基于重復(fù)控制的并聯(lián)型有源濾波器電流控制研究

張 詣，方 勇

（云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司昆明供電局，昆明 650011）

0 引言

近年來(lái)隨著交流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)電源等電力電子設(shè)備的廣泛應(yīng)用，諧波污染問題日趨嚴(yán)重。與此同時(shí)，精密設(shè)備對(duì)電能質(zhì)量的要求也越來(lái)越高。SAPF（并聯(lián)型有源濾波器）由于能很好抑制電流型諧波污染，受到廣泛關(guān)注[1-2]。

并聯(lián)型有源濾波器電流指令中含有高次諧波分量，單純的PI 控制難以滿足穩(wěn)態(tài)精度要求，因此大量文獻(xiàn)提出各種適合SAPF 的電流控制方案。其中，便于數(shù)字控制實(shí)現(xiàn)的主要有：廣義積分控制、預(yù)測(cè)控制、比例遞推積分控制和重復(fù)控制。廣義積分控制，利用指定頻率處的極點(diǎn)使該處開環(huán)增益無(wú)窮大來(lái)滿足穩(wěn)態(tài)精度要求，并且便于分頻控制，但控制器的復(fù)雜度隨所需控制諧波次數(shù)增多而加大[3-6]。預(yù)測(cè)控制基于控制對(duì)象數(shù)學(xué)模型，控制速度快，但對(duì)模型參數(shù)敏感，魯棒性差，而且要求預(yù)測(cè)電流指令。比例遞推積分控制，利用指令和擾動(dòng)周期重復(fù)性在對(duì)應(yīng)時(shí)刻進(jìn)行PI 控制以提高穩(wěn)態(tài)精度[7]，遺憾的是其理論基礎(chǔ)尚不完善。重復(fù)控制同樣利用指令和擾動(dòng)的周期重復(fù)性，通過(guò)逐周期積分提高基波倍頻處的穩(wěn)態(tài)精度，但動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度慢，因此通常結(jié)合其它控制組成復(fù)合控制方案[8-12]。但現(xiàn)有文獻(xiàn)很少涉及重復(fù)控制系統(tǒng)的魯棒性分析。

本文采用嵌入式重復(fù)控制外環(huán)，PI 控制內(nèi)環(huán)的雙環(huán)控制結(jié)構(gòu)。PI 控制校正并網(wǎng)濾波器頻率特性，簡(jiǎn)化重復(fù)控制器設(shè)計(jì)，提高動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，而重復(fù)控制保證控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度。同時(shí)，通過(guò)電網(wǎng)電壓前饋控制抑制電壓擾動(dòng)的影響。本文將詳細(xì)分析電壓前饋控制性能，雙環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明重復(fù)加PI 雙環(huán)控制系統(tǒng)響應(yīng)速度快，穩(wěn)態(tài)精度高，抗擾動(dòng)能力強(qiáng)，并且具有較好的魯棒性。

1 SAPF 工作原理

SAPF 工作原理如圖1 所示。圖中，ug，us，ui和ud分別為無(wú)窮大系統(tǒng)電壓、電網(wǎng)電壓、逆變器橋臂中點(diǎn)電壓和直流側(cè)電容電壓；Ls為電網(wǎng)等效電感；Lload和Rload為阻感性負(fù)載；Cd為直流側(cè)電容；L1，L2和C 分別為L(zhǎng)CL 濾波器前端電感、后端電感和電容；R1，R2為電感等效串聯(lián)電阻；r為阻尼電阻。電流指令由負(fù)載電流iload中的諧波及無(wú)功分量，和維持直流側(cè)電容電壓ud恒定所需的有功電流組成。與us基波分量同頻同相，幅值由電壓控制器決定，以補(bǔ)償SAPF自身功率損耗。假設(shè)補(bǔ)償電流i2完全跟蹤指令則電網(wǎng)電流is僅含有負(fù)載電流中的基波有功分量和電流，即is與us基波分量同頻同相。

