社會選擇函數(shù)集結(jié)中的對影判別和性質(zhì)

高曉波，盧美華

(1.江西農(nóng)業(yè)大學(xué)計算機(jī)與信息工程學(xué)院，江西 南昌 330045；2.江西科技學(xué)院理科部，江西 南昌 330022)

1 引言與研究背景

著名的Arrow不可能性定理沖擊了整個社會科學(xué)的基礎(chǔ)，從技術(shù)層面上，Arrow不可能性定理指向了偏好集結(jié)、加總等問題，是典型的群決策問題。雖然自上世紀(jì)50年代以來，Arrow不可能性定理及其指向的社會選擇函數(shù)存在性問題的研究歷史已有70余年，權(quán)威文獻(xiàn)提供了數(shù)十個具體證明，近期提供了形式更為規(guī)范研究的證明[1-10]，不過各種證明都具有瑕疵[11]。撇開諸多修訂證明的文獻(xiàn)，如文獻(xiàn)[2-10]等等，在管理理論和決策理論中，社會選擇函數(shù)研究還具有廣泛的空間。羅云峰的文獻(xiàn)[1]對社會選擇函數(shù)及其存在性的研究和概括較為全面；特別是羅云峰文獻(xiàn)[1]第13章全面概括選擇函數(shù)的路徑無關(guān)性；可以說，一方面選擇函數(shù)的路徑無關(guān)擴(kuò)展了無關(guān)備擇物的獨(dú)立性公理(IIA公理)，另一方面選擇函數(shù)的路徑無關(guān)也是直接考察偏好集結(jié)方式和路徑。另外一些重要文獻(xiàn)給出了社會選擇函數(shù)的框架性擴(kuò)展或者方法的拓展。胡毓達(dá)的文獻(xiàn)[12]利用可排方法簡化并嚴(yán)格化了Arrow不可能性定理的證明，同時提出了一些新的解釋。郭春香文獻(xiàn)[13]、Cato文獻(xiàn)[14]拓展了社會選擇函數(shù)的框架，在格序、不完全序上構(gòu)造了新的序決策結(jié)構(gòu)，吳志彬文獻(xiàn)[15]提出了共識概念和非公理化集結(jié)的方法。例如，具有完全的共識的群體，表現(xiàn)為偏好序完全是一致的，那社會偏好序也就自然確定了。不過這時社會選擇函數(shù)也是一種冗余的概念。本質(zhì)上，社會選擇函數(shù)就是集結(jié)沖突的投票者的偏好。從而，直接考察集結(jié)更能在操作層面上形成對社會選擇函數(shù)的判斷。為此，本文集中考察社會選擇函數(shù)集結(jié)中的對影判別和性質(zhì)。

2 基本概念和符號說明

社會科學(xué)研究中有諸多運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)工具研究現(xiàn)實(shí)背景中問題，但這些問題未必得到了嚴(yán)格和標(biāo)準(zhǔn)的刻畫，從而產(chǎn)生理論文獻(xiàn)中一些符號及其意義上的不一致。為此，這里給出基本概念和常用符號如下：

(1)集合、關(guān)系以及定向。對于一個集合X，稱‖X‖為其范數(shù)，當(dāng)X為有限集時為其元素個數(shù)。關(guān)系R是X×X上的一個子集，R?X×X。為方便，當(dāng)x、y∈X具有關(guān)系R，即(x,y)∈R,也表示xRy，這里R是一般性泛指關(guān)系。如果是特定的關(guān)系R，還常直接用特定符號表示，例如某特定xRy表示為xy，這里xy是定向的，例如考慮定向關(guān)系，關(guān)系xy={x,{x,y}}。

