在小學幾何教學中滲透“變中有不變”的思想方法

詹錦秀

（福建師范大學第二附屬小學，福建 福州 350015）

幾何圖形的數量關系和空間形式是具體事物的高度抽象。為了幫助學生理解和接受數學的抽象，小學幾何的知識點分散在各個年級，教材的編排也是逐步抽象的螺旋式遞升難度。但是，分散的知識點容易造成學生對幾何基本性質認知的割裂與理解的片面，在題型變換中無所適從，無法將幾何知識從點到線、從線到面的形成思維體系，更談不上將知識應用于實際問題的解決。這就要求教師在教學中，逐步滲透“變中有不變”的思想方法。在學習數學或用數學解決問題的過程中，會面對千變萬化的對象，在這些變化中找到不變的性質和規律，發現數學的本質，這就是變中有不變的思想。［1］這有助于學生在小學幾何學習中掌握不變的幾何基本性質，將變化的情境假設服務于基本性質的掌握。本文就概念的比較、知識的聯系及問題的解決三個方面，闡述如何在小學幾何教學中滲透“變中有不變”的思想方法。

一、概念比較，抓住本質特征

在小學幾何教學中，有很多基本圖形的概念以及由概念推導出來的基本性質，這些概念和基本性質都是“變中有不變”教學思想中的“不變”量。在概念、規律、方法歸納教學中進行變與不變的對比，使得隱含的思想外顯。在變與不變中揭示概念，概念的本質特征更容易讓學生抓住。［2］教師要通過概念規律的比較，從變化的現象、情境中尋找不變的量，再以不變量為主導，引導學生比較辨析各種概念及基本性質，從而更清晰地理解概念的本質特征。

例如，五年級上冊《梯形的認識》，本課的重點是對梯形概念的理解。教學中，要引導學生比較、辨析，從眾多變化的量中找到不變的量，清晰地抓住梯形概念的本質特征。

第一步：初步感知梯形。多媒體出示實物圖片，如梯子、跳馬臺和堤壩的橫切面，讓學生先感知生活中的梯形，建立實物表象；再逐步抽象出梯形的幾何圖形，從實物表象到幾何抽象，初步建立梯形的概念。

第二步：認識梯形特征。教師提出問題：仔細觀察下面三個梯形（圖1），總結它們的共同特征。與其他四邊形相比較，它們之間的相同點和不同點分別是什么？讓學生帶著問題，觀察梯形，從邊、角等方面闡述特點。

圖1

生1：梯形都有4 個角。

生2：梯形的邊可以不相等。

生3：梯形都有4 條邊，是四邊形。

生4：梯形不僅有4條邊，還有一組對邊是平行的。

第三步：比較、辨析。從眾多可變的信息中，通過比較、辨析，發現唯一不變的特征。

師：根據你們的發現，找找下面圖形（圖2）中誰是梯形？

圖2

生5：①號、②號是梯形，③號不是；

生6：③號不是，雖然有一組對邊平行，但不是四邊形。

設計意圖：設置的問題讓學生有目的地在比較、辨析中尋找答案，激發學生探究未知事物的欲望，同時有意識地滲透梯形與其他四邊形之間的關系，為整體建構四邊形的知識網絡關系做好鋪墊。

第四步：概括定義。

師：再來看看它是梯形嗎？（圖3）

圖3

生：是，只要滿足一組對邊平行的四邊形就是梯形。

通過梯形與一般四邊形及其他多邊形的對比，讓學生透過圖形的大小、平面放置方向等變化的量，深入理解和把握“只有一組對邊平行的四邊形”這個不變的基本性質，就能夠正確地認識和理解梯形概念的本質，在判斷梯形的過程中，就不會困惑于變化的情境，幫助學生更加深刻有效地掌握知識并提高思維能力。

