預加熱效果對磁化套筒慣性聚變放能影響的模擬研究

趙海龍，王 強，闞明先，謝 龍

（中國工程物理研究院流體物理研究所，四川 綿陽 621999）

可控核聚變是解決未來能源需求的重要手段之一。當前傳統的聚變構型如磁約束聚變（Magnetic confinement fusion,MCF）[1–3]和慣性約束聚變[4–6]（Inertial confinement fusion,ICF）等都面臨著不同的工程和技術問題，距離點火的目標仍有一定的差距，因此有必要探索新的聚變構型方式，以盡量降低聚變的實現難度。

美國圣地亞國家實驗室提出了一種結合傳統MCF與ICF優勢的新型聚變構型[7]——磁化套筒慣性聚變（Magnetized liner inertial fusion,MagLIF），其主要原理是利用大電流驅動金屬套筒產生的超高壓力（約16 TPa），壓縮磁化并預加熱燃料，使之達到聚變點火條件。該構型的最大優勢在于使用外部熱源（如激光器）對燃料進行預加熱，使之完全等離子體化[8]，由此將軸向磁場凍結于燃料內，隨著套筒內爆和燃料一起被壓縮，可以顯著抑制燃料熱傳導損失，提升α 粒子的能量沉積效率[9]，理論上能有效降低聚變實現的難度，具有極大的應用潛力。

關于MagLIF，理論、模擬以及實驗研究均取得了快速進展[10–15]，并成功在Z 裝置上進行了首批次氘燃料出中子實驗[14]，然而實驗得到的中子產額不如預期，有證據表明主要原因在于激光預加熱模式下能量沉積效率過低，至此研究熱點轉向激光與等離子體的相互作用（Laser plasma interaction,LPI）[16–19]、激光預加熱的替代方案[20]等，以便盡可能地提高預加熱效率。

上述研究過于重視激光能量沉積效率的提升，而忽略了預加熱自身參數對MagLIF過程和內爆結果的影響。為系統性地探究此問題，本研究將忽略LPI的復雜過程和能量沉積效率等問題，從預加熱完成后達到的效果出發，使用一維集成化數值模擬程序（Magnetic implosion simulation tools，MIST）[21]開展預加熱效果對MagLIF聚變放能的影響研究，基于參數掃描的方法，從簡單模型著手，逐步深入探討不同的預加熱參數對內爆結果的影響。

1 計算模型與預加熱必要性

首先建立MagLIF物理模型。對于磁化套筒慣性約束聚變而言，發生聚變時刻燃料處于高溫（5～10 keV）、高密度（約1020cm?3）狀態，可視為全電離、理想導電流體，驅動源來自外部電流，同時存在軸向磁場，整體上使用磁流體動力學（Magnetohydrodynamic，MHD）方程組描述是合適的。考慮到MagLIF包含了非常復雜的多物理過程，為便于一體化的描述，必須適當簡化：

（1）認為氘氚（DT）燃料為完全電離的等離子體，燃料光性薄，金屬套筒光性厚；

（2）經估算，典型參數下聚變反應導致的燃料質量減少不超過1%，因此不考慮聚變質量損失；

（3）根據模擬與實驗結果[12,14]，在預加熱后很短的時間（約20 ns）內電子和離子溫度快速平衡，滯止時刻電子與離子溫度差別很小，因此使用單溫模型。

基于上述考慮，使用拉氏描述方式，建立描述MagLIF過程的單溫、單流體、多介質MHD方程組

求解MHD方程組時需要材料狀態方程的支撐，特別是對應的電導率和熱導率參數。對金屬套筒而言，電導率模型使用改進后的Burgess模型[23]；對于DT 燃料而言，則使用Zollweg 等[24]基于Spitzer 電導率模型改進的Z&L 模型，寫作

