切比雪夫多項式的極性在定積分計算中的應用

趙云云,王勇強

(1.湖州市第一中學,浙江 湖州 313000；2.湖州市教育科學研究中心,浙江 湖州 313000)

0 引 言

積分的思想最早源于公元前200多年，希臘數學家阿基米德用積分的思想求出了球的體積公式.17世紀，開普勒、牛頓、萊布尼茲等著名數學家共同創立了初步的積分學.19世紀后，以柯西、威爾斯特拉斯等為代表的數學家對積分理論進行了深入探究，使積分學有了更堅實的極限理論基礎.積分的出現不僅影響了數學的發展，還在很大程度上推動了物理、化學、生物、天文、工程、經濟等學科的發展，積分的應用也越來越廣泛.為拓展中學生的知識面，提高他們的數學應用能力，高中《數學》的選修內容(2-2)引入積分學知識，介紹了定積分的概念和經典計算公式——牛頓-萊布尼茲公式[1].

但在實際計算中，常有學生反饋以下情形不能用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分：①僅僅利用普通的方法很難求得被積函數的原函數；②被積函數的原函數不是簡單常見的初等函數；③被積函數沒有適當的數學表示形式，其函數關系是通過圖表的形式給出的.因此，作為教學補充，建立有效的數值方法來計算定積分是非常必要的.

關于切比雪夫多項式和數值積分方法的相關研究已較深入和廣泛.文獻[2]給出了切比雪夫多項式的定義、性質及相關應用；肖筱南利用插值多項式構造了各類插值型求積公式及其截斷誤差和代數精度[3]；呂書龍等研究了與切比雪夫多項式類似的Legendre多項式，以及Legendre多項式n個零點的計算和求積系數的求解，使得Gauss型求積公式能夠更加簡便地應用，也使利用Legendre-Gauss型公式計算所得的積分值與真實值的誤差得到了很好的控制[4]；肖蒙等介紹了切比雪夫多項式的定義和性質及其在多項式插值中算法的實現[5]；向瑩將切比雪夫多項式及第二類切比雪夫多項式的零點垂直映射到了單位圓周上[6]；楊平霞等介紹了一類復合插值型求積公式的構造方法[7]；王偉等研究階數不變的插值型求積公式的代數精度可以取到的值，并給出了選取對應求積節點的具體方法[8]；徐曉芳等基于切比雪夫正交多項式零點插值誤差的極小化性質,提出了非線性方程求根的一種新方法[9].但目前鮮少見文獻探討切比雪夫多項式的極性與數值積分方法的有效結合.本文主要研究切比雪夫多項式的性質在數值積分中的應用，探討如何利用切比雪夫多項式的極性建立數值積分公式，使誤差達到極小化.

符號說明：文中Ln表示以[a,b]上的n+1個等距節點為插值節點計算所得的積分值；In表示以[a,b]上的n+1個切比雪夫多項式的零點為插值節點計算所得的積分值；A(f(x))表示被積函數f(x)在[a,b]上積分所得的精確值；E(Ln)表示以[a,b]上的n+1個等距節點為插值節點計算所得的積分值與精確值的誤差絕對值；E(In)表示以[a,b]上的n+1個切比雪夫多項式的零點為插值節點計算所得的積分值與精確值的誤差絕對值;QNI表示采用普通插值型求積公式求解積分時，以切比雪夫多項式的零點為插值節點的積分方法；CQNI表示采用復化求積公式求解積分時，以切比雪夫多項式的零點為插值節點的積分方法.

1 預備知識

定義1[2]稱多項式

Tn(x)=cos(narccosx)(-1≤x≤1,n=0,1,2,…)

為n次的切比雪夫多項式(第一類).

性質2(遞推關系)[2]相鄰的三個切比雪夫多項式具有三項遞推關系式：

性質3[2]Tn(x)在區間[-1,1]上有n個不同的零點：

顯然，Tn(x)在其中的零點都是實的、互異的，且全部在[-1,1]內.

性質4[2]Tn(x)在區間[-1,1]上有n+1個不同的極值點:

定義2[3]假設區間[a,b]上的n+1個節點為：

(1)

稱為插值型求積公式.

若在每個小區間[xt-1,xt]上應用式(1)，則

(2)

稱為復化求積公式.

2 切比雪夫多項式的極性與數值求積

定理1稱為切比雪夫多項式的極性，這種極性也是切比雪夫多項式的重要性質.

下面借助切比雪夫多項式的極性建立可使偏差極小化的數值求積公式.

定理2[3]設x0,x1,…,xn是區間[-1,1]上的n+1個互異節點，函數f(x)在[-1,1]上具有n+1階連續導數f(n+1)(x)，在對f(x)用插值型求積公式(1)求積分時，截斷誤差的表達式為:

3 數值算法與數值實驗

根據第二節的研究結果，建立如下求積算法：

(a)輸入定義在區間[a,b]上的函數f(x)；

(c)將n+1個切比雪夫多項式的零點作為函數f(x)的插值節點，利用求積公式(1)或復化求積公式(2)求解,得出f(x)在區間[a,b]上的積分值.

表1 QNI法和等距節點插值型積分公式的精度比較f(x)=ex、A(ex)=e-1

表2 QNI法和等距節點插值型積分公式的精度比較f(x)=cos(x)、A(cosx)=sin(1)

表3 QNI法和等距節點插值型積分公式的精度比較

例2利用復化求積公式，分別用CQNI法和等距節點插值型積分公式比較例1中3個積分值的精度.

表4 CQNI法和復化等距節點插值積分公式的精度比較f(x)=ex、A(ex)=e-1

表5 CQNI法和復化等距節點插值積分公式的精度比較f(x)=cos(x)、A(cosx)=sin(1)

表6 CQNI法和復化等距節點插值積分公式的精度比較

綜合例1和例2可知，無論是用插值求積公式還是復化求積公式，用QNI法或CQNI法計算所得的結果都更為精確，且利用復化求積公式求出的結果比插值型求積公式效果更好.

4 結 論

本文應用切比雪夫多項式的極性，將切比雪夫多項式的零點作為拉格朗日插值多項式的插值節點，將相應的拉格朗日插值多項式Ln(x)作為f(x)的近似函數，推導出插值型求積公式.該算法可使插值型求積公式的截斷誤差達到最小，并在此基礎上得到復化求積公式.數值算例也證明了所建算法的有效性和優越性.