基于數(shù)學(xué)理解的三角函數(shù)概念教學(xué)

嚴(yán)興光

(浙江省杭州第十四中學(xué) 310006)

1 問題的提出

在三角函數(shù)概念教學(xué)中，教師通常會先復(fù)習(xí)初中銳角三角函數(shù)，再把直角三角形移到直角坐標(biāo)系中，提出“你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？”再提出“我們把角的范圍推廣了，銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎？類比角的概念的推廣，怎樣修正三角函數(shù)定義?”由此展開三角函數(shù)概念教學(xué).

人教A版普通高中教科書·數(shù)學(xué)(2019版)的教材解讀中對以上引入作了如下點(diǎn)評：

“終邊上點(diǎn)的‘坐標(biāo)比’定義三角函數(shù)能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學(xué)生從已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但它對準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有不利影響.”

解讀中肯定了這種引入的優(yōu)點(diǎn)：在最近發(fā)展區(qū)開展教學(xué)；也提出了不足：不利于把握三角函數(shù)的本質(zhì).那么，三角函數(shù)的本質(zhì)是什么呢？銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)區(qū)別是什么？理解任意角三角函數(shù)的本質(zhì)對三角函數(shù)概念的教學(xué)又有怎樣的意義？

2 三角函數(shù)的本質(zhì)

初中銳角三角函數(shù)與高中的任意角三角函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別嗎？答案是肯定的.史寧中在《數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)建模》提到：初中銳角三角函數(shù)表達(dá)的是關(guān)系的度量，而不是關(guān)系本身；如果把三角函數(shù)作為函數(shù)，那么這個函數(shù)應(yīng)當(dāng)描述角的大小與三角函數(shù)值的關(guān)系.這種關(guān)系指的是自然界和生活中的周期現(xiàn)象，事實上絕大多數(shù)周期性都可以通過三角函數(shù)的線性組合予以表征.項武義在《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義叢書?基礎(chǔ)幾何學(xué)》中提到，正弦、余弦函數(shù)是一對起源于圓周運(yùn)動，密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)(主要是其對稱性)的直接反映.由此可見，銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系，而任意角三角函數(shù)則是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用.因此，任意角三角函數(shù)概念教學(xué)的著力點(diǎn)應(yīng)該在于自變量與函數(shù)值之間周期性的函數(shù)關(guān)系.

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》把三角函數(shù)內(nèi)容安排在必修課程“主題二 函數(shù)”中，把“函數(shù)概念與性質(zhì)”“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)”“三角函數(shù)”“函數(shù)應(yīng)用”視為一個整體，很清晰地表達(dá)了“三角函數(shù)的概念”是“函數(shù)概念”的下位概念，是一個重要的基本初等函數(shù)，暗示在教學(xué)中要凸顯出“三角函數(shù)”的函數(shù)地位.

基于以上的分析，研究任意角的三角函數(shù)應(yīng)該按照研究函數(shù)的一般步驟進(jìn)行，即先確定研究對象(單位圓中的圓周運(yùn)動)，再確定研究內(nèi)容(角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合到角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)(比值)構(gòu)成的集合的對應(yīng)關(guān)系)，再在函數(shù)概念的指引下抽象得到任意角三角函數(shù)的概念.同時，通過任意角三角函數(shù)的教學(xué)，也可以加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).

3 三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計

3.1 內(nèi)容解析

人教A版普通高中教科書·數(shù)學(xué)(2019版)從周期現(xiàn)象入手，通過 “周期現(xiàn)象—圓周運(yùn)動—單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動”的抽象，確定研究對象，再對“單位圓上的點(diǎn)做逆時針方向旋轉(zhuǎn)”的抽象，得到角的大小與角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而得到三角函數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上給出三角函數(shù)的分類和表示，如圖1所示，并在適當(dāng)時機(jī)通過例題聯(lián)系初中銳角三角函數(shù)，讓學(xué)生體會二者的聯(lián)系與區(qū)別.教材在處理三角函數(shù)概念的時候充分借助單位圓，反映三角函數(shù)與現(xiàn)實周期現(xiàn)象的聯(lián)系與本質(zhì).