式中：Z為離子平均電荷數，T為等離子體溫度，γE為電子間碰撞對電導率的修正系數， Λm為修正后的庫倫對數。對于1∶1混合的DT氣體，Z= 1，γE=0.582。

式中：λD=68.66(T/ne)1/2[m]， λ+=0.62n?+1/3[m]，b0=5.6×10?6T?1[m]，其中ne為電子數密度，n+為離子數密度。

軸向強磁場的引入會影響燃料中電子和離子沿徑向的熱擴散，根據文獻[22]，磁場影響下徑向熱擴散系數（高斯制）如下

式中：c0為真空中的光速；me為電子質量；mi=2.5mp為1∶1混合DT燃料的等效離子質量；Le、Li分別為電子和離子的庫倫對數，聚變條件下DT 燃料密度約為1 g/cm3，溫度約10 keV，此時Le、Li分別取7和9[22]；eg為高斯制下的電子電荷；Bg為高斯制下的磁場強度。

采用上述模型，自主編寫了一維集成化數值模擬程序MIST，由此開展預加熱方式的影響研究。MagLIF激光注入后與燃料的相互作用過程包含逆軔致輻射、受激布里淵散射、拉曼散射等非常復雜的作用機理，而本研究的主要目標并非探究激光在等離子體中沉積的具體過程和微觀機理，只關注預加熱后不同的燃料參數對內爆結果的影響，因此從簡化問題出發，假設所有預加熱能量均100%被燃料吸收。

首先通過計算，對比討論預加熱的必要性問題。以ZR 裝置的驅動能力為出發點，考慮如下較典型的MagLIF負載參數模型：金屬鈹（Be）套筒，驅動電流峰值27 MA，上升時間約120 ns（如圖1所示，來自文獻[7]中ZR 裝置95 kV 充電電壓下的電流曲線），套筒外半徑0.3 cm，位型比（套筒半徑與厚度的比值）為6，高度1 cm，燃料為1∶1混合DT，燃料半徑為0.25 cm，初始密度為3 mg/cm3，初始軸向磁場Bz為30 T，在套筒即將向內壓縮時刻通過對燃料溫度賦值的方式進行平均加熱，預加熱溫度為250 eV，網格數60，空間分辨率50μm。為更加清晰地獲得激光預加熱本身的影響，暫不考慮端面損失和Nernst 效應，計算結果如圖2所示。

圖1 ZR 裝置在95 kV 充電電壓下的驅動電流隨時間演化曲線[7]Fig.1 Driving current from ZR facility with charging voltage95 kV[7]

圖2 250 eV 預加熱溫度與無預加熱條件下計算得到的燃料內能和聚變產額隨時間演化曲線Fig.2 Demonstrations of fusion yield and fuel internal energy calculated with 250 eV and no preheat

圖2分別顯示了預加熱溫度為250 eV 和沒有預加熱情況下，由相同初始參數計算得到的燃料內能和聚變產額隨時間演化曲線。從圖2（a）可以看出：250 eV 預加熱情況下，聚變產額為2420 kJ/cm，內能峰值約700 kJ/cm，定義燃料能量增益Q為聚變產額除以峰值內能，則Q=3.5，說明聚變反應較成功。從圖2（b）可以看出，在沒有預加熱的情況下，聚變產額僅為8.5 kJ/cm，尚不及燃料峰值內能的1/8，說明該條件下燃料未能充分發生聚變反應并釋放能量；而且，此時整個燃料的壓縮比高達56，如此高的壓縮比對套筒界面穩定性的維持是極大的挑戰。對比兩種計算結果可以看出，對燃料進行預加熱是MagLIF構型能夠成功的必要條件。

2 預加熱的影響與優化

預加熱過程涉及諸多影響因素。首先考慮預加熱時刻的選擇，從物理過程上分析：如果加載時間過早，會增加端面效應引起的燃料質量損失、溫度降低；加載過晚，則不能最大程度地利用套筒驅動能力、提升壓縮效率，且套筒將軸向磁場壓縮得更高，過于抑制徑向熱傳導，導致軸心區域溫度很高，卻無法向外傳遞，大量外圍燃料處于冷態。因此，最佳時刻應為套筒即將開始向內壓縮時刻。考慮端面損失效應后的計算結果驗證了上述觀點，在此不做詳細展示。

2.1 預加熱溫度優化

預加熱溫度的高低決定了初始加熱效果，其本質上是對外部熱源的能量需求。為簡化問題，認為燃料在套筒即將內爆時刻（約86 ns）被瞬間、均勻地加熱。保持第1節模型中其他參數不變，對預加熱溫度進行參數掃描，分別設定50、100、150、200、250、300和350 eV 7個預加熱溫度進行計算，得到所需的預加熱能量、軸心處燃料峰值溫度、燃料峰值內能、聚變產額及能量增益Q等參數，結果如表1 所示。

