張躍紅
(南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 210003)
一線教師每天都與課堂教學(xué)打交道,難免會(huì)遇到各種各樣的困惑.在這些困惑中,有些是共性的,也有些是個(gè)性的.針對(duì)困惑,教師也有著各自不同的處理辦法.本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐,針對(duì)在課堂教學(xué)中通常會(huì)出現(xiàn)的困惑,談一些想法及做法與同行交流.
眾所周知,數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式,它有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過(guò)程,初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過(guò)程,有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.
但是要不要探究?如何探究?一直是困擾著一線教師的問(wèn)題.因?yàn)橛行┙處熢谡n堂教學(xué)中,實(shí)施的探究活動(dòng)并未達(dá)到良好的教學(xué)效果,不但浪費(fèi)了大量的教學(xué)時(shí)間,影響了教學(xué)進(jìn)度,同時(shí)也讓學(xué)生失去了參與的興趣,挫傷了教師的積極性,探究活動(dòng)則變成了“雞肋”,食之無(wú)味,棄之可惜.

真正的探究活動(dòng)要“探”在能力的獲得上.教師首先要想清楚,通過(guò)探究活動(dòng)要培養(yǎng)學(xué)生哪些方面的能力.同時(shí),也要考慮學(xué)生自身能力、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)時(shí)間等方面因素的影響.首先,探究教學(xué)需要學(xué)生具備相當(dāng)?shù)闹R(shí)儲(chǔ)備和較高的思維水平,因?yàn)橹挥羞_(dá)到了一定的水平,才能真正探究起來(lái),否則就是被教師“牽著鼻子走”進(jìn)行假探究”;其次,探究式教學(xué)內(nèi)容不宜過(guò)深和過(guò)淺,否則都會(huì)變成“假探究”.內(nèi)容過(guò)淺,沒(méi)有探究的必要;過(guò)深,學(xué)生聽(tīng)教師講解尚且困難,自己探究更會(huì)困難重重;最后,由于探究式教學(xué)往往費(fèi)時(shí)很多,就要選擇合適的時(shí)機(jī),同時(shí)也可以適當(dāng)?shù)卣{(diào)整教學(xué)形式;如果課堂時(shí)間有限,可以把學(xué)生分成小組,利用課余時(shí)間進(jìn)行探究活動(dòng),課內(nèi)進(jìn)行展示.
鑒于此,可以把“正弦定理”一課設(shè)計(jì)成“研究三角形邊角關(guān)系”的單元教學(xué)課.
本節(jié)課采用探究式教學(xué)方法.教師將學(xué)生分成若干小組,利用課余時(shí)間進(jìn)行探究.課堂上采用小組匯報(bào)的形式,交流展示他們的研究成果.
整節(jié)課分成以下4個(gè)環(huán)節(jié).
環(huán)節(jié)1 小組匯報(bào) 展示成果
學(xué)生通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)三角形的邊角關(guān)系中,存在三個(gè)定理,分別是:



參與匯報(bào)的小組,主要呈現(xiàn)出三種得到這些定理的方法,分別是:
(1)將一般三角形化為特殊三角形(化斜為直),通過(guò)直角三角形的邊角關(guān)系得到三個(gè)定理;
(2)借助向量進(jìn)行研究,通過(guò)將向量等式數(shù)量化的方法(即將向量等式平方,或者利用數(shù)量積運(yùn)算)得到定理內(nèi)容;
(3)借助坐標(biāo)系進(jìn)行研究,通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系,利用等面積法,或者距離公式得到定理內(nèi)容.
環(huán)節(jié)2 回顧過(guò)程 反思方法
教師請(qǐng)同學(xué)們回顧,是如何想到利用構(gòu)造直角三角形、向量和坐標(biāo)系的方法來(lái)研究三角形邊角關(guān)系的?
