新型混合柔性鉸鏈的設計計算與參數優化

何濤 李志鵬 李成 王傳禮 張文標

摘 要：為滿足微納驅動技術快速發展對大柔度柔性鉸鏈的迫切需求，在傳統對稱切口柔性鉸鏈的基礎上，提出了一類基于擺線和橢圓混合切口的新型混合柔性鉸鏈及其優化設計方法。首先，根據材料力學懸臂梁彎曲變形和拉伸變形理論，推導了轉動柔度和拉伸柔度的計算公式，考慮彎曲變形的應力集中現象，推導了最大應力的計算公式，通過有限元仿真驗證了計算公式的正確性。然后，討論了結構參數對轉動柔度、拉伸柔度和最大應力的影響，研究表明，轉動柔度和拉伸柔度隨參數的變化具有一致性，都與彈性模量、寬度和最小厚度成正比，與拱高參數成反比;最大應力隨寬度、最小厚度和拱高參數的增大而減小。最后，以結構參數為優化設計變量，以柔度比為優化目標函數，考慮幾何約束、強度約束和外部載荷，建立了新型混合柔性鉸鏈的優化設計模型，并通過實例分析，驗證了新型混合柔性鉸鏈的優越性及優化設計方法的有效性。

關鍵詞：柔性鉸鏈;轉動柔度;拉伸柔度;應力分析;優化設計

中圖分類號： TP215文獻標志碼：A

文章編號：1672-1098（2021）02-0029-07

收稿日期：2020-10-11

基金項目：安徽省自然科學基金資助項目（2008085QE216）;安徽省高校自然科學研究基金資助項目（KJ2018A0078）;江蘇省礦山機電裝備重點實驗室開放基金資助項目（JSKL-MMEE-2018-4）;安徽省學術和技術帶頭人科研活動經費資助項目（2019D215）

作者簡介：何濤（1987-），男，安徽六安人，講師，博士，碩士生導師，研究方向：流體傳動與控制及表面織構減磨等領域。

Design Calculation andParameterOptimization ofNewHybridFlexureHinge

HE Tao1，2，3，LI Zhipeng1，3，LI Cheng1，3，WANG Chuanli1，2，3，ZHANG Wenbiao1，3

（1.??? School of Mechanical Engineering， Anhui University of Science and Technology， Huainan Anhui232001， China;2. Jiangsu Key Laboratory of Mine Mechanical and Electrical Equipment， China University of Mining and Technology， XuzhouJiangsu221116， China;3. Anhui Key Laboratory of mine intelligent equipment and technology， Anhui University of Science and Technology，Huainan Anhui232001， China）

Abstract：In order to meet the urgent needs of the rapid development of micro - nano drive technology for the large flexibility and flexure hinge， based on the traditional symmetric notch flexure hinge， a new type of hybrid flexure hinge based on cycloid and elliptic mixed notches and its optimal design method were presented. Firstly， according to the theory of bending deformation and tensile deformation of cantilever beam in mechanics of materials， the calculation formulas of rotational compliance and tensile compliance were derived. With the consideration of the stress concentration phenomenon of bending deformation， the calculation formula of maximum stress was derived. The correctness of the calculation formula was verified by finite element simulation. Then， the influence of structural parameters on rotational compliance， tensile compliance and maximum stress was discussed. The results showed that the rotational compliance and tensile compliance were consistent with the change of parameters， proportional to elastic modulus， width and minimum thickness and inversely proportional to the parameters of arch height. The maximum stress decreased with the increase of width， minimum thickness and arch height. Finally， taking the structural parameters as the optimization design variables， the compliance ratio as the optimization objective function， the optimization design model of the new hybrid flexure hinge was established with the consideration of geometric constraints， strength constraints and external loads. Through the case analysis， the advantages of the new hybrid flexure hinge and the effectiveness of the optimization design method was verified.