表1 不同預加熱溫度下計算得到的內爆結果對比Table 1 Calculated implosion resultswith different preheat temperatures

根據表1的結果，預加熱溫度在50～200 eV 區間時，燃料峰值內能和聚變產額均隨預加熱溫度的升高呈快速上升趨勢，其中聚變產額的上升速度更快，超過200 eV 后，二者的上升速度變緩，甚至隨著預加熱溫度的繼續升高（大于300 eV），聚變產額開始下降，如圖3（a）所示。這是因為預加熱溫度需要綜合考慮負載幾何參數、燃料成分、密度、驅動能力等因素，就本算例而言，高于300 eV 的預加熱溫度會使燃料在遲滯狀態時超出套筒的約束能力，有效聚變反應時間減少，導致聚變產額開始降低。

如果以聚變產額的大小作為判斷依據，那么對于本研究以ZR 裝置驅動能力為目標的算例而言，初始預加熱溫度為300 eV 時最佳，產額最高達2450 kJ/cm。但是，從圖3（a）可以看出，此時聚變產額已進入平臺區域，與預加熱溫度為200、250和350 eV 時的計算結果差別不大，而對應所需的預加熱能量則相差很多（14～24 kJ，受限于建模和計算能力，此處未考慮輻射場）。若綜合考慮燃料的能量增益Q，則初始預加熱溫度為200 eV 時，效果最好，能量增益最大（Q=3.54），如圖3（b）所示，該參數下所需的預加熱能量僅為14 kJ，聚變產額可達2300 kJ/cm，與最高值相差不大（約5%）。

圖3 不同初始預加熱溫度下計算得到的內爆結果對比Fig.3 Demonstrations of implosion results calculated with different preheat temperature

2.2 能量徑向分布影響

均勻、瞬態的預加熱是便于簡化和分析問題的理想情況，與實際情況有所差別。首先預加熱需要經歷一定的過程才能完成（激光加載過程約2 ns），其次加熱后燃料中的溫度分布也不可能是均勻的，因此本研究采用余弦函數描述燃料中各個格點所得到的能量徑向分布

式中：Ei（x）為第i個格點分得的能量，E0為軸心處格點分得的能量，Ri（x）代表第i個格點的位置，Rf為燃料初始半徑。上述余弦函數的設計形式既能盡量模仿激光加熱的實際效果，也能保證在套筒與燃料交界面處自然截斷。對式（12）沿徑向積分，積分結果等于總的預加熱能量，據此可以確定E0的取值。

保持第1節計算模型中其他參數不變，將預加熱方式改為余弦分布，預加熱能量為14 kJ，在1 ns內沉積到半徑為0.25 cm 的DT 燃料中，計算得到滯止時刻燃料溫度和密度沿徑向分布，如圖4所示。可以看出，燃料軸心處溫度很高（近18 keV），周圍燃料溫度則顯著低于軸心。相應的密度分布則恰好相反，總體上形成一個中間熱但密度低、周圍冷但密度高的中空結構（Hollow structure），對聚變反應并不有利。相應的內爆結果如圖5所示。該方式下最終聚變產額為2260 kJ/cm，峰值燃料內能為650 kJ/cm，均低于均勻加熱情形下的內爆結果。

圖4 余弦預加熱方式計算得到的滯止時刻燃料溫度和密度分布曲線Fig. 4 Distributions of fuel temperature and density at stagnation time with cosine preheat

圖5 余弦預加熱方式計算得到的聚變產額與燃料內能演化曲線Fig.5 Demonstrations of fusion product and internal energy calculated with cosine preheat

上述計算中預加熱范圍均為所有燃料區域，下面將考慮更集中地利用能量對部分燃料進行預加熱的情形。從學術探討的角度出發，在余弦加熱的基礎上，分別以能量沉積半徑（rLEH）為0.20、0.15和0.10 cm 注入14 kJ 能量，保持其他計算參數不變，分別計算得到預加熱時刻（87 ns）和遲滯階段溫度分布曲線，如圖6所示。