設(shè)計(jì)意圖是挖掘各種研究方法背后隱藏的“金子”,使研究方法系統(tǒng)化,進(jìn)而形成學(xué)生自己的研究能力.
各個(gè)小組的代表分別談了他們的想法:(1)“化斜為直”是“一般”到“特殊”思想方法的體現(xiàn);(2)向量具有“代數(shù)”與“幾何”特征,是解決三角形問(wèn)題的有利工具;(3)坐標(biāo)系是將“幾何問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)問(wèn)題”的有效途徑.同時(shí),每個(gè)小組又對(duì)不同研究方法進(jìn)行了比較、分析,指出各種方法的利弊以及需要注意的問(wèn)題.
環(huán)節(jié)3 觀察定理 思考用途
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這三個(gè)定理的結(jié)構(gòu)特征及用途,并歸納總結(jié)出應(yīng)如何觀察等式特征,從哪些角度進(jìn)行觀察;如何使用這三個(gè)定理解決問(wèn)題,以及使用時(shí)需要注意的問(wèn)題,教給學(xué)生方法.
環(huán)節(jié)4 領(lǐng)悟聯(lián)系 拓展延伸
教師引導(dǎo)學(xué)生再研究:
(1)每個(gè)定理都有三個(gè)等式,等式之間是否可以相互轉(zhuǎn)化?
(2)三個(gè)定理之間是否存在某種聯(lián)系?
學(xué)生們經(jīng)過(guò)討論研究發(fā)現(xiàn),每個(gè)定理的三個(gè)等式可以相互轉(zhuǎn)化,知道其中兩個(gè)就可以得到第三個(gè).三個(gè)定理間存在聯(lián)系,三個(gè)定理之間可以相互證明,即用正弦定理可證明余弦定理,用余弦定理可證明射影定理,等等.
概念是思維的細(xì)胞,理解概念是所有數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ),只有在概念清晰的條件下,才能進(jìn)一步開(kāi)展其他的數(shù)學(xué)活動(dòng),概念課的重要性是不言而喻的.
“函數(shù)的單調(diào)性”是函數(shù)概念的下位概念,它比函數(shù)的概念容易理解,但很重要,在數(shù)學(xué)中具有核心地位.有教師這樣設(shè)計(jì)這節(jié)課:上課伊始,教師給出幾個(gè)函數(shù)的圖象,讓學(xué)生觀察圖象的特征,然后給出函數(shù)單調(diào)性的定義.之后,教師對(duì)定義中的關(guān)鍵詞“任意的”進(jìn)行特別強(qiáng)調(diào),提醒學(xué)生注意,接下來(lái)進(jìn)行鞏固練習(xí).
但令人困惑的是,教師自認(rèn)為已經(jīng)講得明明白白,學(xué)生也把概念背得滾瓜爛熟,但在練習(xí)時(shí)要么錯(cuò)誤百出,要么沒(méi)有解題思路,無(wú)從下手.經(jīng)過(guò)教師講解,學(xué)生似乎又“明白了”,一旦自己獨(dú)立完成,問(wèn)題又來(lái)了.為什么學(xué)生明明知道函數(shù)單調(diào)性的定義,卻不能利用它來(lái)解決問(wèn)題呢?
究其原因,學(xué)生沒(méi)有理解概念的本質(zhì).因?yàn)楦拍钍墙處煛皰伣o”學(xué)生的,不是通過(guò)自己的理解建立起來(lái)的.眾所周知,概念越是基本,其應(yīng)用范圍就越廣,學(xué)生通過(guò)對(duì)這些概念的學(xué)習(xí),所感悟到的數(shù)學(xué)就越本質(zhì).由此而養(yǎng)成的思維習(xí)慣及思維方式,將會(huì)對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展產(chǎn)生根本性的影響.但往往越是基本的概念越容易被教師“一筆帶過(guò)”,因?yàn)榻處熣J(rèn)為概念是“規(guī)定”好的,直接告訴學(xué)生就行了,沒(méi)有什么好講的.但事實(shí)上,概念越是基本,往往對(duì)它們的理解和掌握也越難,需要的時(shí)間也越長(zhǎng).“紙上得來(lái)終覺(jué)淺,絕知此事要躬行”,為了表面上的“實(shí)惠”,舍棄概念教學(xué)的完整過(guò)程,直接將概念“拋給”學(xué)生,把節(jié)省出來(lái)的時(shí)間用于大量的訓(xùn)練,以期望達(dá)到快速掌握的教學(xué)效果,這種做法只能是事與愿違.
