基于剛柔耦合環模型輪胎均勻性建模與分析

危銀濤，劉 哲，2，魏 勝，蔡志興，路 波

（1.清華大學 車輛與運載學院，汽車安全與節能國家重點試驗室，北京 100084；2.慕尼黑工業大學 機械工程系，車輛系統聲學研究所，慕尼黑 85748；3.山東玲瓏輪胎股份有限公司，山東 招遠 265400）

輪胎在汽車動力學及噪聲、振動與聲振粗糙度（NVH）分析中占有重要地位。隨著人們對車輛行駛速度、安全性、舒適性、操控性能要求的提高，對輪胎動力學響應進行精細化分析也提出了更高要求[1]。輪胎動力學不僅影響整車動力學響應，同時也在防抱死剎車系統（ABS）、車身電子穩定系統（ESP）等汽車電控系統中扮演重要角色。因此，建立一個準確并可快速計算的輪胎動力學模型不僅可以為傳統整車NVH分析過程提供理論基礎，同時也可以更好地推進輪胎及底盤技術的電動化和智能化。

在汽車及輪胎動力學分析中，通常會將輪胎假設為理想的結構。事實上，考慮到輪胎生產所需的多種制造材料的組合以及復雜的工藝流程，輪胎在制造過程中會不可避免地產生結構以及材料分布的缺陷，例如徑向尺寸偏差、質量分布不均衡、胎側剛度不均勻以及帶束層偏歪等[2]。這些非理想的因素，即輪胎的均勻性參數會導致輪胎在穩態滾動狀態下依然可能引起軸力變化，并通過不同的車輛子系統和車身結構傳遞給駕乘人員。這部分由輪胎均勻性引發的振動可能是方向盤抖動、車身振動和部分車內噪聲產生的根本原因。而這些異常振動往往會影響車輛的平順性和駕駛質量，并對車內人員造成干擾。因此討論輪胎均勻性參數所產生的影響具有理論意義和廣泛的應用價值。

如何提高輪胎均勻性一直是國內外輪胎企業關注的核心問題。從20世紀70年代開始一些輪胎廠就開展了相關研究。1974年鄧祿普輪胎公司研究了一批輪胎的一次諧波隨速度的變化規律，重點討論了縱向力與徑向力隨速度變化的相位和幅值關系[3]。1989年費爾斯通輪胎公司利用概率統計的方法對輪胎的一次諧波分布和均勻性參數進行了分析，并對輪胎均勻性的分布曲線進行預測，包括均值和標準差[4]。1990年，普利司通公司并購費爾斯通輪胎公司后，進一步研究了車輪角速度與均勻性參數導致的軸力波動之間的關系[5]。1993年，現代汽車公司也研究了由于輪胎質量分布不均衡導致的方向盤抖動問題[6]。固特異公司利用高速均勻性試驗機對輪胎徑向力和切向力的一階諧波進行了測試[7]。2001年國內的上海輪胎橡膠（集團）股份有限公司采用有限元分析方法對輪胎幾何形狀和材料缺陷引起的徑向力變化進行了預測[8]。2005年，韓泰輪胎公司發表了一系列關于輪胎均勻性研究的論文[9-11]，其考慮了質量不平衡、剛度和幾何不均勻等因素，并分析了輪胎共振對軸力幅值的影響，進而利用試驗數據進行了驗證，最后利用FTire模型進行了仿真數據的對比，同時討論分析了輪胎幾何不均勻造成方向盤抖動的傳遞機理。但是大多數輪胎企業的研究是基于大量輪胎樣本和測試數據進行統計分析，這種分析方法不僅成本高，而且很難實現由均勻性測試分析到輪胎結構優化、生產工藝流程控制以及輪胎動態響應性能的改進。

