基于優化VMD的懸索橋撓度溫度效應分離方法

鄭彩紅，申 強，鄧思勉，何小兵

(1.重慶交通大學 土木工工程學院，重慶 400074;2.山區橋梁與隧道國家重點實驗室，重慶 400074; 3.交通運輸部公路科學研究院，北京 100088)

0 引言

橋梁狀態監測系統中實時撓度數據的溫度效應分離是監測信息處理的一個關鍵問題，國內外學者對橋梁撓度成分分離進行了大量的研究[1-3]。Moyo等[4]利用小波變換對大跨度橋梁時間序列信號進行處理，以識別監測數據中的異常信號；李明等[5]根據信號的頻譜特征利用經驗模態分解(empirical mode decomposition，EMD)提取主梁撓度中的溫度效應，通過建立溫度與撓度的SVR模型計算撓度溫度效應；劉綱等[6]使用粒子群算法，采用自適應調整濾波器的日溫差信號和日溫差響應信號的通帶、阻帶頻率帶寬方式消除溫度效應；劉夏平等[7]采用LS-SVM建立以溫度作為輸入、撓度溫度效應作為輸出的非線性模型，分離出動態撓度中的溫度效應。上述研究主要是以神經網絡、支持向量機等機器算法和小波分析、Hilbert-Huang變換等信號分析方法來進行處理，其中小波分析需要考慮小波基的選擇，自適應性差，不能做到在時域和頻域上同時精確；EMD分解的自適應性強，但是存在端點效應及模態混疊現象[8]，同時還會產生虛假模態分量；EEMD在EMD基礎上添加高斯白噪聲以減輕EMD的模態混疊，但是添加噪聲后信號會失真，正交性下降[9]。

Dragomiretskiy等[10]提出的變分模態分解(Variational Mode Decomposition，VMD)方法，其自適應性強，能夠有效避免模態混疊現象，對采樣和噪聲都有較強的魯棒性，已經被學者們用于信號去噪以及故障診斷等領域[11-13]，但在實時數據處理方面仍存在端點效應，影響處理效果。本研究提出3段交叉分解VMD端點效應改進方法，利用中心頻率變化特征對VMD參數K，α進行優化，消除VMD分解所存在的端點效應；采用上述優化VMD算法對橋梁實測撓度進行信號分離，結合各個模態的中心頻率和溫度變化12 h和24 h的周期特性判定溫度效應模態，將分離出的撓度溫度效應和溫度進行關聯性分析，驗證優化VMD算法運用于橋梁監測信息分離的有效性，實現橋梁實測撓度溫度效應的精確分離。

1 VMD原理及優化算法

1.1 VMD原理

VMD方法摒棄了EMD中模態分量的循環篩選過程，將固有模態函數重新定義為幅頻調制信號，其表達式如下[14]：

uk(t)=Dk(t)cos(φk(t))，

(1)

式中，uk(t)為第k個本征模態函數；Dk(t)為uk(t) 的瞬時幅值；ωk(t)為uk(t)的瞬時頻率：φk(t)為uk(t)相位。

(2)

首先，將信號分解過程轉移到變分框架，并通過不斷迭代求其最佳值來確定每個模態分量的中心頻率和帶寬[15]。然后，使用逆傅立葉變換將各個分量返回到時域。最后，將原始信號的頻域分解為K個頻率帶寬較窄的分量。變分問題的構造模型可以描述如下[16]：

(3)

式中，{uk}={u1,…,uk}代表VMD分解得到的K個IMF分量； {ωk}={ω1,…,ωk}表示各IMF分量的頻率中心；δ(t)為單位沖激函數。

引入增廣拉格朗日函數，以得到變分問題的最優解，多次迭代變分后使K個模態分量的帶寬之和最小，從而得到VMD算法的最終結果[17-18]。具體步驟如下：

(2)n=n+1，執行整個循環；

(4)

(5)

(4)k=k+1，重復步驟(3)，直至k=K；

1.2 VMD算法端點效應消除

對于連續性信號，采用時間窗口在時間序列上滑動交叉進行VMD分解，原理上利用重疊部分分離效果較好段替換中間段端點部分，達到消除端點效應的作用。其具體構造步驟如下：

(1)分別對時間序列信號X1n={x1,x2,…,xn}，X2n={x1,x2,…,xn}，X3n={x1,x2,…,xn}進行VMD分解，其中X1n，X2n，X3n在時間上的排序如圖1所示，圖中橢圓區為對X2n進行VMD分解時出現端點效應的部位。