如何設(shè)計(jì)概念課的教學(xué)?不妨以“函數(shù)的單調(diào)性”一課為例.
本課分為以下5個(gè)環(huán)節(jié).
環(huán)節(jié)1 設(shè)置情境 引出課題
教師引導(dǎo)學(xué)生思考:在研究了函數(shù)的概念、圖象和表示方法之后,還有哪些方面的內(nèi)容需要去研究?
函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,函數(shù)的變化規(guī)律顯然值得研究.通過(guò)設(shè)置現(xiàn)實(shí)生活中的例子(比如心電圖,股市走勢(shì)圖等等),讓學(xué)生感受函數(shù)變化規(guī)律的意義,明確研究的內(nèi)容和方法.
環(huán)節(jié)2 觀察圖象 得到直觀定義
教師給出一些函數(shù)的圖象(可以是學(xué)生熟知的一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象,也可以是不熟知的函數(shù)圖象),請(qǐng)學(xué)生觀察這些函數(shù)圖象有哪些變化規(guī)律.意圖引導(dǎo)學(xué)生從形的角度,得到單調(diào)函數(shù)的直觀定義:
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳,區(qū)間I?A.在區(qū)間I上,若函數(shù)的圖象(從左至右看)總是上升的,則稱函數(shù)在I上是增函數(shù);在區(qū)間I上,若函數(shù)的圖象(從左至右看)總是下降的,則稱函數(shù)在I上是減函數(shù).
環(huán)節(jié)3 探幽入微 得到描述性定義
憑借函數(shù)圖象觀察出的性質(zhì),僅得到了定性刻畫(huà),只能說(shuō)是對(duì)函數(shù)的變化情況有個(gè)大概了解,以此作為定義,顯然是不夠的,需要量化.如何進(jìn)行量化?那就需要把函數(shù)圖象的形遷移到數(shù).
教師可以借助幾何畫(huà)板作出一些函數(shù)的圖象,測(cè)量出其圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo),把它們制成表格,實(shí)現(xiàn)從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化.通過(guò)觀察表格中自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生把從形中看到的單調(diào)性(即圖象語(yǔ)言),過(guò)渡到用自然語(yǔ)言來(lái)表述,進(jìn)而得到函數(shù)單調(diào)性的描述性定義:
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳,區(qū)間I?A.在區(qū)間I上,若隨著自變量x增大,函數(shù)值y也增大,則稱函數(shù)在區(qū)間I上是增函數(shù);在區(qū)間I上,若隨著自變量x增大,函數(shù)值y卻減小,則稱函數(shù)在區(qū)間I上是減函數(shù).
環(huán)節(jié)4 設(shè)置問(wèn)題串 得到形式化定義
雖然得到了函數(shù)單調(diào)性的描述性定義,但它還不是量化的,要把定性的數(shù)量變化關(guān)系轉(zhuǎn)化為定量的數(shù)量變化關(guān)系.這是本課的重點(diǎn),也是難點(diǎn).
教師可以設(shè)置問(wèn)題串:
問(wèn)題1對(duì)于區(qū)間(a,b)上任意的x都有f(x)>f(a),能否說(shuō)明f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增?說(shuō)說(shuō)理由.