Key words：flexure hinge; rotational compliance; tensile compliance; stress analysis; optimal design

柔性鉸鏈通過彈性變形，能繞其回轉中心在有限角度范圍內產生回轉運動，具有位移分辨率高、傳動精度高、結構緊湊等優點，且避免了剛性鉸鏈的摩擦、磨損、潤滑等諸多問題，已經在航空航海、精密儀器、生物工程、微納機械等諸多領域得到廣泛的應用。文獻[1]設計了基于柔性鉸鏈的三維海流傳感器，可以測量海洋上升流產生的微牛級升力。文獻[2]設計了基于圓弧柔性鉸鏈的微夾鉗，用以實現微納米尺度下的精準操作。文獻[3]通過對柔性鉸鏈作動機理的分析，提出運用大行程柔性鉸鏈的高精度大行程并聯定位平臺。柔性鉸鏈是柔性機構最重要的單元，其結構往往決定整個柔性機構的性能好壞，因此，高性能柔性鉸鏈的設計仍是柔性機構開發的重要部分。

就柔性鉸鏈的分類而言，根據工作維度不同，可分為單軸、雙軸和多軸柔性鉸鏈，單軸僅有一個自由度，適用于平面運動，而雙軸和多軸柔性鉸鏈適用于空間三維的運動。根據切口輪廓的不同，又可以分為圓弧型、橢圓型、直角型、拋物線型、擺線型等[4-6]不同形式的柔性鉸鏈。除了上述對稱切口以外，還存在著混合柔性鉸鏈，如直圓拋物線柔性鉸鏈、雙曲線導角柔性鉸鏈等。混合柔性鉸鏈集成了不同鉸鏈的優勢，從而在回轉能力或應力水平等方面具有明顯的優勢，尤其在大行程柔順機構、精密測量和精密驅動等領域應用前景廣泛[7-8]。如文獻[9]將混合柔性鉸鏈應用于高精度往復摩擦試驗機中，提高了試驗機的測量精度和疲勞壽命。

本文基于橢圓鉸鏈和擺線鉸鏈，設計了一種基于二者混合切口的新型混合柔性鉸鏈，利用材料力學的彎曲變形和拉伸變形理論推導了轉動柔度和拉伸柔度的計算公式，并且考慮到彎曲變形下產生的應力的集中現象，推導了最大應力的計算公式?？紤]幾何約束、強度約束和外部載荷，建立了柔性鉸鏈通用的優化設計模型，為柔性鉸鏈的設計與優化提供了新的思路。

1 柔度與應力計算

1.1 柔性鉸鏈的轉動柔度

由圖1為橢圓擺線混合柔性鉸鏈的幾何結構示意圖，其幾何參數為寬度b，任意截面厚度h，最小厚度t，橢圓長半軸m，橢圓短半軸n，擺線拱高2r，鉸鏈長度l。以回轉中心為基準點，兩側弧線在x軸投影長度相同，故幾何結構存在如下關系：l=2m=2πr。

如圖1建立直角坐標系，根據材料力學的懸臂梁彎曲理論，角變形φ可以表示為

φ=dwdx=∫MEI（x）dx（1）

式中：w為撓度，m;E為材料的彈性模量，MPa;I為轉動慣量，mm4。

對擺線段采用參數化后再積分，以θ為積分變量，則有x=r（θ-sinθ），y=r（1-cosθ），dx=r（1-cosθ）dθ，對橢圓段采用橢圓離心角積分，以φ為積分變量，則x=mcosφ，y=nsinφ，dx=mcosφdφ，代入式（1）整理得