(2)關(guān)系的屬性。對于裝載了關(guān)系R的集合X，簡記為(X，R)。?x、y∈X，稱R是自反的，若總有xRx；稱R是非自反的，若總有xRx；(2)稱R是傳遞，若另?z∈X，總能由xRy、yRz?xRz；稱R是對稱的，對于x≠y若xRy?yRx；稱R是非對稱的x≠y，若xRy?yRx；稱是完全的，若x≠y，若xRy、yRx必有兩者之一，或者說若xRy?yRx。

(3)偏序、全序和強(qiáng)序、弱序。稱R為偏序，若X上的R是傳遞的；稱R為全序，若X上的R是傳遞的和完全的；稱R為強(qiáng)序，若S上的R是非對稱、傳遞和完全的；稱R為弱序，若S上的R是對稱、傳遞和完全的；稱R是等價關(guān)系，若X上的R是自反、傳遞和對稱的。同時引入“～”表示等價關(guān)系；引入“?”和“”表示弱序，“”和“?”表示強(qiáng)序；另外，還引入其他一些記號，?=，R=P∪I，=?∪～。本文涉及的主要概念都將基于普適性符號。若xRy即為“xy”，也稱R排x、y為xy，或R排為xy，或R：xy。這些符號在權(quán)威文獻(xiàn)中廣泛采用，并且本文中這些符號的具體含義依據(jù)上下文是自明的。

3 主要結(jié)論

SCF在現(xiàn)實(shí)意義上需要遵循約束公理，Arrow、Sen、May都提出了不同的約束公理。除出律例規(guī)范外，也確實(shí)考慮合理非公理配置以保障和SCF集結(jié)加總的存在，本文不直接研究合理公理配置，所以以AS代表一般的約束公理系統(tǒng)。在考慮直接的集結(jié)過程中，孔多塞循環(huán)受到多方面的研究，本質(zhì)是孔多塞循環(huán)是排序輪換，其全輪換恰好構(gòu)成一個完整的循環(huán)群。

定義1備擇物集為A={α1,α2,…,αi}，稱?:A→A為輪換函數(shù)，若滿足?(α1)=α2,?(α2)=α3…,?(αk)=αk+1…?(αi-1)=αi,?(α)i=α1。

說明，這里A={α1,α2,…,αi}的標(biāo)定是無序的；也就是說，本質(zhì)上A={αk|k∈I}，并且其中的I為無向指標(biāo)集。另外，考察各階輪換冪n(α)=?(…?(?(α))…)，1≤n≤i-1，從而在備擇物集A={α1,α2,…,αi}定義了輪換或孔多塞循環(huán)后，也就構(gòu)成輪換次序。本質(zhì)上A={α1,?(α1),2(α1)…,i-1(α1)}，就按照輪換冪級就構(gòu)成了序向。

另外，為給出定義2，設(shè)R為備擇物集A上的偏好序(弱序)，并記R=P∪I，其中的嚴(yán)格偏好P和偏好等價分別用“”和“～”刻畫。

顯然有如下定理：

定理1A={α1,α2,…,αi}，Δ:A→{1,2,…i}為標(biāo)號映射，且Δ(αk)=k。?:A→A為輪換映射，則?αk∈A，Δ(?αk)-Δ(αk)=1或者1-i。Δ(nαk)-Δ(αk)=n或者n-i,其中n

定義2對于備擇物集A上的偏好序R(為弱序)，稱序?qū)?R+，R->為R在<α1、α2>兩點(diǎn)上的有序分影，并記為φα1α2R=，若滿足：

(1)當(dāng)α1Rα2為α1～α2時，α1R+α2為α1α2，而α1R-α2為α1?α2；并對其他全部的α～α1～α2，滿足αR+α1為α～α1(α2)，規(guī)定αR-α1為α～α1(?α2)。