圖1 信號時間分布Fig.1 Distribution of signals with time

(2)假設對目標信號X2n進行VMD分解后，信號兩端各有m個數據點出現端點效應，分別用X1n，X3n經VMD分解后同部位的數據進行替換。具體公式如下：

(6)

式中，IMFk為對目標信號X2n各模態分量去端點效應后的第k個IMF分量；u1k(t1)，u2k(t2)，u3k(t3)分別是對X1n，X2n，X3n進行VMD分解后所獲得的第k個本征模態函數。

(3)考慮到目標信號數據點數的不同是否會引起m值的變化，選擇不同的采樣長度n，對其進行VMD分解，得到不同數據長度下不同頻率模態出現端點效應的m值，見表1。

表1 不同n值對應的m

觀察表1發現，隨著數據長度n的增長，m值沒有出現大幅度變化；隨著頻率的增加，m值逐漸減小；總體m值一直穩定在10～80之間，說明利用VMD進行分解時，端點效應主要出現在數據長度為10～80的兩端。為了盡可能地保證數據分離精度，故擬定m值為100。

1.3 優化VMD算法的計算流程

消除端點效應的優化VMD算法的具體步驟如下：

(1)用VMD算法進行信號分解時，不同的分解模態個數K和懲罰因子α會對分解的效果產生影響，從而影響后續的分析結果。所以在進行VMD分解之前，首先根據中心頻率的變化特征對關鍵參數K，α值進行優化。

(2)將優化后的參數代入3段不同時間段數據的VMD計算流程，結束循環后，每段數據被分成K個IMF分量。

(3)中間段數據各模態分量前后的100個數據點由前后時間段同模態重疊部分數據所替代，達到去除端點效應的目的。

(4)根據實際研究要求，選擇合適的數據長度作為時間窗口，以同樣的數據長度作為滑動步長，重復步驟(1)～(3)，達到實時數據的在線處理。

2 基于優化VMD的仿真與實測信號處理

2.1 3段交叉分解優化VMD仿真信號處理

對仿真信號進行3段交叉VMD分解，以驗證前文所提出優化算法的有效性。定義一個合成信號x(t)如式(7)所示，采樣頻率fs=1 000 Hz，采樣時間為1 s，在x(t)基礎上加上信噪比為10的高斯白噪聲，構成仿真信號x(t)(圖2)。分別采用VMD，EMD對x(t)進行分解，結果如圖3～圖4所示。

(7)

圖2 仿真信號組成Fig.2 Simulation signal composition

圖3 VMD分解圖Fig.3 VMD decomposition

圖4 EMD分解Fig.4 EMD decomposition

圖3表明，VMD將輸入信號分解成4個模態分量，其中IMF2，IMF3，IMF4分別對應于合成信號中的x1，x2，x3，噪聲被分解成IMF1和殘差。設各個模態分量IMFi+1=ui(i=1，2，3)，把VMD分解的各模態分量u1，u2，u3以及u(u=u1+u2+u3)與輸入信號中的x1，x2，x3及x作對比。對比圖5，u1，u2，u3以及u分別與x1，x2，x3及x在幅值以及頻率大小上都相差不大，VMD分解有效避免了模態混疊現象，但是在分解信號的兩端依然存在端點效應。觀察圖4，EMD將輸入信號分解成7個模態分量，分量IMF2，IMF3，IMF4對應原信號中的x1，x2，x3，其余分量為虛假模態，由于噪聲干擾，各模態分量被大量污染，分量之間出現模態混疊現象，兩端有明顯端點效應，信號分離效果較差。

圖5 仿真信號與各模態對比Fig.5 Comparison of simulated signals with modes

綜上，VMD分解雖然改善了EMD分解過程中的模態混疊現象，但仍存在端點效應。利用優化VMD算法對仿真信號進行處理，結果如圖6所示。端點效應基本被消除，信號分離結果良好，驗證了優化VMD算法對抑制端點效應的有效性。

圖6 改進VMD各模態分量對比Fig.6 Comparison of modal components of improved VMD

2.2 橋梁監測數據分析2.2.1 工程背景

某長江大橋為鋼箱梁單跨懸索橋，跨徑布置為(250+880+250)m，兩主纜中心距39.2 m；主塔為門式框架結構，基礎采用分離式承臺；兩岸錨碇均為重力式錨碇，明挖擴大基礎；加勁梁采用扁平流線型封閉鋼箱梁，總寬42 m，梁高3.5 m。