φ=12MEb∫π0r（1-cosθ）（t+2r+2rcosθ）3dθ+

∫π/20mcosφ（t+2n-2ncosφ）3dφ（2）

為了使積分結果的形式更為簡潔，取中間變量s=2r/t，中間變量β=t/（2n）+1，利用MATLAB對式（2）求解積分，結果為

φ=3M2Ebr2πs3（3s+2）2（2s+1）3/2+12MEbf（3）

f=m8n33β（β2-1）5/2arctanβ+1β2-1+2β2+12β（β2-1）2

則柔性鉸鏈的轉動柔度的計算公式為

Cφ=φM=32Ebr2πs3（3s+2）2（2s+1）3/2+12Ebf（4）

1.2 柔性鉸鏈的拉伸柔度

柔性鉸鏈在受Fx的拉壓作用下，會產生拉伸或者壓縮變形，根據材料力學的胡克定律

ΔxFx=LEA（5）

式中：Δx為伸長量，mm;Fx為沿x方向的拉壓力，N;L為桿件原長度，mm;A為橫截面面積，mm2。

根據微積分理論，伸長量Δl可以看做是無數微元段變形量的累計，則沿x軸的線位移可以表示為積分形式

Δx=FxE∫l01A1+1A2dx（6）

采用參數化積分，中間變量同上，整理得

Δx=FEb∫π/20（1-cosθ）（1+1/s+cosθ）dθ+∫π/20cosφ（β-cosφ）3dφ（7）

利用MATLAB求解式（7）的積分得

Δx=FEbπ（（2s+1）-1）2+m2n2ββ2-1arctanβ+1β2-1-π2（8）

因此，柔性鉸鏈拉伸柔度Cx的計算公式為

Cx=ΔxFx=1Ebπ（（2s+1）-1）2+m2n2ββ2-1arctanβ+1β2-1-π2（9）

1.3 柔性鉸鏈的最大應力

橢圓擺線混合柔性鉸鏈彎曲變形時會產生彎曲應力，以擺線端為固定端，在擺線弧的底部與水平面相切處發生截面的突變，因此最大應力可能發生在相切部位的最外層。設應力集中系數為k，根據材料力學中純彎曲理論可以得到最大應力計算式為

σmax=k·MWz=kMh2b/6=6kMh2b（10）

集中應力系數k的經驗公式為[10]

k=ξ+0.253ξ+0.097（11）

式中：ξ為無量綱參數，且ξ=ρ/t，ρ為曲率半徑，mm;t為最小厚度，mm。

擺線任意一點處的曲率K用以下公式計算

K=14rsinθ2（12）

所以在最大應力處的曲率半徑ρ=1/K=4r，最大應力計算公式為

σmax=6Mt2b4r/t+0.2534r/t+0.097（13）

2 數值模擬

采用ANSYS19.0進行有限元仿真，為降低計算量，材料均設置為鈹青銅，其彈性模量E=110GPa，寬度b均設為2mm，受力Fx=1N，M=1N·m。選擇6組不同的結構參數。圖2為以第一組參數建立的有限元模型。轉動柔度、拉伸柔度和最大應力的仿真結果與解析值比較如表1所示。

在公式推導中采取了一系列假設，如忽略了鉸鏈以外的變形、微元之間的耦合形變、剪切和扭轉變形的影響等通過比較表1中的相對誤差可以看出，在多組尺寸參數下，轉動柔度的最大誤差在7%以內，拉伸柔度的最大誤差在5%以內，最大應力的誤差在4%以內，驗證了本文提出的柔性鉸鏈相關計算公式的正確性。

3 分析與討論

3.1 結構參數對柔度的影響

柔性鉸鏈的結構參數與其柔度性能密切相關，根據式（4）轉動柔度和式（10）拉伸柔度計算公式，可以看出，柔度主要與彈性模量、寬度、拱高參數、橢圓短半軸和最小厚度有關，彈性模量由材料屬性決定，這里重點討論結構參數對柔度的影響。改動任意一個結構參數值，固定其他參數不變，可以得到兩項柔度隨任意一個參數的變化規律，結果如圖3～圖6所示。

從圖3～圖6可以看出，轉動柔度與拉伸柔度隨參數的變化趨勢具有相似性，二者都隨著最小厚度、寬度和橢圓短半軸的增大呈非線性減小，而隨拱高參數的增大呈線性增大，但變化速率是不相同的，這為參數優化提供了基礎。

3.2 結構參數對最大應力的影響

柔性鉸鏈常應用于微位移放大機構、柔性夾鉗等，工作時往往為重復性的變形運動，應力的大小將成為疲勞失效的重要因素。從式（14）可以看出，最大應力的大小主要與外力矩、最小厚度、拱高參數和寬度相關，利用MATLAB繪制雙因素三維曲面圖，分析任意兩項參數隨最大應力的影響關系如圖7～圖8所示。

從圖7可以看出，最大應力隨寬度和最小厚度的增大而呈非線性減小趨勢，從圖8可以看出，最大應力隨著受力力矩的增大呈線性增大趨勢，隨拱高參數的增大而減小，且變化趨勢較為緩慢。

4 優化設計

柔性鉸鏈的機械性能由其結構參數以及材料屬性決定，不同的參數組合往往導致柔性鉸鏈的性能具有差異性，為獲得高性能的柔性鉸鏈，優化設計則必不可少。下文建立了柔性鉸鏈普適性的優化設計模型，通過給定結構參數和工作載荷的范圍，就可以得到合理的優化結果。