問(wèn)題2對(duì)于給定區(qū)間上存在無(wú)數(shù)個(gè)自變量x,當(dāng)自變量變大時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值也變大,能說(shuō)明函數(shù)在此區(qū)間上是單調(diào)遞增的嗎?說(shuō)說(shuō)理由.
問(wèn)題3函數(shù)y=x在R上單調(diào)遞增的,能否用數(shù)學(xué)符號(hào)表示?
通過(guò)問(wèn)題串進(jìn)行一步步的引導(dǎo),讓學(xué)生思考、體會(huì),最終“水到渠成”地得到函數(shù)單調(diào)性的形式化定義:
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳,區(qū)間I?A.如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2,當(dāng)x1
環(huán)節(jié)5 回顧過(guò)程 總結(jié)方法
通過(guò)練習(xí)、小結(jié)等活動(dòng),讓學(xué)生回顧研究過(guò)程,即“圖形直觀——定性刻畫(huà)——定量刻畫(huà)”,總結(jié)研究方法,并將所獲得的研究方法用于其他知識(shí)中去.
從以上教學(xué)設(shè)計(jì)可以看出,概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)是:①設(shè)置現(xiàn)實(shí)情境,讓學(xué)生感受研究的價(jià)值和意義;②給出具體的例證,并對(duì)它們的屬性進(jìn)行分析、比較;③抽象概括出所給例證的共同本質(zhì)特征,進(jìn)而得到概念的本質(zhì)屬性;④用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言給概念下定義;⑤運(yùn)用實(shí)例從正、反兩個(gè)方面,對(duì)概念進(jìn)行辨析;⑥思考概念的用途及與其他相關(guān)概念的聯(lián)系,學(xué)以致用.
值得注意的是,概念教學(xué)特別需要有耐心,需要循序漸進(jìn)的滲透和提高,需要學(xué)生親身經(jīng)歷從具體到抽象的概括過(guò)程,不可急于求成.
要不要教給學(xué)生解題套路,也是經(jīng)常困擾一線教師的問(wèn)題.因?yàn)榻忸}套路確實(shí)讓學(xué)生和教師都嘗到了“甜頭”.對(duì)于學(xué)生而言,不需要?jiǎng)幽X筋,只要背下來(lái),照搬就是了;對(duì)于教師而言,也不需要?jiǎng)幽X筋專研如何備課了,只要?dú)w納整理好各種題型的解決辦法,然后照本宣科告訴學(xué)生,就萬(wàn)事大吉了.
如果總是教給學(xué)生解題套路,結(jié)果會(huì)如何呢?勢(shì)必導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)做“熟題”,不會(huì)做“生題”.
因?yàn)樘茁肥轻槍?duì)某一類問(wèn)題給出的固定解法,它不會(huì)變,是僵化的.一旦問(wèn)題改變,其解決方法就立刻無(wú)法使用.