圖1 SAPF 原理

2 電流控制方案

電流控制采用雙環(huán)控制方案，PI 控制為內(nèi)環(huán)，嵌入式重復(fù)控制做為外環(huán)，引入電網(wǎng)電壓前饋控制抑制電網(wǎng)波動(dòng)影響，控制框圖如圖2 所示。

圖2 電流控制框圖

2.1 有源濾波器數(shù)學(xué)模型

有源濾波器由并網(wǎng)濾波器和電壓型逆變器構(gòu)成。并網(wǎng)濾波器用于抑制SAPF 補(bǔ)償電流中的開關(guān)紋波，相對(duì)L 濾波器，3 階的LCL 濾波器具有更好的高頻衰減能力，是現(xiàn)階段的研究熱點(diǎn)。濾波器參數(shù)如表1 所示。L 為L(zhǎng)1，L2之和；R 為R1，R2之和；α 等于L1/L，并假設(shè)R1/R 等于α。

表1 LCL 濾波器參數(shù)

根據(jù)疊加原理可以分別求出ui到i2和us到i2的傳遞函數(shù)：

根據(jù)狀態(tài)空間平均模型，電壓型逆變器等效為零階保持器。考慮數(shù)字控制器固有的一拍延遲，電流環(huán)的控制對(duì)象可由式（3）表示：

其頻率特性如圖3 所示，橫坐標(biāo)為頻率f，采樣周期T 為50 μs。由于r 的阻尼作用頻率特性在諧振頻率附近變得相當(dāng)平滑。

圖3 Gui（z）的波特圖

2.2 內(nèi)環(huán)PI 控制設(shè)計(jì)

PI 控制器校正LCL 濾波器頻率特性，應(yīng)使內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)具有足夠的帶寬以彌補(bǔ)重復(fù)控制響應(yīng)速度緩慢的缺點(diǎn)，并使其頻率特性盡可能平滑，以簡(jiǎn)化重復(fù)控制器設(shè)計(jì)。內(nèi)環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)Po（z）和閉環(huán)傳遞函數(shù)P（z）可表示為：

式中：kp，ki 為PI 控制比例和積分系數(shù)，分別為6.8 和6800。Po（z）和P（z）波特圖如圖4 和圖5 所示。內(nèi)環(huán)相角裕度為59.6°，幅值裕度為2.54 dB，閉環(huán)帶寬為2 970 Hz。

圖4 Po（z）的波特圖

圖5 P（z）和z-3 的波特圖

2.3 外環(huán)重復(fù)控制設(shè)計(jì)

重復(fù)控制器如圖2 所示，N 為基波周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)，k 為超前拍數(shù)，kr為重復(fù)控制增益，Q（z）為零相移低通濾波器。重復(fù)控制器對(duì)誤差信號(hào)逐周期累加，本周期檢測(cè)到的誤差信息在下周期才開始作用，因此可在下周期實(shí)現(xiàn)等效的控制超前。如果Q（z）等于1，若內(nèi)環(huán)穩(wěn)定，則穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)為零。但這樣會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)N 個(gè)位于單位圓圓周上的開環(huán)極點(diǎn)，從而使開環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)臨界振蕩狀態(tài)，此時(shí)只要對(duì)象建模稍有偏差，閉環(huán)系統(tǒng)就極有可能失去穩(wěn)定。Q（z）的引入使重復(fù)控制的累加作用隨頻率增加而迅速減弱，以提高控制系統(tǒng)穩(wěn)定性。

根據(jù)小增益原理可以導(dǎo)出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的一個(gè)充分條件[17-18]：

假設(shè)傳遞函數(shù)H（z）為：

如果傳遞函數(shù)H（z）的增益恒小于1，則可以判定重復(fù)控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其幾何意義如圖6所示：在奈奎斯特頻率內(nèi)，矢量krzkQ（z）P（z）的末端所劃過(guò)的軌跡不能超出以矢量Q（z）的末端為圓心的單位圓。