(2)當(dāng)α1Rα2為α1α2時，α1R+α2為α1α2且α1R-α2為α1α2；

為方便，簡記R+=R+φα1α2，R-=R-φα1α2。考慮到定義2中有φα2α1R=，下文簡記φα1α2R=(R+，R-)為R在(α1、α2)上的分影。另外考慮分影合成，若R中有α～β～γ，先φαβR，R+φαβ和R-φαβ都包含α～γ，再做φαγ(R+φαβ)=以及φαγ(R-φαβ)=，取稱為α、β、γ的分影，記為φαβγR，也即φαβγR=。顯然，對于偏好序R進(jìn)行分影運(yùn)算，總是把某兩個等價備擇物偏好嚴(yán)格化，通過分影合成最終能把R的所有等價備擇物都對稱的嚴(yán)格化，并記為φA/～R，也即如下定理成立。

定理2若R為備擇物集A={α1,α2,…,αi}上的偏好序，則存在φA/～R=(R+，R-)為R的等價性分影，其中的R+、R-都是強(qiáng)序，是嚴(yán)格偏好。

證明若偏好序R本身為強(qiáng)序，按強(qiáng)序定義，?α、β∈A,則αβ或者βα。那么按照分影定義，只需φαβR=中R+=R-=R。從而，遍歷任何兩個元素，也必有φA/～R=(R+，R-)中R+=R-=R；從而，存在φA/～R=(R+，R-)為R等價性分影，其中的R+、R-都是強(qiáng)序，是嚴(yán)格偏好。

若偏好序R本身不為強(qiáng)序，則R=P∪I包含無差異的備擇物，為等價關(guān)系。為此可作A/～={Λ1、Λ2、…、Λk}，滿足A=Λ1∪Λ2∪…∪Λk、Λs∩Λt=φ(s≠t)以及?Λs、?α、α′∈Λs?α～α′(αIα′)等條件；也即A/～形成A等價類劃分。

對其中任何單點(diǎn)集Λk={α}，則?β≠α、β∈A,規(guī)定“αR+β?αRβ”、“βR+α?βRα”、“αR-β?αRβ”、“βR-α?βRα”。對任何非單點(diǎn)集Λk，寫出其全部元素并任意排列Λk={αs1,αs2,…,αsi},規(guī)定αs1R+αs2R+…R+αsi?αs1αs2…αsi；并規(guī)定αs1R-αs2R-…R-αsi?αs1?αs2?…?αsi。

顯然，可以驗(yàn)證R+和R-均為備擇物集A={α1,α2,…,αi}上的嚴(yán)格偏好序，為強(qiáng)序。因?yàn)?α、β∈A,若αβ或者βα，規(guī)定“αR+β?αRβ”、“βR+α?βRα”、“αR-β?αRβ”、“βR-α?βRα”保證了R+和R-對α、β序向和R相同。若α～β，則?Λkα、β,則或者αR+β、βR-α同時為αβ，或者則βR+α、αR-β同時為βα。從而，R+、R-都是強(qiáng)序，保持了R的嚴(yán)格偏好關(guān)系。故(R+、R-)為R的分影。

綜上所述各種情況，定理得證。

定理3對于(A,R)，φA/～R=(R+，R-)在A/～上保持了等價類序，同時對于等價類劃分A/～中的一個劃分子集Λs作輪換?：Λs→Λs，延拓?在AΛs上為恒等映射，則R+?和R--1也構(gòu)成R的分影。

證明為證明第一個結(jié)論，考慮(A,R)的等價類劃分A/～={Λ1、Λ2、…、Λk}。按照φA/～R=(R+，R-)定義，?α、β∈A,且α～β，為證明方便設(shè)R排序?yàn)棣力拢粍t?Λkα，對于此Λk，必然β?Λk，于是α、β在R+、R-中不能序反向，并且α、β在R+、R-中序向都相同于R的序向；即R+排序?yàn)棣力拢瑫rR-排序也為αβ；由于Λkα，β?Λk，取Λhβ，在Λk、Λh上，?α′∈Λk以及?β′∈Λh，R中α′～α、β′～β?α′β′。從而按(R+，R-)定義，R+、R-中α′、β′序向都相同于R的序向。由于α′、β′的任意性，則R+、R-在A/～上保持了等價類序，也即可規(guī)定?α∈Λs、α′∈Λt，ΛsΛt?α′。