圖1

從培養(yǎng)核心素養(yǎng)看，人教A版普通高中教科書·數(shù)學(xué)(2019版)通過現(xiàn)實世界的周期現(xiàn)象引入三角函數(shù)，促使學(xué)生在抽象概括三角函數(shù)概念的過程中體會數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想；通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的推導(dǎo)，進(jìn)一步理解三角函數(shù)的定義，感受轉(zhuǎn)化與化歸思想的作用，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng).

3.2 目標(biāo)解析

根據(jù)以上分析以及課程標(biāo)準(zhǔn)對三角函數(shù)概念的要求，三角函數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)以及達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志如下表：

目標(biāo)達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志(1)了解三角函數(shù)的背景,體會三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系.學(xué)生知道三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中“周而復(fù)始”變化規(guī)律的數(shù)學(xué)工具,能體會到勻速圓周運(yùn)動在“周而復(fù)始”變化現(xiàn)象中的代表性.(2)經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程,借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).學(xué)生在經(jīng)歷“周期現(xiàn)象—圓周運(yùn)動—單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動”的抽象活動中,明確研究的問題(單位圓☉O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動,建立一個數(shù)學(xué)模型,刻畫點(diǎn)P的位置變化情況),使研究對象簡單化、本質(zhì)化;學(xué)生能分析單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)中涉及的量及其相互關(guān)系,獲得對應(yīng)關(guān)系并抽象出三角函數(shù)概念;能根據(jù)定義求給定角的三角函數(shù)值.

3.3 教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生進(jìn)入高中以后，從集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)刻畫了函數(shù)的概念，研究了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)，已具備了學(xué)習(xí)和研究一個新函數(shù)的知識基礎(chǔ)和初步能力.但是，用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù)，與學(xué)生的已有經(jīng)驗有較大的距離.三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系“與眾不同”，主要表現(xiàn)在不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介.以前遇到的y=kx+b，y=ax2+bx+c，y=logax等，都有“運(yùn)算”的背景，而三角函數(shù)是“α與x，y直接對應(yīng)”，無須計算.雖然α，x，y都是實數(shù)，但實際上是“幾何元素之間的對應(yīng)”.

因此，理解三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是明確它的對應(yīng)關(guān)系.所以在“對應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識上必須采取措施破除定勢，幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)的“三要素”，特別是要先明確“給定一個角，如何得到對應(yīng)的函數(shù)值”的操作過程，然后再給定義.

基于以上分析，本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)是三角函數(shù)概念的建構(gòu).

3.4 問題串設(shè)計(片段)

基于以上的分析，要突破三角函數(shù)概念教學(xué)的難點(diǎn)，教學(xué)過程應(yīng)該具有以下兩條主線：

主線1：研究對象的抽象過程

周期現(xiàn)象→圓周運(yùn)動→單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動

主線2：三角函數(shù)概念的研究過程

對應(yīng)關(guān)系的事實→三角函數(shù)定義、三角函數(shù)表示→三角函數(shù)的性質(zhì)→與初中三角形函數(shù)的關(guān)系

通過主線1，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)(1)；通過主線2，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)(2)、(3)、(4).在設(shè)計教學(xué)過程時可以用一個問題加多個追問的形式呈現(xiàn)，體現(xiàn)教學(xué)中層層遞進(jìn)直搗黃龍的思考.

問題1

(1)你能回顧一下函數(shù)概念嗎？其中的要素有哪些？

(2)現(xiàn)實世界中的許多運(yùn)動、變化都有著循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，這種變化規(guī)律稱為周期性.你能舉一些生活中的“周期性”現(xiàn)象嗎？

師生活動

學(xué)生思考并回答問題(1)，明確函數(shù)的三要素，即定義域、值域、對應(yīng)法則.