比如,問(wèn)題1:當(dāng)x∈R時(shí),關(guān)于x的不等式kx2+kx+1>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
如果問(wèn)題1的教學(xué)設(shè)計(jì)如下:
第一步,首先考慮當(dāng)k=0時(shí),1>0滿足條件;
第二步,當(dāng)k≠0時(shí),欲使當(dāng)x∈R時(shí)不等式恒成立,只需開(kāi)口方向向上(k>0),并且判別式Δ=k2-4k<0即可,解得0 第三步,綜上所述,實(shí)數(shù)k的取值范圍是0≤k<4. 這樣的教學(xué)就是“解題套路”,因?yàn)樗桓嬖V學(xué)生怎么做,卻不告訴學(xué)生為什么這樣做. 首先,為什么要考慮“k=0”的情況?其次,明明是不等式問(wèn)題,怎么就聯(lián)系到了二次函數(shù)的圖象?這些問(wèn)題不解決,學(xué)生無(wú)法理解其解法,只能是記下來(lái)然后照搬,一旦題目改變,就束手無(wú)策了. 要讓學(xué)生從根本上理解解決問(wèn)題的方法,就需要教師講清楚原理,即解決問(wèn)題的思想和方法.解決問(wèn)題1的根本,就是函數(shù)與方程思想.函數(shù)、方程和不等式,好比是一家人中的“三兄弟”,“老大”函數(shù)是最有能力的,因?yàn)樗绕渌麅蓚€(gè)“兄弟”多了一樣工具——圖象(這又聯(lián)系到了數(shù)學(xué)的另一個(gè)思想方法,即數(shù)形結(jié)合).當(dāng)其他兩兄弟遇到困難時(shí),“老大”函數(shù)就要出手幫助.問(wèn)題1屬于不等式問(wèn)題,但它遇到了困難,憑借自己的本事它解決不了(不等式本身能解決的問(wèn)題,僅限于求解),勢(shì)必要尋求 “老大”函數(shù)的幫助,這樣就需要將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù). 如何轉(zhuǎn)化呢?令y1=kx2+kx+1,y2=0,原不等式kx2+kx+1>0轉(zhuǎn)化為y1>y2,問(wèn)題1即轉(zhuǎn)化為:當(dāng)x∈R時(shí),函數(shù)y1的圖象恒在y2(即x軸)的上方,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 對(duì)于函數(shù)y1=kx2+kx+1,當(dāng)然要考慮k是否為0的情況,否則我們無(wú)法判定函數(shù)的類型,也就無(wú)法畫(huà)出它的圖象.當(dāng)k=0時(shí),y1=1為常函數(shù),顯然在x軸上方;當(dāng)k≠0時(shí),函數(shù)y1為二次函數(shù),其圖象欲恒在x軸上方,勢(shì)必要開(kāi)口向上(k>0)且與x軸無(wú)交點(diǎn)(Δ<0). 當(dāng)然,將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)時(shí),不一定非要令y1=kx2+kx+1,y2=0,只要以不等號(hào)為界,左邊一個(gè)函數(shù),右邊一個(gè)函數(shù)即可.至于誰(shuí)在左邊,誰(shuí)在右邊,完全取決于題目的結(jié)構(gòu)特征. 思想和方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂,起到高屋建瓴的作用.無(wú)論題目千變?nèi)f化,領(lǐng)悟了思想和方法就能以不變應(yīng)萬(wàn)變.比如問(wèn)題1,可變?yōu)椋?/p> 關(guān)于x的不等式kx2+kx+1>0,當(dāng)分別滿足下述條件時(shí),求實(shí)數(shù)k的取值范圍. (1)當(dāng)x∈R時(shí),不等式能成立; (2)當(dāng)x∈[1, 2]時(shí),不等式恒成立; (3)當(dāng)x∈[1, 2]時(shí),不等式能成立. 通過(guò)這樣的教學(xué),解決的就不單單是一個(gè)問(wèn)題1.或許某些問(wèn)題的解決,確實(shí)需要教給學(xué)生一些套路,但如果全部是套路,試想,那得需要多少套路才能應(yīng)對(duì)各種變化問(wèn)題?反言之,學(xué)生一旦掌握了思想和方法,學(xué)會(huì)了思考和分析,建立起自己的思考體系,在面對(duì)各種紛繁復(fù)雜的新問(wèn)題時(shí),就會(huì)從容不迫,得心應(yīng)手地去應(yīng)對(duì). 