第二個結(jié)論只需要證明對應(yīng)于等價類上的序反向。考慮A/～={Λ1、Λ2、…、Λk}，其中?在Λs上為輪換映射，在AΛs上為恒等映射。由恒等映射，?α、β∈AΛs，α、β在R+?、R--1的序向分別和R+、R-完全相同；并且由第一結(jié)論，即使?α∈Λs、?β∈AΛs，α、β在R+?、R--1的序向分別和R+、R-完全相同；為此只需考慮Λs。?α、β∈Λs,只需證明α、β在R+?、R-?中序反向即可。設(shè)?α=α*，?β=β*，若R+?排α、β為αβ，即R+排α*、β*為α*β*。考慮R-?對α、β的排序，由?α=α*，?β=β*，即R-對的α*、β*。R+排α*、β*為α*β*?R-排α*、β*為β*α*?R-?排對α、β的排序?yàn)棣娄痢Ｓ纱耍痢ⅵ略赗+?、R-?中序反向。即R+?和R--1也構(gòu)成R的分影。

對上述定理做直接的推廣，即可得如下一些更為深刻的結(jié)論：

對于(A,R)的等價類劃分A/～={Λ1、Λ2、…、Λk}而言，對于1≤s≤k設(shè)s在上Λs是輪換映射,在AΛs上為恒等映射，若(R+，R-)為R的分影，則(R+s，R-s)也為R的分影。(R+s)n，R-(s)n)也為R的分影。對于1≤t≤k設(shè)t在上Λt是輪換映射,在AΛt上為恒等映射，(R+((?t)m(s)n，R-(t)m(s)n)也為R的分影。

定理4R+、R-∈(A,R)，都為A的偏好強(qiáng)序，如果?α、ξ、ζ∈A，?：{α、ξ、ζ}→{α、ξ、ζ}為R+對α、ξ、ζ三者的排序輪換，R+?、R+2、R+3對α、ξ、ζ的排序均不在R-對α、ξ、ζ三者的排序之中，則(R+、R-)為A上的對影偏好。

證明按定義和定理2，關(guān)鍵A合理的劃分A=Λ1∪Λ2∪…∪Λk能保證不同的兩個子集Λkα、Λhβ?R+、R-對α、β排序序向相同；以及能保證同一個子集Λkα、β?R+、R-對α、β排序序向反同。構(gòu)造A的如下劃分A=Λ1∪Λ2∪…∪Λk即可。

記A={α1,α2,…,αi}對于R+為A的偏好強(qiáng)序，為方便，不妨設(shè)R+排A為α1α2…αi。

考察R-對α1,α2的排序強(qiáng)序的兩種情況。

情況1若R-排為α1α2，則不存在α∈A，使得R-排為αα1。否則R-排為αα1必產(chǎn)生矛盾；因?yàn)椋环矫姒痢佴?(否則R-排為α1α=α2產(chǎn)生矛盾)于是R+排為α1α2α，另一方面，R-對α1、α2、α的排序?yàn)棣力?α2。那么顯然只要取輪換映射?：{α1、α2、α}→{α1、α2、α}，那么R-排為αα1α2，即有R-=R+?，產(chǎn)生矛盾。