學(xué)生思考并回答問題(2)，例如星期、月、年，地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化，月亮圓缺，勻速圓周運(yùn)動時的位置變化，潮汐變化等，教師根據(jù)需要適當(dāng)予以補(bǔ)充.

(3)追問1：這些周期現(xiàn)象的共同特征是什么？

教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注周期現(xiàn)象的共同特征：都具有周期性.

(4)追問2：你想選擇哪一種現(xiàn)象作為周期性問題的研究對象？談?wù)勀愕睦碛?

教師與學(xué)生一起總結(jié)：圓周運(yùn)動中的位置變化是一種最基本最簡單的“周期性”問題，具有一般意義，因此一般選擇圓周運(yùn)動作為研究對象.

設(shè)計意圖

通過問題1，落實教學(xué)目標(biāo)(1).

(1)本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)是在函數(shù)概念的支撐下，研究如何刻畫單位圓上的點(diǎn)做逆時針方向旋轉(zhuǎn)時的位置變化規(guī)律的問題，因此需要回顧函數(shù)的概念以及研究函數(shù)的基本方法，突出復(fù)習(xí)函數(shù)的三要素：對應(yīng)法則、定義域、值域，為后續(xù)研究做好準(zhǔn)備.

(2)通過追問1，引導(dǎo)學(xué)生提煉日常生活中周期現(xiàn)象的共同特征，再通過追問2把研究對象鎖定為最基本最簡單的“周期性”問題——圓周運(yùn)動.

綜上，通過問題引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)概念，為學(xué)習(xí)三角函數(shù)概念作鋪墊，并帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“周期現(xiàn)象—圓周運(yùn)動—單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動”的抽象，在此過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

問題2圓周運(yùn)動體現(xiàn)了客觀世界“周而復(fù)始”的變化現(xiàn)象，不失一般性，可以先研究單位圓(半徑為1個單位)上點(diǎn)的運(yùn)動.如圖2，單位圓⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時針方向旋轉(zhuǎn)，你能根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗，建立一個數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況嗎？

圖2

師生活動

(1)學(xué)生思考.

(2)教師引導(dǎo)：根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗，一般利用直角坐標(biāo)系來研究函數(shù)問題；根據(jù)研究任意角的經(jīng)驗，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).射線OA從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，終止位置為OP(如圖3).

圖3

(4)追問2：根據(jù)以上分析，你發(fā)現(xiàn)刻畫點(diǎn)P(x,y)的位置變化的對應(yīng)關(guān)系了嗎？在這個對應(yīng)關(guān)系中，選擇哪個量作為自變量比較恰當(dāng)？你能談?wù)劺碛蓡幔?/p>

(5)追問3：你能從“集合對應(yīng)”的角度給出點(diǎn)P的坐標(biāo)x，y是角α的函數(shù)的定義嗎？如果把這種函數(shù)關(guān)系記為x=f(α),y=g(α)，那么角α的取值范圍是什么？

(7)追問5：根據(jù)正切的定義，你能說出α的取值范圍嗎？

(8)教師給出三角函數(shù)定義.

問題3你能說說現(xiàn)在建立的三角函數(shù)與初中學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)有什么關(guān)系嗎？

追問1：你能回顧一下初中引入銳角三角函數(shù)的背景嗎？本節(jié)課中引入三角函數(shù)的背景是什么？兩者目的相同嗎？

追問2：你能用三角函數(shù)定義完成以下證明嗎？

設(shè)α是一個任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r.

設(shè)計意圖

通過問題2、3落實教學(xué)目標(biāo)(2)的要求.

本節(jié)課是三角函數(shù)的概念課，概念課教學(xué)的基本套路是：事實—概念—性質(zhì)(關(guān)系)—應(yīng)用鞏固，其中概念包括定義、表示、分類，具體如下：

圖4

通過問題1，學(xué)生經(jīng)歷了“周期現(xiàn)象—圓周運(yùn)動—單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動”的抽象，明確了簡單化、本質(zhì)化、具體化研究對象：單位圓⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)作逆時針旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，建立一個數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況.