因此，很多學者都建立了相應的理論物理模型，用以描述輪胎均勻性參數的影響。T.D.Gillespie[12]最初基于大量試驗數據，利用簡化的彈簧-質量系統來解釋輪胎-車輪系統的均勻性對重型卡車駕駛質量的影響。但是由于這種物理模型對輪胎結構采用了過于簡化的假設，因而并不能對輪胎均勻性參數進行很好的描述。基于剛性環的假設，D.S.Stutts等[13-14]解釋了隨著速度的提高，軸頭縱向力的增大速度快于垂向力的現象，并在此基礎上，進一步研究了胎側附加的集中剛度對徑向力波動的影響。D.S.Stutts等[13]同樣采用了剛性環模型，對帶束層質量分布不均及偏心、胎面膠厚度變化進行了分析，并與FTire模型的仿真結果進行了對比。B.L.Dillinger等[15]在D.S.Stutts等工作的基礎上，結合胎側膠的粘彈性模型[16]及縱向力松弛模型[17]，分析了不同速度下質量不均勻、剛度不均勻以及徑向尺寸偏差對切向力和徑向力的影響。M.G.Pottinger[18]總結了質量不均勻對輪胎-輪輞系統的傳遞特性的影響，并提出了由于組件安裝不均勻導致軸力響應的改進方法。雖然輪胎均勻性對輪胎結構設計及整車動力學分析都有重要的影響，但是由于輪胎結構、材料的復雜性，過去大多數研究都集中在使用剛性環模型對輪胎的均勻性進行分析。由于剛性環的變形限制，只能采用非常簡化的模型對均勻性參數進行描述，例如采用一個整體偏心量或采用簡單的函數描述幾何偏差等。這種模型本身的局限性使得現有物理模型只能對各類不均勻參數進行簡單的定性討論，或者通過大量試驗數據進行統計分析。

因此，本工作的目的是建立一個實現分析徑向尺寸偏差引起的輪胎動力學響應的理論模型，用以分析輪胎均勻性參數對軸頭力的影響以及力的傳遞機制。在輪胎環模型[19-20]的基礎上，本研究建立了剛柔耦合環模型，利用柔性環模型討論分析了輪胎與路面之間的接觸機理，從而在模型中引入均勻性參數，利用剛性環模型對輪胎的動力學響應進行描述，并建立柔性環與剛性環的耦合關系，得到完整的輪胎動力學響應的算法及計算流程；進而給出了模型參數的辨識方法以及基于低速均勻性試驗數據的參數優化方法；最后利用提出的輪胎均勻性分析模型，對徑向尺寸偏差導致的軸頭徑向力波動進行了時域和頻域分析，并與試驗數據進行對比和分析，顯示了仿真結果與實測結果良好的一致性，從而驗證了提出的理論模型與仿真算法的有效性及準確性。

1 輪胎剛柔耦合環模型

長期以來如何對輪胎進行物理建模，簡潔而不失準確性地描述其物理特性都是汽車動力學分析中的關鍵問題。自20世紀60年代起，將充氣輪胎簡化為環模型的方法得到了廣泛應用。環模型在保留對輪胎基本結構描述的同時，保證了簡潔的數學求解方法。為了分析車輪平面內由于均勻性參數導致的動態響應，將輪胎等效為二維環模型[19-20]。以往關于輪胎環模型的研究可分為剛性環模型和柔性環模型兩類。剛性環模型自由度少、計算速度快，但是對輪胎-路面接觸的描述存在缺陷，需要通過建立等效路面的方法實現接觸力的計算。柔性環模型對輪胎物理特性的描述更接近實際結構，并且仿真可實現的頻率范圍可以達到120 Hz，但是模型復雜程度較高。

為了實現對輪胎均勻性參數的分析，要求模型具有能夠描述輪胎結構及材料屬性的能力。因此提出輪胎剛柔耦合環模型，首先利用柔性環模型對輪胎的變形及接觸特性進行理論建模，得到輪胎穩態變形及接觸力的計算方法；同時利用剛性環模型對輪胎的整體運動及動態響應進行描述；最終建立這兩種環模型之間的耦合關系，給出完整的剛柔耦合環模型的理論表達與計算流程，為實現輪胎均勻性參數分析奠定理論基礎。