從圖6可以看出，將能量集中沉積于部分燃料區域后，軸心附近的預加熱溫度顯著提高，在能量沉積半徑為0.20、0.15和0.10 cm 3種情況下分別增加到0.71、1.25和2.75 keV；然而，遲滯階段再次出現前面所述的中空結構，且沿徑向的燃料溫度分布曲線極不光滑。沉積半徑為0.2 cm 時，整個計算過程尚可完成，得到滯止時刻為146.1 ns時燃料溫度的分布，軸心處燃料溫度約30 keV；而沉積半徑為0.15和0.10 cm 兩種情況下，由于軸心處溫度過高，超過列表式狀態方程庫的上限（約35 keV），導致計算過程無法完成，圖6（b）展示了計算最后時刻燃料中相應的溫度分布。

圖6 不同沉積半徑下預加熱和遲滯階段的溫度分布曲線Fig.6 Distributions of preheat and stagnation temperatures with different preheat radius

沉積半徑為0.20 cm 時，得到的聚變產額為2120 kJ/cm，燃料峰值內能為630 kJ/cm，均小于完全加熱（沉積半徑0.25 cm）的計算結果，說明燃料的預加熱溫度梯度對內爆結果有很大影響，應盡量減小徑向溫度差異。

由于軸向磁場壓縮后對徑向熱擴散有較明顯的抑制作用，為進一步驗證中心加熱方式是否有優勢，盡量降低軸向磁場的影響，將初始軸向磁場強度Bz由30 T降低至5 T，分別采用0.25、0.20、0.15和0.10 cm 4種沉積半徑，將14 kJ 的能量通過余弦分布方式注入燃料中，保持模型其他參數不變，計算得到的遲滯階段溫度分布和聚變產額如圖7所示。

從圖7（a）可以看出，降低軸向磁場對于溫度分布的改善有限，遲滯階段燃料中溫度沿徑向的梯度依舊很大，且沉積半徑為0.10和0.15 cm 兩種情況下依舊無法完成計算，溫度上限超出狀態方程數據庫范圍。此外，軸向磁場的降低同時影響了聚變產物α 粒子的能量沉積效率，以沉積半徑0.25 cm 為例，計算得到的聚變產額僅有1950 kJ/cm，相比Bz= 30 T時顯著降低，如圖7（b）所示。上述溫度分布圖中出現了一定程度的不連續點，這主要是由于聚變反應時刻的溫度沿徑向分布梯度很大，現有的網格精度（60 個）不夠高，導致部分區域（如軸心附近）相鄰網格點的溫度差距較大。

圖7 不同沉積半徑下遲滯階段的溫度分布和聚變產額演化曲線（Bz = 5 T）Fig. 7 Distributionsof stagnation temperatureand evolvement of fusion product with different preheat radii (Bz = 5 T)

上述算例均采用了較高的預加熱溫度，為進一步確認中心局部加熱的結果，評估激光能量大小的影響，將預加熱能量降低到現有激光器可達到的水平，使用3 kJ 的能量（Elas，神光Ⅲ原型激光裝置的最大單束輸出能量[25]）通過余弦分布方式注入燃料中，初始軸向磁場仍為5 T，分別采用0.25、0.20、0.15和0.10 cm 4種沉積半徑，保持其他計算參數不變。4個算例都能夠完成計算，計算得到的聚變產額分別是644、893、957和876 kJ/cm，其中沉積半徑為0.15 cm 時得到的產額最高，繪制的預加熱時刻溫度分布和燃料軸心位置溫度隨時間演化曲線如圖8所示。

圖8 不同沉積半徑下預加熱時刻和遲滯階段溫度分布（Bz = 5 T, E las = 3 kJ）Fig.8 Distributionsof preheat and stagnation temperature with different preheat radii(Bz = 5 T, E las = 3 kJ)

從圖8中可以看出：4種沉積半徑下3 kJ 的能量分別將燃料軸心處的溫度加熱到92、148、265和600 eV；隨著套筒的不斷壓縮，滯止時刻軸心處燃料溫度升高至8.9、15.8、20.0和28.5 keV，顯著高于Bz=30 T、Elas=14 kJ 的計算結果，可見軸心區域的燃料被壓縮得更緊了，然而相應的聚變產額卻遠低于后者。兩種情況的最大差別在于聚變狀態不同，在Bz=30 T、Elas=14 kJ 情況下滯止時刻各算例的燃料狀態均遠高于磁化靶點火判據[22]，而在Bz=5 T、Elas=3 kJ 情況下雖然燃料峰值溫度很高，但磁化強度BR卻均未達到點火狀態，這點在圖9中有清晰的展示。