學(xué)生通過分析單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)中涉及的量及其相互關(guān)系，得到角與點(diǎn)P的位置具有函數(shù)關(guān)系的事實，并由此抽象出三角函數(shù)概念，然后給出三角函數(shù)的定義、表示、分類，最后研究三角函數(shù)的性質(zhì)，由此可以得到三角函數(shù)的研究過程：

根據(jù)本單元的教學(xué)難點(diǎn)，問題串的設(shè)計突破了以下難點(diǎn)：

①三角函數(shù)是“從角的集合到坐標(biāo)分量的集合”的對應(yīng)關(guān)系，所以學(xué)生對任意角三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的理解要比其它函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的理解困難些，需要借助單位圓上的圓周運(yùn)動以直觀的幾何方式給出定義，并通過追問層層遞進(jìn)，在此過程中同時借助技術(shù)直觀表達(dá)這種對應(yīng)；

②任意角三角函數(shù)的定義域是角的集合(或它的子集)，需要“把角的集合轉(zhuǎn)化為實數(shù)集”，這里體現(xiàn)了引入弧度制的必要性，通過追問3予以突破；

③通過問題3建立任意角的三角函數(shù)與初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的關(guān)系.

問題4你能根據(jù)角的終邊位置和三角函數(shù)定義，給出三個三角函數(shù)的值的符號嗎？

師生活動

(1)學(xué)生自主完成上圖中的填空，教師根據(jù)學(xué)生填寫情況作適當(dāng)補(bǔ)充.

(2)師生一起完成教科書上例3：

求證：角θ為第三象限角的充要條件是

問題5 根據(jù)三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的值是由角α的終邊唯一確定的，但給定一條終邊，角卻不唯一.那么，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值有什么關(guān)系嗎？

師生活動

學(xué)生思考后讓部分學(xué)生發(fā)表自己的想法.

由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.由此得到一組公式(公式一)：

sin(α+k2π)=sinα，

cos(α+k·2π)=cosα,

tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.

追問1：確定下列三角函數(shù)值的符號，然后用計算器驗證：(教材例4)

(3)tan(-672°)；(4)tan 3π.

追問2：求下列三角函數(shù)值：(教材例5)

設(shè)計意圖

讓學(xué)生應(yīng)用三角函數(shù)的定義得出終邊相同三角函數(shù)值也相同，體會誘導(dǎo)公式一的運(yùn)用.

問題6通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能從一般函數(shù)定義的角度闡述一下三個三角函數(shù)嗎？你認(rèn)為三角函數(shù)所蘊(yùn)含的“周而復(fù)始”現(xiàn)象表現(xiàn)在哪里？

師生活動

(1)學(xué)生思考后讓部分學(xué)生發(fā)表自己的想法.若不完整，再請其他的同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充.

三角函數(shù)就是以角(實數(shù))為自變量，分別以角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)、縱橫坐標(biāo)比值為函數(shù)值的函數(shù).

三角函數(shù)的“周而復(fù)始”體現(xiàn)在三角函數(shù)具有周期性(誘導(dǎo)公式一).

(2)教師借助結(jié)構(gòu)圖(圖1)歸納小結(jié).

4 結(jié)束語

從教材的修訂來看，三角函數(shù)概念的教學(xué)經(jīng)歷了三個階段：

第一階段是由初中銳角三角函數(shù)引入，再在直角坐標(biāo)系中研究銳角三角函數(shù)，用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)比值定義三角函數(shù)；

第二階段是由初中銳角三角函數(shù)引入，再在直角坐標(biāo)系中研究銳角三角函數(shù)，用終邊與單位圓交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)及比值定義；

第三階段是在單位圓中抽象對應(yīng)關(guān)系，在函數(shù)概念指引下用終邊與單位圓交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)及比值定義三角函數(shù).

可以看出，數(shù)學(xué)核心概念的理解是循序漸進(jìn)、逐步完善的過程，作為教師，只有通過不斷地學(xué)習(xí)，才能提高自己對數(shù)學(xué)核心概念的把握能力.