本研究擬采用優化VMD算法對背景橋梁關鍵部位的實測撓度數據進行分離，驗證該方法用于撓度與溫度關聯性分析的有效性。由于環境溫度只在跨中截面有一個溫濕度測點，樣本數太少，不足以說明問題。觀察結構溫度與環境溫度的時程曲線圖，見圖7，結構溫度與環境溫度的變化趨勢基本一致。計算其相關性，環境溫度與頂板溫度相關系數達到97.01%，與底板溫度相關系數達到99.09%，故決定采用結構溫度來代替環境溫度，對懸索橋撓度與溫度進行關聯性分析。

圖7 溫度時程曲線Fig.7 Temperature-time curves

本研究共選取了3個關鍵截面的測點，分別為1/4，1/2，3/4截面；撓度共選取了6個關鍵截面的測點，分別為1/8，1/4，3/8，1/2，5/8，3/4截面，溫度和撓度測點布置如圖8所示。

圖8 測點布置Fig.8 Layout of measuring points

2.2.2 VMD算法的參數優化

VMD算法本質上相當于自適應維納濾波器組，當分解模態個數K較少時，頻率相近的模態會疊加在一起，即出現“模態混疊”現象；當模態個數較多時，會出現虛假分量，并且這些虛假模態還會影響到真實模態的分解效果。懲罰因子α是決定了信號重構的保真度，α越小，數據保真度越高，但是受噪聲影響也越大；相反α越大，有用信號的完整度就得不到保證。因此，在VMD分解之前，需進行參數優化，具體步驟如下：

(1)結合小波分析對原數據進行去噪，以信噪比SNR、均方根誤差RMSE判定去噪效果[19]；

(2)計算不同K，α值下的中心頻率；

(3)根據中心頻率變化特征選擇合適的K，α值。

擬選取跨中截面下游測點ND42一月份的實測撓度數據進行VMD分解，不同模態個數K值、不同懲罰因子α值下的中心頻率如表2所示。

表2 不同K值、α值對應的中心頻率

從表中可以發現，隨著模態個數的增加，頻率帶寬逐漸變窄，高階頻率分解得越來越精細，前3階頻率隨著模態個數的增加數值基本穩定。1階頻率為2.4，對應低頻趨勢項；2階頻率為28.5，接近1個月30 d，對應于24 h溫度變化；3階頻率為55.5，接近2階頻率的兩倍，對應于12 h溫度變化；其他更高階頻率對應與汽車、風荷載等隨機荷載。鋼箱梁懸索橋實測撓度數據溫度效應低頻特性顯著，K選取需滿足低頻信息的有效分離。實測撓度數據預處理后的FFT變換(圖9)表明，懸索橋低階頻率與文章中所分析的3階低頻模態頻率相符合(表2)。因此，K值的取值只需滿足前3階低頻模態的分離即可。表2顯示，當模態數大于等于5時，前3階模態中心頻率逐漸穩定，推薦K值至少取5。如關注高頻信息，K值可取更大(需根據研究需求，進行進一步優化)。

圖10 不同K的中心頻率變化曲線Fig.10 Central frequency curves corresponding to different K values

圖9 撓度FFT頻譜圖Fig.9 FFT spectrum of deflection

懲罰因子α用于噪聲抑制。當α過小，噪聲未被有效抑制，會導致中心頻率的波動(見表2，α=1 000)；當α過大，更多有用信息被抑制，同樣會出現波動(見表2，α=2 000)，需要進行反復試算優化。優化表明，當α=1 500，高階中心頻率規律顯著，噪聲抑制效果好。同時，分別計算不同α取值下第3階模態和第4階模態之間的中心頻率之差，發現α=1 500時中心頻率之差最大，頻率帶寬更窄，滿足前3階分離要求，故推薦α=1 500。

綜上所述，上述推薦的K與α取值滿足鋼箱梁懸索橋實測撓度溫度效應分離(低頻效應)。α=1 500時，隨著模態個數的增加，中心頻率的變化曲線見圖10，從圖中也可看出，模態個數越大，曲線變化越平緩，高階頻率分解得越精細，可見優化VMD算法可能也有利于后面對高頻信息的分析，本研究不做過多探討。α=1 500、K=5的中心頻率變化曲線見圖11，各分離模態的中心頻率變化曲線獨立，未出現相交情況，分離效果可以得到保證。

圖11 中心頻率的變化曲線Fig.11 Central frequency change curves

2.2.3 實測撓度數據的各成分分離

為驗證本方法在實際應用中的有效性，采集背景橋梁實時監測撓度和溫度3個月的數據，利用優化VMD對橋梁的各撓度成分進行分離。采集時間段為2019年1月1日00:00:00至2019年4月1日00:00:00，采樣間隔為10 min/次。撓度和溫度每一個月的數據各形成一組樣本，撓度和溫度分別有3組樣本。溫度每組樣本中包含3個截面12個溫度傳感器的數據，撓度每組樣本中包含6個截面12個傳感器的數據。運用優化VMD算法對各測點30 d的撓度信號進行分離，去端點效應后的分離結果如圖12所示。