圖 9 不同沉積半徑下磁化強度BR隨時間演化曲線(Bz = 5 T, E las = 3 kJ)Fig.9 Schematic of BR evolving with time with different preheat radii (Bz =5 T, E las= 3 kJ)

綜上所述，預加熱所需的能量與分布受多種條件的制約，需要根據負載幾何參數、燃料密度、驅動能力等多種因素來確定。總的設計原則：通過預加熱階段，讓燃料獲得較高溫度的同時，盡量使溫度沿徑向分布的梯度越平緩越好。在本研究的現有物理模型下，當滯止時刻聚變狀態超過點火判據時，中心局部加熱方式不如整體加熱有優勢；反之，當滯止時刻聚變狀態未達到點火時，則中心局部加熱更有優勢。中心局部加熱方式對于暫時不具備大能量激光器的實驗構型設計非常有幫助，然而加熱半徑設計需要謹慎，能量過于集中時，容易導致激光穿透燃料而燒蝕電極材料。

2.3 注入功率和脈寬影響

進一步考慮在給定能量（如14 kJ）的前提下能量的脈沖寬度和功率參數對內爆結果的影響。假設采用激光作為預加熱模式，其功率隨時間演化呈標準的矩形方波，上升沿和下降沿均為0.1 ns，總能量固定為14 kJ 不變，以86 ns為中心，分別考慮脈寬為1、2、5和10 ns的情況，對應的功率分別為14.0、7.0、2.8和1.4 MJ/μs，功率曲線如圖10所示。保持模型中其他計算參數不變，開展對比計算。

圖10 不同脈寬時預加熱功率曲線Fig.10 Schematic of preheat power with different durations

4種條件下，計算得到預加熱結束時燃料溫度分布如圖11所示。在脈寬為1、2、5和10 ns的條件下：軸心處最高溫度分別達到450、442、430和414 eV，拉長脈寬（如5、10 ns）時預加熱后溫度的徑向梯度有了明顯改善；相應的聚變產額分別為2259、2248、2244和2230 kJ/cm，與2.2節得到的溫度梯度越平緩越好的結論不一致。其原因在于，當脈寬過長時（如10 ns），隨著燃料中心溫度持續升高并向外膨脹，套筒卻向內不斷壓縮，雙重作用下外層燃料的密度被壓得很高，相應的溫度卻沒有顯著提升，部分燃料內能因膨脹做功而損失掉，這點從預加熱結束時燃料獲得的內能（分別為143.5、141.0、136.5和134.2 kJ/cm）可以看出，因此聚變產額才隨著脈寬拉長而降低。基于上述結果，可以認為激光預加熱模式中，激光的脈寬越短越好，從而避免因部分燃料持續升溫向外膨脹而導致總的燃料內能降低。

圖11 不同激光脈寬和功率參數下預加熱時燃料中溫度和密度分布Fig.11 Distributions of fuel temperature and density with different laser power and durations at preheat time

2.4 套筒高度的影響

套筒高度這一參數很重要，在保持其他參數不變的情況下，套筒高度的變化會直接影響以下參數及過程：負載電感、燃料預加熱溫度、端面質量損失、套筒RT不穩定性。較長的套筒有利于降低端面效應帶來的質量損失，但是會增大負載電感和質量，從而降低加載電流，并導致驅動能力弱化，同時還會影響預加熱效果；較短的套筒則可能導致激光在燃料中無法充分沉積，容易燒蝕電極表面引入混雜，并加劇端面損失，另外對加工和裝配精度的要求也更高。一維MIST程序無法考慮套筒RT不穩定性帶來的影響，因此該影響因素不予討論，此外端面損失超出了本研究范圍，將在后續研究中深入討論。