二、知識聯系，系統把握重難點

“轉化”這一方法經常應用于小學幾何“空間與圖形”的教學過程中。轉化就是讓學生在數學學習過程中，懂得將新知識通過觀察與分析等思維活動，轉化到舊知識中進行解決。［3］通過知識點間的相互聯系，不斷滲透“變中有不變”的思想方法，幫助學生克服教材中各知識點分散分布帶來的認知割裂、理解片面等缺陷，系統地把握一類知識的本質特征。當學生面對同樣問題的各種提法時，就會有意識地按照“變中有不變”的思想方法來觀察、思考問題，透過變化的情境，抓住不變的本質特征，尋求解決問題的方法，從而深刻、牢固地掌握這一類知識的要點。

例如，在復習五年級平面圖形面積時，教師可結合變中有不變的教學思想，把小學階段學過的直線平面圖形進行一次大串聯。多媒體出示圖4：

師：我把上底向右平移兩格后，梯形面積會和原來一樣嗎？

生：會一樣，因為上下底的和不變高不變。

師：現在把上底減少一格，下底增加一格，梯形變化成什么圖形？面積變了嗎？

生：還是梯形。面積不會變，因為上下底的和沒有改變，高也沒變。

師：如果設定面積不變，還有可能變成什么圖形？

生：三角形。上底減少到0，下底可以增加到6。

師：與原來梯形相比，什么變了？什么沒變？

生：仍然是上下底之和沒變，高沒變，所以面積也不會變。

生：我會用公式來證明，（0+6）×4÷2=12。

圖4

設計意圖：從觀察梯形上、下底邊的變化，到驗證梯形的面積是否有改變，再到梯形的上底減少到0，下底增加，這一系列的動態變化，讓學生感受到上、下底的邊長在變化，但推理過程不變，公式也不變，面積也不變。抓住“什么變了”“什么沒變”來探究，才能發現隱藏的規律。

生1：除了三角形，還可以變成平行四邊形。只要保證上下底之和不變都是6 格，高也不變，面積自然也不會變。上底為3，下底為3，所以（3+3）×4÷2=12。

生2：也可以變化成長方形。長為3，寬為4，所以（3+3）×4÷2=12。

師：請同學們觀察，在計算方法上有什么地方相同？

生3：雖然上下底的長度不一樣，但上下底之和不變，高不變，面積不變。

圖形轉化后，教師要基于各個知識點相互之間的聯系，結合“變中有不變”思想展開教學，引導學生發現、總結幾何圖形周長、面積及體積的計算方法等教學重難點，主動把新知識的學習轉化到舊知識的系統中，從而形成新的數學能力。

三、問題解決，加強實踐應用

事物是變化著的，而“變化”中又蘊含著“聯系”和“不變”的因素，從錯綜復雜的“變化”中發現這種聯系和不變，往往是解決問題的突破口。“變中有不變”思想是一種概括性和實用性都很強的思想方法，教師要有意識地引導學生用“變中有不變”思想去發現問題、解決問題，逐步滲透“變中有不變”思想。小學幾何圖形中的等面積、等體積變化這一類的問題，也可以通過“變中有不變”的思想方法來解決。

例如，六年級下冊求不規則圓柱的體積時，教材呈現1 瓶未裝滿水的瓶子，裝水部分是圓柱體，空氣部分是不規則體積，如何求得瓶子的體積呢？顯然，用水的體積+空氣的體積=瓶子的體積，水的體積是圓柱體，可空氣的體積該如何求呢？很多學生想到可以把瓶子倒置，把空氣的體積轉化成圓柱的體積。為什么可以轉化呢？從表面上看，空氣的體積變了，可再仔細研究，并不是空氣的體積變了，而是空氣部分的形狀發生改變，它的體積并沒有發生改變。學生由此發現其“不變”的本質意義，形狀變了，體積不變。在變化中尋找不變的規律，將復雜的問題簡單化。

綜上所述，教師對小學幾何各種基本圖形概念的發生及演變要熟練掌握，并通過概念規律的比較、知識點間的相互聯系及問題解決過程中的轉化與計量單位的統一約定，不斷滲透“變中有不變”的思想方法，引導學生在學習及解決問題的過程中，以不變的量為突破口，透過紛繁復雜的變化，在概念比較中辨析各知識點基本特征間的“同”與“不同”，在各知識點間的相互聯系中有意識地歸納總結，并在問題解決的實踐過程中不斷提煉，形成一個完整的知識體系。