于是，R-排為α1α2，則不存在α∈A，使得R-排為αα1。于是取Λ1={α1}。同時有?β∈AΛ1，即β≠α1，并必然α1β。

情況2若R-排為α2α1，取Λ1={α1}∪{α∈A|R-:αα1}，并且‖Λ1‖≥2。(1)若‖Λ1‖=2，也即Λ1={α1、α2}，顯然R-：α2α1，即R+、R-在Λ1={α1、α2}排序是反向的。并且?β∈AΛ1，必有R-:α1β、R-:α2β；即R-排序中AΛ1中任何元素嚴(yán)格優(yōu)于Λ1中的全部元素。(2)而若‖Λ1‖>2,則考察R-排序α2、α3,必然有R-:α3α2α1,也即必然有α3∈Λ1；否則，一方面α3∈Λ1時R-:α2α3α1會有矛盾，因?yàn)镽+：α1α2α3以及R-:α2α3α1?R-=R+2，即為矛盾。另外一方面，α3∈AΛ1也將導(dǎo)致矛盾。因?yàn)椤?‖>2，α1∈Λ1、α2∈Λ1、α3∈AΛ1，必存在α∈Λ1，并且R+:α1α2α3α。但既然α3∈AΛ1?R-:αα2α1α3或者α2αα1α3。但無論如何，對于α1、α3、α而言，R+:α1α3α，R-:αα1α3。顯然有R-=R+?，產(chǎn)生矛盾。(3)由歸納法，事實(shí)上可證，‖Λ1‖=k時，必然為Λ1={α1}∪{α∈A|R-:αα1}={α1,α2,…,αk},并且R-在Λ1上排序?yàn)镽-:αk…α3α2α1。另外，Λ1={α1}∪{α∈A|R-:αα1}??β∈AΛ1以及?α∈Λ1，必然R-:αβ。

以上構(gòu)造了Λ1并分析了Λ1單點(diǎn)集、兩點(diǎn)集、多點(diǎn)集情況下，R-在Λ1內(nèi)部的排序正好與R+序緊鏈反向。以AΛ1={αk+1,αk+2,…,αi},考慮R-對αk+1,αk+2的排序進(jìn)行以上過程構(gòu)造Λ2，顯然Λ2可能是單點(diǎn)集、兩點(diǎn)集、多點(diǎn)集情況，但‖Λ2‖=s時必然有Λ2={αk+1,αk+2,…,αk+s}。并且有R+、R-在Λ2排序是反向的，Λ1Λ2；另外?β∈AΛ1，?α∈Λ1，必然R-:αβ。?β∈A(Λ1∪Λ2)，?α∈AΛ1，必然R-:αβ。

由歸納法知A=Λ1∪Λ2∪…∪Λk能保證不同的兩個子集Λkα、Λhβ?R+、R-對α、β排序序向相同；以及能保證同一個子集Λkα、β?R+、R-對α、β排序序向反同。定理得證。

4 余論

以上考慮了社會選擇函數(shù)集結(jié)中的對影判別和性質(zhì)。通過嚴(yán)格形式化刻畫，給出了弱序偏好的強(qiáng)序化，強(qiáng)序化為分影偏好，給出了分影偏好定義，分析了其基本性質(zhì)，并考慮廣為關(guān)注的孔多塞循環(huán)，聯(lián)系孔多塞循環(huán)和輪換，給出了一般意義上的分影的判別。以上定理1、2、3、4形成了一個完整的框架。

同時，這里可考慮[0,1]或者是無界空間[0,+∞)連續(xù)空間上的對影，就是連續(xù)的空間上區(qū)間。另外，可考慮三元組不構(gòu)成孔多塞循環(huán)時，添加一個元素形成整序，一個空間上的三元組，固定方向后添加一元，最多可能只有四種情況。

雖然，考慮社會選擇函數(shù)約束公理系統(tǒng)的相容性是社會選擇理論的理論基礎(chǔ)，但從現(xiàn)實(shí)形式上直接考慮偏好集結(jié)仍然具有十分重要的實(shí)踐意義。本質(zhì)上，本文提出的社會選擇函數(shù)集結(jié)中的對影就是一個十分重要的、可行的集結(jié)機(jī)制，從而發(fā)展了集結(jié)的機(jī)制設(shè)計，也提供了指示約束公理系統(tǒng)相容性的一種方法。