要討論負載高度的影響，首先需建立Z裝置和ZR 裝置的簡化等效電路模型[26–27]，如圖12所示，其中：Voc為裝置絕緣堆處的驅動電壓，一般由實驗測量給出波形曲線；Z0為驅動器的等效電阻，約0.15Ω；L為磁絕緣傳輸線的等效電感，L0為匯流區結構和內磁絕緣傳輸線的等效電感，兩者之和約為10.6 nH；Rloss為由匯流區空間電子流等引起的阻性（Resistive）電流損失項，與本計算的相關度不高，在此予以忽略；Ltarget為負載動態阻抗變化。Ltarget由下式給出

圖 12 簡化后的ZR 裝置的等效電路示意圖[25]Fig.12 Schematic of simplified equivalent circuit of ZR facility[25]

式中：h為套筒高度，R1和R2分別為初始時刻與當前時刻的套筒半徑。

提取文獻[27]中的數據，可以獲得ZR 裝置絕緣堆處的輸出電壓，如圖13（a）所示。采用前文基準負載參數計算得到的電流曲線如圖13（b）所示，峰值電流約26.5 MA，上升時間約120 ns，后續計算均使用該電路參數作為輸入條件。

圖13 ZR 裝置絕緣堆電壓曲線和MIST 程序計算得到的負載電流曲線Fig.13 Voltage curvefrom the vacuum insulator and calculated current curve by MIST code

采用上述電路模型和參數代替原有電流曲線的輸入方式，并保持其他負載參數及預加熱能量14 kJ、脈寬2 ns（85～87 ns）不變，考慮套筒高度分別為0.50、0.75、1.00和1.25 cm 的情況，計算得到的內爆結果對比如表2所示。

表 2不同套筒高度計算得到的內爆結果對比Table 2 Calculated implosion results calculated with different liner heights

從表2中可以看出，隨著套筒高度的增加，預加熱溫度、峰值電流、單位高度的燃料內能和聚變產額等主要參數均呈單調下降趨勢。若以此為判據，則一維程序計算結果顯示套筒高度越小越好，更有利于提升內爆效果；然而從總的聚變產額出發，對于本研究以ZR 驅動能力為目標的算例而言，套筒高度為1.0 cm 時得到的產額最大，達到1614 kJ，故1.0 cm 為最佳的負載設計高度。值得關注的是，在套筒高度為1.0 cm 的情況下計算得到的聚變產額相比第1節直接用電流曲線輸入的結果要小得多，說明計算中所使用的負載參數與裝置驅動能力不匹配，需要進一步優化設計。

3 總結與討論

圍繞MagLIF過程中預加熱效果對聚變放能的影響問題進行了數值模擬研究。計算結果表明：預加熱機制的存在是MagLIF構型能夠成功聚變的必要條件，最佳時間是套筒在電流驅動下即將開始向內壓縮燃料時刻；燃料預加熱的設計原則是通過預加熱階段后讓燃料獲得較高溫度的同時，盡量使溫度沿徑向的梯度越平緩越好；在本研究現有的物理模型下，當滯止時刻聚變狀態超過點火判據時，采用中心局部燃料進行預加熱的方式不如整體加熱有優勢，反之，當滯止時刻聚變狀態未能達到點火時，則中心局部加熱更有優勢；脈寬越短越好，可避免部分燃料持續升溫向外膨脹導致所獲得的燃料內能降低；隨著套筒高度的增加，預加熱溫度、峰值電流、燃料內能和聚變產額等主要參數均呈單調下降趨勢，然而從總的聚變產額出發，對于本研究以ZR 驅動能力為目標的算例而言，套筒的最優高度為1.0 cm；實際操作中需要考慮激光能量沿軸向沉積對電極的燒蝕因素，以及不穩定性發展的影響等。

受計算條件和篇幅限制，本研究仍有不足之處，如計算中忽略了RT 不穩定性和端面損失效應的影響。其中，對于使用金屬鈹套筒的MagLIF典型負載參數而言，位型比（半徑與厚度的比值）通常為6，較厚的套筒以及軸向磁場的引入都對RT不穩定性的發展有較大的抑制[28]，套筒內壁保持較好的一致性，因此在一維數值模擬中暫不考慮。端面效應與燃料加熱是一枚硬幣的兩面，必然伴隨著激光預加熱而同時發生，本著科學的原則，將其分別進行獨立探討是有必要的，它將有助于我們更加專注預加熱自身參數的影響。這些不足將在今后工作中逐步完善。