正如大數學家希爾伯特所說：“從數學發展的歷史來看，數學問題的大量提出是數學充滿生命力的體現.”認識論研究專家安德烈·焦爾博士在研究有意義的學習活動時，強調“發問”是衡量學習是否發生的一個重要標準.由此可見，提出問題對激活數學生命力，構建有意義學習具有重要地位.那如何才能提出問題呢？研究表明，問題意識是問題提出的直接基礎[11],強烈的問題意識有助于學生更好、更快地跨越最近發展區，驅動學生主動去發現問題、提出問題.[12]具體到數學學科，數學問題意識驅動學生自覺主動地對已有數學問題進行再提問和反思，并形成一種探索創新的心理品質.[13]數學推廣在將問題從“小范圍”到“大范圍”變化拓展的過程中，在將方法從“原問題”到“新問題”應用創新的過程中，始終將學生置身于問題情境，引導學生不斷思考如何提問，如何答問，如何再提問，這為問題意識的培養提供了現實土壤和可靠原動力.

3.2 完善認知結構

(1)完善知識結構

(2)豐富認知模式

萊考夫認為：“認知模式是人與外部世界互動的基礎上形成的認知方式.”通俗地講，認知模式指學習者對信息的獲取、處理的方式.在(*)的推廣中，涉及多種認知模式：由2元命題、3元命題、4元命題的研究上升到n元命題，既體現了“假設—證偽(真)—修正”的研究方法，又滲透了“特殊到一般”的思維方式；由已有2元命題不直接跳步到n元命題研究，而是先對3元、4元等簡單情形研究，既體現了類比、歸納推理的基本范式，又展現了“以退為進”的思維策略；從單一問題(元變化)上升到關聯問題(次數變化)，再到問題系統(元和次都變)，既體現了“變與不變”的認知方式，又刻畫了靈活變通的思維品質.由此可見，推廣活動極大地豐富、發展了學習者的認知模式.

3.3 體驗研究歷程

《課標2017》將數學建模活動與數學探究活動作為四條主線之一，貫穿于必修、選擇性必修和選修課程之中，并且專門在必修課程中設置了6個學時加以實施.[10]由此可見，開展數學探究活動引導學生了解研究的基本方法、經歷研究的歷程是當前數學課程的重要要求和改革方向.如何有效地開展探究活動呢？數學推廣恰好為學生提供了探究的基本方法和路徑，這是因為數學推廣本身就是數學研究的重要方法，數學問題推廣的過程本身就是數學研究的過程.具體來講，學生運用數學思維方法將問題變化拓展，獲得新結論或新問題的同時，體驗數學研究的一般步驟：確定選題——擬定計劃——收集資料——深入分析——得出結論——撰寫報告(或論文).同時，在對問題推廣的過程中，學生體會著三對相互依存的辯證關系：“特殊”和“一般”：特殊性包含于普遍性，普遍性寓于特殊性；“猜想”與“論證”：要有大膽猜想的求知勇氣，也要具備小心求證的求真精神；“樂趣”和“枯燥”：變枯燥的學習為幸福的研究，塑實事求是和勇于創新的科研品質.

3.4 增強創新能力

隨著信息革命的到來，傳統的知識教育模式已不能滿足社會發展的需求，給學生提供適應未來發展的核心能力才是現代教育的目標和歸宿.當今社會的競爭，與其說是人才的競爭，不如說是人的創新能力的競爭，對學生創新意識和創新能力的培養已成為全球教育界所關注的共同話題.對數學推廣而言，從強調問題意識到經歷研究過程，其實質就是重視創新，重視學生創新意識和創新能力的培養，這是基于時代發展要求下的數學教育的魂.[16]數學推廣活動引領學生大膽猜想，勇于嘗試，用已有的數學知識和方法解決問題，并在問題推廣中，積累數學活動經驗，形成數學探究能力，為增強創新能力提供豐富“營養”.