1.1 二維柔性環模型

二維柔性環模型主要由3部分組成：輪胎的帶束層結構及胎體部分等效為一個二維可變形的圓環，它可以在車輪平面內產生彎曲變形；胎側部分及充氣效應假設為一個有阻尼的彈性基礎，空氣對輪胎內表面施加均勻的壓力分布，并采用徑向和周向分布彈簧（彈性系數分別為ku，kv）模擬彈性基礎的彈性特性，在模型中引入徑向和周向阻尼系數（cu，cv）來描述胎側的阻尼效應；輪輞假設為剛體。將輪胎轉化為彈性基礎上的二維可變形環的方法如圖1所示。

圖1 輪胎二維環模型形成示意

考慮到輪胎的高速滾動，需要建立合適的坐標系來描述輪胎變形，車輪中心選為坐標系原點。環上任一點的坐標在非旋轉坐標系中可以用極坐標系（r，θ）來表示，或者在旋轉坐標系（r，φ）中進行描述。環上任一點的位移由徑向位移（u）和周向位移（v）表示，它們也是環中面上的位移的函數。文獻[21]中給出了用中面切向位移（vb）表示的環的運動方程。假設胎體和帶束層被等效為一個周向不可伸長的環，中面上任一點的徑向位移ub和vb滿足下式：

將環的切向位移用模態展開，得到

式中，t為時間，n為態展開的階次。

在廣義坐標[an（t），bn（t）]下，運動方程可簡化為線性二階微分方程組：

式中，ζn和ηn分別為與徑向和切向集中力以及力矩對應的廣義力。矩陣元素表示如下：

式中，ρ為環的密度；A為環的截面積；Ω為輪胎的旋轉速度；E為環的等效彈性模量；I為環的截面慣性矩；R為平均半徑；為環中由胎壓p0和旋轉效應導致的初始應力；W為帶束層寬度，即環的等效寬度。

在非旋轉坐標系下，當φ0處施加一組徑向和切向集中力以及力矩（qu，qv，qβ），可采用待定系數法求得胎體的穩態響應：

式中，Qu，Qv及Qβ表示作用在胎體上的一組徑向、切向集中力及力矩的幅值。

對環進行離散化，通過對各點響應進行疊加即得到柔性環的整體位移。徑向位移和切向位移的表達式為

式中系數表示如下：

式（5）可使用矩陣形式表達：

式中，U為胎體的位移矩陣，T為柔度矩陣，Q為廣義力矩陣。

給定作用在胎體上的廣義力（qu，qv，qβ）后，胎體中面位移（ub，vb）可由式（5）計算得到，進而求得柔性環中任一點的位移。

1.2 接觸力

由于胎體與路面沒有直接接觸，因此胎體實際產生的變形是未知的，故不能直接利用式（5）計算胎體位移。當胎面與地面接觸時，胎體與胎面膠的位移應滿足幾何相容性條件[12]。在確定的垂向位移（下沉量）下，胎體截面轉角（β）表示為

柔性環與路面接觸后的曲率變化可由變形前后的法線偏角（α）來表示，并且法線偏角同時會影響胎面膠的切向變形。在給定的下沉量下，胎面膠的法向和切向變形（us，vs）及在任意坐標φ處的α可由下式表示：

式中，Rl為輪胎的動力半徑，即路面到輪胎軸頭的高度；Re為輪胎的有效滾動半徑。

計算得到胎面位移后，作用在胎面上的法向力（Fns）和切向力（Fts）可由下式給出：

式中，kns和kts分別為單位長度胎面膠的法向剛度和切向剛度，h0為胎面膠變形前的厚度。

利用坐標變換方式，可以得到作用在胎體上的廣義力以及接觸區域內的法向壓力（σ）和剪切力（τ）。

采用胎體小變形假設，將式（8）和（9）代入式（10）并轉化為矩陣形式，胎體變形的線性化方程可表示為

式中：F為與胎面膠變形相關的廣義力矩陣，其中參數與U無關；H為與胎體位移相關的系數矩陣，其中包含胎面膠剛度系數與胎體位移的耦合項。

得到下沉量后，便可采用逐次迭代的方法得到精確的接觸力，并將其作為剛性環模型的激勵輸入，從而計算輪胎的瞬態響應。

1.3 剛性環模型

如果完整地建立一個考慮輪胎彈性變形和旋轉效應的動力學模型，會使描述運動的偏微分方程過于復雜而難以求解。因此，當輪胎在車輪平面內的振動頻率在100 Hz以內，即在輪胎的一階模態范圍內時，輪胎的胎體及帶束層保持為剛性環，做整體運動，從而可以近似描述輪胎的瞬態響應。