圖6 穩(wěn)定性條件的幾何意義

重復(fù)控制的穩(wěn)態(tài)誤差幅值由式（8）決定：

由于內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)頻率特性相當(dāng)平滑，用z3校正其頻率滯后即可，如圖5 所示。取k=3，Q（z）=（z+2+z-1）/4，kr=0.1，0.1，1 時(shí)，H（z）的增益和重復(fù)控制的穩(wěn)態(tài)誤差幅值如圖7 和圖8 所示，箭頭方向表示kr從0.1 增大到1。可見kr=1 時(shí)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性最好，穩(wěn)態(tài)精度最高，然而，最終kr確定為0.8。這是因?yàn)閗r取1 時(shí)，動(dòng)態(tài)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)較大的超調(diào)，而穩(wěn)態(tài)精度僅有微弱提升。

圖7 H（z）的幅值特性

圖8 e（z）的幅值特性

2.4 電壓前饋性能分析

為得到電網(wǎng)電壓us到補(bǔ)償電流i2的傳遞函數(shù)，假設(shè)us同樣通過(guò)零階保持器加在LCL 濾波器后端。F（z）為電壓前饋通道的傳遞函數(shù)，如圖2 所示。不失一般性，僅考慮內(nèi)環(huán)PI 控制器，us到i2的傳遞函數(shù)為：

式中：Gus（z）為用零階保持器法將式（2）離散化得到的離散域下的傳遞函數(shù)。

顯然，若沒有數(shù)字控制的一拍延時(shí)，F(xiàn)（z）=Nus（z）/Nui（z）時(shí)，可以完全抑制電壓擾動(dòng)的影響（Nus（z），Nui（z）分別為Gus（z），Gui（z）的分子多項(xiàng)式，兩者的分母多項(xiàng)式相等）。數(shù)字控制延時(shí)的存在使得完全抑制電壓擾動(dòng)影響已不再可能。考慮F（z）分 別 等 于：0，1，Nus（z）/Nui（z）和4 種方案，0 表示沒有電壓前饋，最后一種方案表示用一階拉格朗日外推法預(yù)測(cè)電壓us。4 種情況下Hus-i2（z）的幅頻特性分別對(duì)應(yīng)圖9 中的曲線1 到4。

圖9 Hus-i2（z）的幅頻特性

從圖9 可以得到以下結(jié)論：電壓前饋在中低頻率段能更好的抑制電壓擾動(dòng)，高頻段不如無(wú)前饋時(shí)的情況；電壓前饋采用方案3 時(shí)效果最好，方案2 次之，方案4 最差。綜合考慮實(shí)現(xiàn)的簡(jiǎn)單性和擾動(dòng)抑制效果，本文選擇方案2，即單位電壓前饋。加入外環(huán)重復(fù)控制后，電壓擾動(dòng)傳遞函數(shù)趨勢(shì)和圖9 相似，只是在基波整數(shù)倍頻率附近具有更強(qiáng)的抑制作用。

3 控制系統(tǒng)魯棒性分析

3.1 穩(wěn)定性分析

在LCL 濾波器模型參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性將發(fā)生相應(yīng)變化。假設(shè)在某頻率點(diǎn)矢量krzkP（z）相角變化量為Δθ，在小增益原理給出的穩(wěn)定性充分條件（內(nèi)環(huán)必須穩(wěn)定）下，該頻率點(diǎn)允許其幅值最大變化量為Δh。幾何解釋如圖10 所示，其中θ 為P（z）相角。根據(jù)ΔABC邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系可求得：

圖10 幅值裕度的幾何解釋

當(dāng)Δθ 和頻率變化時(shí)，可以得出重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍，如圖11 中空間曲面所示。

假設(shè)LCL 濾波器模型參數(shù)中，L，C，r 取額定值的0.5，0.1，1.5 倍，R 取額定值的0，0.5，5 倍，可以分別得到單一參數(shù)變化時(shí)矢量krzkP（z）的變化量，如圖11 中空間曲線所示。此參數(shù)變化范圍內(nèi)內(nèi)環(huán)控制均穩(wěn)定。如果空間曲線位于曲面下方，則有充分的把握斷定參數(shù)相應(yīng)變化時(shí)重復(fù)控制系統(tǒng)仍然穩(wěn)定。圖中只有L=0.5 mH 時(shí)在頻率為2 510～2 910 Hz，重復(fù)控制系統(tǒng)不滿足小增益原理給出的穩(wěn)定充分條件。