如圖所示，原始撓度信號分離成5個IMF分量以及一個殘差項，其中殘差項是高頻噪聲，IMF1和IMF2為平穩高頻信息，應是汽車荷載或其他隨機荷載引起；IMF3和IMF4所對應的周期分別是12 h和24 h，結合前文的中心頻率可以判斷IMF3和IMF4都是由溫度引起的，即溫度效應，IMF5為由長期溫度引起的趨勢項。為了進一步證明所分離結果的準確性，分別提取分量IMF3，IMF4，IMF5以及它們的組合IMF45(IMF45=IMF4+IMF5)，IMF345(IMF345(=IMF3+IMF4+IMF5)與所對應的同時段的頂板溫度進行對比，求其相關系數，進而判斷其相關性。經計算對比，只有將3個模態分量組合起來其相關系數最高，各截面溫度與撓度分離信號相關系數見表3，撓度分離信號與溫度對比圖見圖13。

圖12 實測撓度數據VMD分解圖Fig.12 VMD decomposition diagram of measured deflection data

其中，Cov(X，Y)為X與Y的協方差，Var[X]為X的方差，Var[Y]為Y的方差。

表3中，各測點分離結果與溫度的相關系數基本都在90%～99.51%之間，觀察圖13，也可以說明分離效果良好，基本印證前面所提出的判斷，即IMF3～IMF5均是由溫度引起的撓度。在表中有幾處測點的分離數據與溫度的相關系數低于90%，可能是由于傳感器故障或者計算誤差造成。

表3 撓度分離信號與溫度相關系數

圖13 撓度數據分離結果與溫度對比Fig.13 Comparison of separated deflection data and temperatures

2.2.4 同截面實測撓度分離溫度效應對比

由于只取了1/4，1/2，3/4截面的溫度數據，故1/8，3/8，5/8截面的溫度效應分離準確性由同截面上下游兩處測點的分離結果來進行判定，因為同截面的兩側點處于對稱位置上，理論上應該處于同一溫度場，兩側點的溫度效應應該相同[20]，將1/8，3/8，5/8截面兩側點處分離出的溫度效應進行對比，其相關系數見表4，撓度分離信號對比見圖14。觀察表4和圖14，可得出結論：同截面兩側測點實測撓度溫度效應相關系數均達到98%以上，接近100%，對比圖中，兩側撓度溫度效應線型基本相似，可以說明優化VMD分離效果良好。

表4 同截面撓度分離信號相關系數

圖14 同截面兩側撓度數據分離結果對比Fig.14 Comparison of separated deflection data on both sides of the same section

懸索橋實測撓度數據的分離結果證明：鋼箱梁懸索橋溫度撓度效應非常顯著，長期溫度荷載作用下的橋梁結構響應大于活載效應，活載作用下的結構動態響應及結構損傷信息極易被“淹沒”，橋梁健康監測信息處理研究中進行溫度效應分離對評價結構的健康狀況評價至關重要。優化VMD分解方法適用于鋼箱梁懸索橋撓度實時數據溫度效應分離，識別活載效應及其損傷狀況，并且可以用于撓度溫度效應的趨勢預測。

3 結論

采用本研究提出的優化VMD方法對某長江大橋實測撓度數據進行了分離，對懸索橋主梁撓度與結構溫度進行了關聯性分析，主要結論如下：

(1)VMD信號分離減輕了EMD和EEMD分解信號所存在的模態混疊問題，研究得到了不同數據長度下VMD分解出現端點效應的m值，并利用3段交叉分解對其進行消除。

(2)對改進3段交叉分解VMD方法，采用中心頻率進行參數優化，成功實現不同頻率信號的分離，可用于實時數據的處理。

(3)以某懸索橋為研究背景，進行了實測數據分離，得到了撓度溫度效應，發現溫度產生的撓度比隨機荷載產生的撓度要大2個數量級，并對其進行撓度-溫度相關性分析，驗證了論文所提出的方法能夠用來分離信號，反映各響應與各因素之間的關聯性。

(4)在對VMD算法進行參數優化時，發現隨著模態數的增加，高頻信息被分離得更加精細，是否能把VMD算法運用到由汽車等隨機荷載引起的高頻信息中，還有待進一步的研究。