剛性環包括胎面、帶束層、胎體以及部分胎側。剛性環與輪輞之間由三自由度（縱向、垂向、周向旋轉）彈簧連接，并考慮胎側的阻尼效應，如圖2所示。

圖2 剛性環模型示意

考慮剛性環平面內的3個自由度（xb，zb，θb）以及輪輞平面內的3個自由度（xa，za，θa），當車輪速度恒定時，輪輞縱向自由度（xa）可以由車輛速度確定。

平面內剛性環及輪輞的運動方程為

式中，ma和mb分別為輪輞和剛性環的質量，kbx和cbx分別為胎側縱向等效剛度及阻尼系數，kbz和cbz分別為胎側垂向等效剛度及阻尼系數，kbθ和cbθ分別為胎側周向等效剛度及阻尼系數，Fcx和Fcz分別為輪胎的縱向和垂向接觸力，Iay和Iby分別為輪輞和剛性環的轉動慣量，Fz0為輪胎的垂向負荷，May和Mby分別為輪輞和剛性環繞y軸的轉矩。

剛性環的模型參數可以通過一階模態試驗或Cleat試驗結果進行辨識。然而，模態試驗得到的固有頻率相對Cleat試驗結果偏高[22]。產生差異的原因之一是兩種試驗采用的邊界條件不同，即模態試驗無負荷，而Cleat試驗中不可避免地引入了滾動負荷的影響。另一種可能的解釋是胎面膠在滾動過程中與路面發生接觸從而出現動態硬化效應，而這在模態試驗中不會發生。同時柔性環和剛性環兩組不同的剛度參數也反映出輪胎動靜剛度的差異。

1.4 剛柔耦合環模型

由于剛性環模型在輪胎-路面接觸機理的表達上存在理論缺陷，因此希望構建柔性環和剛性環之間的耦合關系，提出剛柔耦合環模型用以描述輪胎的動態響應。該模型中柔性環模型用于計算輪胎的穩態變形與接觸力，而輪胎的動態響應由剛性環計算，如圖3所示。

圖3 剛柔耦合環模型示意

將剛性環方程與柔性環方程進行聯立整合，從而得到完整的計算模型。將柔性環計算得到的接觸力作為剛性環的激勵，然后凍結瞬時環的位置，計算剛性環的整體位移和下一時間步的接觸力，直至完成所有時間步的迭代。剛柔耦合環模型仿真流程如圖4所示。

圖4 剛柔耦合環模型仿真流程

1.5 不均勻性參數

結構和幾何上的不均勻性會直接影響接觸力分布，進而影響輪胎的動力學響應[23-24]。在柔性環模型中對幾何尺寸偏差進行描述，并對其導致的接觸力分布進行計算。由于幾何不均勻在系統中產生了附加的廣義力，會傳遞到剛性環模型中，進而影響輪胎的動力學響應。本研究考慮了輪胎制造過程中可能產生的幾何不均勻性因素，即中心徑向幾何尺寸偏差（Radial Run-out of the Centerpoint，RROC），在后面仿真結果部分將討論其對軸頭徑向力波動（Radial Force Variation，RFV）的具體影響。

2 模型參數辨識

為了驗證提出的剛柔耦合環模型，選取了某品牌205/55R16子午線輪胎進行均勻性建模仿真及驗證。剛柔耦合環模型的參數可分為結構幾何參數和物理參數，其中一部分工程設計參數為：環等效寬度 0.172 m，環等效厚度 0.018 m，有效密度 1.6 Mg·m-3，平均半徑 0.32 m，充氣壓力 0.21 MPa。這些參數也可以從有限元模型中獲得。