4.1 設計變量和目標函數的建立

根據與柔性鉸鏈柔度相關的結構參數為最小厚度、橢圓短半軸、寬度和拱高參數，因此設計變量X為

X=[x1，x2，x3，x4]T=[t，b，r，n]T（14）

柔性鉸鏈通過柔性單元的彎曲變形傳遞運動、力或能量，轉動柔度Cφ是工作方向的柔度，因此越大越好，而對于拉伸柔度Cx，這不是工作方向的柔度，因此越小越好。為量化二者的關系，設柔度比[11]λ=Cx/Cφ，柔度比λ反映的是柔性鉸鏈主要輸出位移形式的靈敏度，柔度比λ越大，則該柔性鉸鏈的輸出位移形式中軸向位移的比重越大;反之，柔性鉸鏈則主要輸出旋轉角位移。因此以柔度比最小為優化目標函數

G（X）=min（Cx/Cφ）（15）

4.2 約束條件

對一般工程問題，尺寸參數應根據設計要求在一定范圍內選用，即尺寸參數應滿足上下限的范圍約束

xil≤xi≤xiu（16）

橢圓段的長半軸應大于短半軸，根據長半軸與拱高參數的關系滿足m=πr，那么有

πx3≥x4（17）

柔性鉸鏈需要達到彈性變形的要求，并使推導的柔度方程具有較小的誤差，切深和最小厚度需要滿足[12]

0.1x3≤x1≤1.6x3（18）

在力矩或力作用下，柔性鉸鏈產生彈性變形，為保證柔性鉸鏈的最大應力處不發生破壞，應滿足

σmax=k·MWz≤[σ]（19）

在設計柔性鉸鏈時，對其承載范圍進行預估，即工作中的實際載荷的大小也應滿足上下限的范圍約束

Mil≤M≤Miu（20）

綜上，柔性鉸鏈的優化模型可以表示為

X=[x1，x2，x3，x4）]T=[t，b，r，n]TG（X）=min（Cx/Cφ）

xil≤xi≤xiu

πx3≥x4

0.1x3≤x1≤1.6x3

σmax=6Mx21x24x3/x1+0.2534x3/x1+0.097≤[σ]

Mil≤M≤Miu（21）

4.3 實例分析

給定尺寸參數和載荷的約束范圍（尺寸單位為mm，載荷單位為N·m）：

XiL=[0.2，2，0.6，2];XiU=[1，5，5，10];0.01≤M≤0.05。

本例選取鈹青銅作為柔性鉸鏈的材料，其許用應力[σ]=0.276GPa。采用NNA（neural network algorithm）約束優化算法[13]進行優化，該算法基于人工神經網絡及其算子的復雜結構從而獲得優化解，在約束優化領域具有較高的表現和效率。

在MATLAB環境下運行得到最優解的參數組合為： X*=[0.472 4，5，0.688 7，2.019 5]， 尋優過程如圖9所示。 由于優化后結構的最大應力已經接近于屈服強度， 依據經驗就近圓整，選取X0=[0.5，5，0.7，2]作為經驗設計參數，與優化得到的參數進行性能比較，比較結果如表2所示。

從表2可以看出，優化后的柔性鉸鏈具有較小的柔度比，這表明優化后的橢圓擺線混合柔性鉸鏈轉動柔度比拉伸柔度的比重更大，這對大行程柔性運放機構的設計是有利的。同時，就單一柔度指標而言，優化后結構的轉動柔度和拉伸柔度均高于經驗設計，這表明在優化過程中兩項柔度都在提高，但轉動柔度的增幅更大，導致了柔度比的降低，優化設計的結果是合理的，同時這一方法也同樣適用于其他工作條件下的優化。

5 結論

設計了一種新型混合柔性鉸鏈，推導了轉動柔度、拉伸柔度和最大應力的計算公式，通過有限元仿真驗證了計算公式的正確性。討論了結構參數對轉動柔度、拉伸柔度和最大應力的影響關系?？紤]尺寸、強度約束條件和工作載荷范圍，以柔度比為優化目標函數，建立了具有普適性的優化設計模型，并給出了具體實例的優化分析，結果表明，優化后的橢圓擺線混合柔性鉸鏈具有更好的機械性能。

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（責任編輯：李 麗）