圖11 穩(wěn)定性邊界曲面和krzkP（z）變化量的空間曲線

3.2 穩(wěn)態(tài)精度

相同的變化范圍內(nèi)，L，C，r 和R 單一變化時(shí)重復(fù)控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度可由式（8）求得，如圖12 所示，箭頭方向表示參數(shù)取值由小變大。

圖12 參數(shù)變化時(shí)的穩(wěn)態(tài)精度

由此可見，模型參數(shù)在較大范圍變化時(shí)，重復(fù)控制系統(tǒng)仍然穩(wěn)定，并且具有較高的穩(wěn)態(tài)精度。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)按照?qǐng)D1 搭建，主要參數(shù)如表2 所示（LCL 濾波器參數(shù)已在表1 中給出）。額定容量10 kVA，采樣和控制頻率20 kHz。

表2 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)主要參數(shù)

不控整流負(fù)載電阻為5 Ω 時(shí)，穩(wěn)態(tài)波形如圖13（a）所示，此時(shí)負(fù)載功率為7.32 kVA。電壓、電流頻譜如圖13（b）—（d）所示。電網(wǎng)電壓THD 為5.24%，負(fù)載電流THD 為38.19%，補(bǔ)償后電網(wǎng)電流THD 為1.61%。

圖13 穩(wěn)態(tài)實(shí)驗(yàn)波形及其頻譜

圖14 為相同負(fù)載條件下無(wú)電壓前饋時(shí)，電網(wǎng)電流的頻譜圖。可以看出電壓前饋的引入使得電網(wǎng)電流THD 降低了0.31%，有效抑制了電網(wǎng)電壓中低頻段的擾動(dòng)，而高頻段如49 次諧波的效果不如無(wú)前饋時(shí)，這與理論分析一致。

圖14 無(wú)電壓前饋時(shí)電網(wǎng)電流頻譜

圖15 為相同條件下kr為1 時(shí)的電網(wǎng)電流頻譜。雖然THD 有所降低，但僅降低了0.08%。

圖15 kr=1 時(shí)電網(wǎng)電流頻譜

圖16 為SAPF 動(dòng)態(tài)時(shí)的實(shí)驗(yàn)波形。圖16（a）光標(biāo)時(shí)刻SAPF 投入運(yùn)行，此時(shí)不控整流負(fù)載電阻為8 Ω。圖16（b）光標(biāo)時(shí)刻負(fù)載電阻由8 Ω 突變?yōu)? Ω。由于復(fù)合了內(nèi)環(huán)PI 控制，響應(yīng)速度較快。

圖16 SAFP 動(dòng)態(tài)時(shí)的實(shí)驗(yàn)波形

圖17 為kr取1 和0.8 時(shí)，負(fù)載突加時(shí)刻電網(wǎng)電流波形對(duì)比。可以看到突加后在不控整流換流時(shí)刻附近出現(xiàn)超調(diào)，kr取1 時(shí)其超調(diào)量更大。

圖17 kr 取0.8 和1 時(shí)突加時(shí)刻電網(wǎng)電流波形

5 結(jié)語(yǔ)

本文以單相SAPF 電流控制為研究對(duì)象，詳細(xì)分析了在PI 控制內(nèi)環(huán)、重復(fù)控制外環(huán)的雙環(huán)控制方案下，LCL 濾波器參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，以及電網(wǎng)電壓前饋對(duì)SAPF 性能的影響。分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明此雙環(huán)控制系統(tǒng)響應(yīng)速度快，穩(wěn)態(tài)精度高，抗擾動(dòng)能力強(qiáng)，并且具有較好的魯棒性。