由于輪胎結構簡化為環模型，因此模型中物理參數的確定為仿真過程中的一個關鍵問題。物理參數可分為柔性環模型參數及剛性環模型參數兩部分。在利用柔性環模型計算穩態響應時，使用模態疊加法求得胎體的穩態變形，進而利用胎面膠與胎體之間的幾何協調關系求得接觸力。在進行參數辨識時，采用輪胎模態試驗所得到的各階徑向固有頻率及一階周向轉動固有頻率進行初步參數辨識。這部分工作在文獻[20]中進行了推導和試驗驗證。對于剛性環模型中需要辨識的參數，利用模態試驗得到的一階固有頻率，對等效剛度和阻尼系數進行辨識。

此外，針對目標輪胎，本研究采用遺傳算法，選取一組RROC及對應的RFV試驗數據對模型參數進行優化。基于模態試驗辨識得到的參數作為初始輸入，利用遺傳算法逐次迭代優化模型參數，使仿真得到的RFV與試驗數據的誤差最小化。優化后的柔性環模型物理參數為：面內彎曲剛度1.69N·m-2，胎側徑向等效剛度 7.17×105N·m-2，胎側周向等效剛度 1.73×105N·m-2，胎側徑向阻尼 226.89 N·s·m-2，胎側周向阻尼 206.67 N·s·m-2，胎面膠初始等效厚度 0.015 6 m，胎面膠法向剛度 4.01×105N·m-1，胎面膠切向剛度 4.16×105N·m-1；剛性環模型參數為：剛性環等效質量 6.90 kg，彈簧縱向等效剛度 1.84×106N·m-1，彈簧垂向等效剛度 0.90×105N·m-1，彈簧周向等效剛度 3.23×103N·rad-1，縱向阻尼系數4.51×102N·s·m-1，垂向阻尼系數 1.32×103N·s·m-1，周向阻尼系數 19.36 N·s·rad-1。用于辨識的RROC數據及使用優化模型參數計算得到的RFV仿真結果如圖5所示。

圖5 利用遺傳算法優化模型參數前后仿真結果與試驗數據的對比

3 仿真結果及試驗驗證

基于上述剛柔耦合環模型及優化后模型參數，對目標輪胎在幾何不均勻影響下的動態響應進行計算，從而分析和預測中心徑向幾何尺寸偏差對徑向力波動的影響。

3.1 接地印痕內壓力分布

在建立剛柔耦合環模型過程中，接觸力是將柔性環和剛性環模型耦合在一起的關鍵，因此接觸模型能否合理地表征輪胎-路面接觸機理成為整個理論模型的核心。利用柔性環的穩態接觸算法，對不同負荷下輪胎的接觸力分布進行計算，以驗證算法的合理性。

不考慮幾何不均勻性并且假設路面為理想平面，不同垂向負荷下輪胎接地印痕內壓力分布計算結果如圖6所示。

從圖6可以看出，柔性環模型可以很好地描述輪胎在不同負荷下的壓力分布。在較小垂向負荷下，輪胎的接觸壓力呈拋物線分布；當垂向負荷逐漸增大時，接地印痕區中心部分有發生屈曲的趨勢，導致垂向接觸壓力呈馬鞍形分布。這說明柔性環模型可以很好地體現輪胎穩態接觸時的物理特征，同時也驗證了柔性環模型作為穩態變形及輪胎-路面接觸模型的理論依據和合理性。

圖6 不同垂向負荷下輪胎的接觸力分布

3.2 考慮RROC的接觸力波動

輪胎的幾何不均勻主要導致接觸力的變化。模型中假設胎面膠厚度變化是產生RROC的原因，這可以提高計算效率。為了將試驗數據與柔性環的網格對應，需要對原始數據進行插值處理，進而在接觸模型中引入其影響。一組輪胎外表面RROC的原始測試數據及插值后的曲線如圖7（a）所示。為了模擬低速均勻性試驗機的測試工況，固定軸頭高度，轉速設置為60 r·min-1。利用柔性環模型計算RROC對穩態垂向接觸力的影響，結果如圖7（b）所示。

