方形鏡對稱共焦腔激光模式的數值模擬研究

王玉杰　李武軍　李恩琪

摘 要：根據方形鏡對稱共焦球面鏡腔自再現模的表達形式，本文運用數值計算方法，計算了不同階次的自再現模的振幅分布和強度分布。研究表明，計算結果清晰明了，展示了自再現模振幅和強度的空間分布;圖樣直觀、形象，有助于分析激光振蕩模式的場振幅分布和強度分布的特征。

關鍵詞：激光原理;對稱共焦腔;自再現模;數值計算

中圖分類號：O432.1 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5168（2021）06-0042-05

Numerical Simulation Research on Laser Mode of Square

Mirror Symmetrical Confocal Cavity

WANG Yujie LI Wujun LI Enqi

（School of Basic Science， Xi'an Technological University，Xi'an Shaanxi 710021）

Abstract： According to the expression form of the self-reproducing mode of the symmetrical confocal spherical mirror cavity of the square mirror， this paper uses the numerical calculation method to calculate the amplitude distribution and intensity distribution of the free present mode of different orders. And the calculation results clearly shows the spatial distribution of the amplitude and intensity of the self-reproducing mode; the pattern is intuitive and vivid， which is helpful for analyzing the characteristics of the field amplitude distribution and intensity distribution of the laser oscillation mode.

Keywords： laser principle;symmetrical confocal cavity;self-reproducing mode;numerical calculation

光學諧振腔理論是研究腔的模式特征、模式與諧振腔結構的依賴關系的基本理論。按照波動光學的標量積分理論，人們已經在數學上嚴格證明了本征方程解的存在性，但迄今為止，在腔鏡尺寸有限的情況下，只能求出對稱共焦腔的解析解。根據該解析解，方形鏡對稱共焦球面鏡腔在鏡面上的場分布可以用厄米-高斯函數描述。腔內空間中的場可以用厄米-高斯光束的形式表示[1-3]。根據等價共焦腔理論，一般的激光器光學諧振腔大多數是穩定的球面腔，而任意一個穩定的球面腔都可等價為一個共焦腔，人們可以建立一般穩定腔與共焦腔之間的關系。因此，研究共焦腔的不同模式十分重要[4-5]。本文根據對稱共焦球面鏡腔的解析解，使用Matlab數值模擬計算不同階次的自再現模的振幅分布和強度分布。

1 共焦腔自再現模

1.1 方形鏡共焦腔自再現模

在直角坐標系中，對稱方形鏡共焦球面腔產生的光場在共焦反射鏡面中心附近，自再現模的振幅分布可以近似表示為厄米多項式和高斯分布函數的乘積，即

[υmn（x，y）=CmnHm（2ω0sx）Hn（2ω0sy）e-x2+y2ω0s2]? ? ? ? ?（1）

式中，[Cmn]為常系數;[Hm（X）]、[Hn（X）]分別為[m]和[n]階厄米多項式;[ω0s]為共焦腔基模在鏡面上的光斑半徑，[ω0s=λL/π]。

根據發光強度與振幅的關系，相應的強度分布為：

[Imn（x，y）=I0H2m（2ω0sx）H2n（2ω0sy）e-2x2+y2ω0s2]? ? ? ? ? ? ? （2）

式中，I0為初始光強。

1.2 方形鏡共焦腔鏡面上的光斑形狀

試驗期間，經觀察和測量，本研究得到方形鏡對稱共焦腔的各不同階次的高階橫模的光斑圖樣，如圖1所示。

由光斑圖樣可見，基模高斯光束為一典型的高斯分布的圓形光斑，不同高階橫模的強度分布由多個小光斑按照一定的對稱性組成。

2 共焦腔自再現模振幅和強度分布的數值仿真

取諧振腔參數[L]=250 mm，[λ]=632.8 nm，則[ω0s]≈0.224 mm。針對式（1）和式（6）所描述方形鏡自再現模的振幅分布和強度分布，取不同的階次[m]、[n]，通過Matlab數值模擬計算出相應階次模的振幅分布和強度分布，所得結果如下。

2.1 方形鏡TEM00模的振幅和強度分布

TEM00模振幅分布如圖2所示，TEM00模強度分布如圖3所示。由計算結果可見，TEM00模的振幅和強度分布為典型的高斯分布，強度分布表明光斑為最簡單的圓形光斑。

2.2 方形鏡TEM10模的振幅和強度分布

TEM10模振幅分布如圖4所示，TEM10模強度分布如圖5所示。由計算結果可見，TEM10模的振幅和強度分布沿[x]方向有一條節線，節線兩側的光場振幅相位反向，強度分布表明光斑為分立的兩個光斑。

2.3 方形鏡TEM11模振幅分布

TEM11模振幅分布如圖6所示，TEM11模強度分布如圖7所示。由計算結果可見，TEM11模的振幅和強度分布沿[x]和[y]方向各有一條節線，節線兩側相鄰的光場振幅相位均反向，強度分布表明光斑為分立的四個光斑。

3 試驗驗證

本研究采用大恒新紀元科技股份有限公司的半開放式He-Ne激光器進行試驗驗證。其間取平凹腔結構，腔長[L]=420 mm，凹面鏡曲率半徑[R]=500 mm，調節腔鏡角度，可得不同TEM10模和TEM11模的輸出光斑，如圖10所示。

測試所用諧振腔鏡為圓形腔鏡，輸出光斑與數值模擬的方形鏡高階模式光斑形狀完全相同。結果表明，在鏡面橫向尺度遠大于光斑直徑的情況下，圓形腔鏡與方形腔鏡輸出的光斑形狀完全相同，進而也證明了建立的數學計算模型是正確的。

4 結論

本研究從方形鏡對稱共焦球面鏡腔自再現模的數學表達形式出發，采用數值計算方法描繪了不同階次模式的振幅分布圖樣和強度分布圖樣。計算結果清晰直觀地展現不同條件下自再現模的振幅和強度分布圖樣。根據圖樣，人們可以方便地認識和分析高階模式的振幅和強度分布特征，推進激光諧振腔的設計及激光器件研究。

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