矩陣的初等變換及其應用

顧江永

【摘要】矩陣的初等變換在代數學中具有重要的地位，本文給出了運用初等變換求解方程組的基礎解系、特征值、多項式的最大公因式和Jordan標準形相似變換矩陣等方法，這些方法具有直觀、簡捷、有效等特點.

【關鍵詞】初等變換;基礎解系;最大公因式;相似變換矩陣

【基金項目】2019江蘇省高校教學研究一般項目（2019SJA1997）

一、引 言

矩陣的初等變換包括矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換，矩陣的初等行（列）變換有三種形式[1]：（1）交換兩行（列）;（2）任一行（列）的k倍（k≠0）;（3）任一行（列）的k倍加到另一行（列）.在代數學中，矩陣的初等變換有著非常重要且廣泛的應用，它常被應用于行列式的計算、方程組以及矩陣方程的求解、向量線性關系的判定、求矩陣的秩以及逆、λ-矩陣的不變因子和矩陣的Jordan標準形等.張家寶給出了初等變換求逆的幾種方法[2];石擎天等研究了初等變換求解方程組的特殊方法[3];于莉琦等介紹了初等變換在行列式、矩陣和方程組中的應用[4].本文給出了矩陣的初等變換求解方程組的基礎解系、最大公因式和Jordan標準形的相似變換矩陣等方法及應用.

二、預備知識

【參考文獻】

[1]王萼芳，石生明.高等代數（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019：5.

[2]張家寶.淺談求逆矩陣的幾種方法[J].數學學習與研究，2020（10）：4-5.

[3]石擎天，黃坤陽.線性方程組求解及應用[J].教育教學論壇，2020（12）：325-327.

[4]于莉琦，高恒嵩.初等變換概述[J].數學學習與研究，2019（06）：116.

[5]徐仲，陸全，等.高等代數考研教案（第2版）[M].西安：西北工業大學出版社，2009.

[6]盧博，田雙亮，等.高等代數思想方法及應用[M].北京：科學出版社，2017.

[7]朱廣化.關于《相似變換矩陣的簡單求法》的改進[J].數學通報，1994（11）：44-46.