對比RROC測試數據及其對應的垂向接觸力波動，可以看出雖然RROC的幅值波動僅為0.3 mm，但是穩態垂向接觸力波動達到了79 N。這說明輪胎的均勻性參數在平順性及動力學仿真中是一個需要考慮的重要因素。圖7（b）可以體現出輪胎對RROC的垂向濾波特性，濾波作用包括彈性材料和幾何結構（接地印痕長度）的影響。

圖7 由輪胎外表面中心點RROC引起的輪胎穩態垂向接觸力波動

3.3 RROC導致的軸頭RFV

利用剛柔耦合環模型，將RROC作為模型均勻性參數輸入，低速均勻性試驗機上實測得到的RFV與仿真結果的對比如圖8所示，數據采集時間為1 s，即對應輪胎滾動一周。

圖8 由RROC導致的RFV變化結果

從圖8可以看出，在低速時，RROC是影響軸頭RFV的主要因素。從仿真結果與試驗數據的對比可以發現，剛柔耦合環模型可以很好地描述RFV的幅值及峰值位置，但是仿真結果仍存在一些誤差。其中一個原因是本研究建立的剛柔耦合環模型僅考慮面內特性，因此無法考慮輪胎寬度方向上的尺寸不均勻，例如胎肩部位的尺寸波動和錐度效應等，而其仍會對RFV產生影響。另一個導致仿真誤差的原因是模型中未考慮剛度不均勻所產生的影響，包括輪胎各部分結構搭接時產生的接頭部位剛度分布不均及胎側剛度分布不均等影響。

3.4 仿真結果的頻域分析及驗證

前面給出了RFV的時域分析結果，下面對RFV進行頻域分析。由于試驗臺架的限制，測試數據進行了12階濾波，因此在對仿真數據進行頻域分析時，利用8階低通Butterworth濾波器進行濾波，截止頻率為12 Hz。圖7給出的RROC對應的RFV的單邊幅值譜的試驗和仿真結果如圖9所示，RFV的功率譜的試驗和仿真結果如圖10所示。

圖9 RFV的單邊幅值譜的試驗和仿真結果

圖10 RFV的功率譜的試驗和仿真結果

從圖9和10可以看出，本研究建立的仿真模型可以很好地反映出低速時由RROC導致的軸頭徑向力波動的頻率信息。仿真結果能夠準確預測單邊幅值譜和功率譜的峰值位置，并且較為準確地預測各階頻率分量的大小。這說明基于剛柔耦合環模型預測由RROC導致的軸頭徑向力波動的方法具有較高的精度和可靠性。

4 結論

本研究建立了基于剛柔耦合環模型的完整輪胎均勻性理論模型，推導了柔性環模型的理論公式，得到了給定垂向負荷下柔性環的接觸力分布算法，通過胎面膠厚度變化描述了輪胎RROC的影響，并通過引入剛性環和柔性環之間的耦合關系，建立了完整的剛柔耦合環模型仿真算法；進而給出了模型參數的辨識方法以及利用一組RROC及其對應RFV測試數據的參數優化算法，得到了模型參數的辨識結果；最后利用完整的模型參數進行低速均勻性仿真分析，并與臺架試驗數據進行時域和頻域分析對比，驗證了仿真結果與試驗數據之間很好的一致性，進而證實了本研究建立的剛柔耦合環模型的準確性及可靠性。

本研究建立的輪胎剛柔耦合環模型不僅可以有效地建立輪胎結構、材料以及物理參數與輪胎均勻性之間的關系，同時也可以更普遍地應用于整車平順性及動力學分析中。

對于低速時的RFV，其頻率信息集中在低頻段，輪胎表現出的特性類似于輪胎低速通過不平路面時的包容特性。在本研究中，這種對軸頭力的擾動不再來源于不平路面，而是來自于輪胎結構本身的尺寸偏差，低速時并不會激發輪胎的一階模態，即輪胎的整體運動。這也說明，僅利用低速下的均勻性數據無法實現對輪胎高速均勻性的預測，并且在高速時，質量不均勻的影響更加顯著。因此，在對輪胎進行完整的均勻性分析時，需要在不同速度下進行測試。

致謝：本研究第二作者感謝中國留學基金委員會（CSC）的支持。