近些年,由于在高考閱卷中,評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)比較嚴(yán)格,教師擔(dān)心學(xué)生由于書(shū)寫(xiě)不規(guī)范而白白失掉一些分?jǐn)?shù),在課堂教學(xué)中強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)規(guī)范的氛圍悄然興起.有些教師把“書(shū)寫(xiě)規(guī)范”視為課堂教學(xué)最重要的任務(wù),從而沖淡了重要知識(shí)、內(nèi)容的講解;有些教師把握不了書(shū)寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn),索性“眉毛胡子一把抓”,就要求學(xué)生寫(xiě)得越多越好;有些教師矯枉過(guò)正,甚至出現(xiàn)了學(xué)生作業(yè)中寫(xiě)的“設(shè)點(diǎn)P”,教師要求改成“不妨設(shè)點(diǎn)P”,并且讓學(xué)生重新書(shū)寫(xiě)一遍的極端情況,等等. 強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)規(guī)范的目的,是為了讓學(xué)生有邏輯地回答問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.何為有邏輯地回答問(wèn)題?就是要講清楚每一步驟的因果關(guān)系.沒(méi)有“因?yàn)椤钡拇嬖冢唤o出最后的“結(jié)果”,顯然是不符合邏輯的. 所以,我們?cè)谡n堂教學(xué)中,強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)規(guī)范固然重要,但更重要的是講清楚書(shū)寫(xiě)規(guī)范背后的原因.哪些步驟該寫(xiě),哪些可以不寫(xiě),其中的原因是什么,一定要讓學(xué)生心里清清楚楚、明明白白.否則,學(xué)生只能是畏手畏腳,既害怕寫(xiě)多了浪費(fèi)時(shí)間,又害怕寫(xiě)少了被扣分,患得患失、稀里糊涂,反倒嚴(yán)重影響了正常的答題節(jié)奏和心情. 針對(duì)書(shū)寫(xiě)規(guī)范,不妨讓學(xué)生在作答時(shí),想清楚以下幾個(gè)方面的問(wèn)題: (1)書(shū)寫(xiě)的每一個(gè)邏輯段,是否能保證因果關(guān)系齊全,即有“因”有“果”; (2)漏寫(xiě)這一步,是否會(huì)出現(xiàn)科學(xué)性錯(cuò)誤; (3)使用了題目中沒(méi)有出現(xiàn)的條件,是否交待清楚了; (4)在使用已知定理、公式、結(jié)論時(shí),是否有特別需要說(shuō)明的地方. 教師可以結(jié)合教學(xué)實(shí)際情況,對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的書(shū)寫(xiě)問(wèn)題進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo).不妨嘗試一下以下做法:(1)把習(xí)題課分成“思想方法課”和“書(shū)寫(xiě)規(guī)范課”.“思想方法課”目的是,教會(huì)學(xué)生如何思考、分析問(wèn)題,選擇科學(xué)合理的解題思路,進(jìn)而解決問(wèn)題;“書(shū)寫(xiě)規(guī)范課”目的是,教會(huì)學(xué)生如何會(huì)書(shū)寫(xiě),保證解題過(guò)程條理清晰,有理有據(jù).把習(xí)題課分成這樣兩類后,教學(xué)側(cè)重點(diǎn)突出,目的明確,針對(duì)性會(huì)更強(qiáng);(2)以學(xué)生的書(shū)寫(xiě)過(guò)程作為實(shí)例進(jìn)行評(píng)價(jià),“正例”與“反例”都要選擇,師生共同評(píng)價(jià).評(píng)價(jià)時(shí)要指出“正例”好在哪里,“反例”壞在哪里以及如何修正;(3)若教學(xué)時(shí)間允許,教師可以板書(shū)一道題目完整的解題過(guò)程,讓學(xué)生親眼看見(jiàn),感受也會(huì)更加深刻;(4)書(shū)寫(xiě)規(guī)范是一種習(xí)慣,在平時(shí)就要養(yǎng)成.對(duì)學(xué)生平時(shí)作業(yè)與大型考試的書(shū)寫(xiě)要一視同仁,不能區(qū)別對(duì)待、厚此薄彼.習(xí)慣一旦養(yǎng)成,規(guī)范書(shū)寫(xiě)就不是一件要刻意完成的任務(wù).4 有關(guān)書(shū)寫(xiě)規(guī)范的困惑與對(duì)策
