H-(p,r)-η不變凸多目標規劃及其最優性條件

牛 歡，高曉艷

(西安科技大學 理學院，陜西 西安 710600)

0 引言

多目標規劃是數學規劃的一個分支，多目標最優化思想最早是在1896年由法國經濟學家V.Pareto提出來的。多目標規劃在很多實際問題中，例如經濟、管理、軍事、科學和工程設計等領域有著廣泛應用。凸函數是現代數學中最廣泛使用的概念之一，鑒于其在數學規劃理論與應用上的重要性，有許多研究都致力于推廣這些概念以擴大其應用范圍。文獻[1-3]研究了弧式連通函數和(p,r)-不變凸函數，這是本文的重要思想來源。文獻[4-9]研究了各種廣義不變凸函數以及各類廣義凸性假設下的若干解的最優性條件。文獻[10-15]研究了各類凸函數的對偶型。文獻[16-18]研究了一些解決多目標規劃的其他方法。文獻[19-20]給出了多目標規劃的兩種實際應用。在此前提下，本文研究了一類新的不變凸函數，期望對更多實際問題提供理論支持。

本文是在前人對凸函數的推廣基礎上，利用弧式連通的梯度和(p,r)-不變凸函數，提出了一類新的凸函數概念，即H-(p,r)-η不變凸函數，以及相關一系列函數。在H-(p,r)-η不變廣義凸性假設下，利用數學分析及反證法等方法，證明了多目標規劃的解是弱有效解的若干最優性充分條件。

1 預備知識及函數定義

類似地，可以定義x1

記I=(1,1,…,1)T∈Rn。

定義1[2]設集合X?Rn，如果對于每對點x1,x2∈X，都存在一個定義在單位區間[0,1]?R上的，取值為X中向量的連續函數Hx1,x2(·)，滿足：

Hx1,x2(0)=x1，Hx1,x2(1)=x2。

稱X為弧式連通集，簡記為AC，將Hx1,x2(·)稱為連結x1,x2的弧。

定義2[1]設集合X?Rn，如果對于每對點x1,x2∈X，存在不恒為零的向量函數α(x1,x2):X×X→X，使得定義在區間[0，1]上的連續向量函數Hx1,x2(·)，滿足:

Hx1,x2(λ)=x1+λα(x1,x2)，λ∈[0,1]，

仍在X中，稱X為廣義弧式連通集，簡記為GAC，稱Hx1,x2(·)為由x1生成的弧。

易見在GAC中，必有Hx1,x2(0)=x1，選取α(x1,x2)=x2-x1，必有Hx1,x2(1)=x2，由此可知，AC必是GAC。

定義3[1]假定X?Rn是一個GAC，f是X上的實值函數，如果對于每對點x1,x2∈X，f滿足關系式

f(Hx1,x2(θ))≤(1-θ)f(x1)+θf(x2)， 0≤θ≤1，

稱f是X上的廣義弧式連通函數，簡記為GCN。

定義4[1]f(x)是定義在弧式連通集X?Rn上的實值函數，對任意的x1∈X,x2∈X，存在可微弧Hx1,x2，f在t=0關于Hx1,x2的右導數f+(Hx1,x2(0))存在，即：

f[Hx1,x2(t)]=f(x1)+tf+(Hx1,x2(0))+θδ(t)。

定義5[3]設f:M→R是非空開集X?Rn上可微函數，p,r是任意實數，η:M×M→Rn是一個向量函數，u∈X，如果函數f對所有x∈M都滿足：

則稱f是在M上u處關于η的(p,r)-不變凸函數。

在弧式連通凸函數以及(p,r)-η不變凸函數基礎上，本文定義如下廣義凸函數。

定義6 設X∈Rn是一個廣義弧連通集，f是X上的實值函數，p,r為任意實數，u∈X，如果函數f對所有x∈X，存在向量函數φ：X×X→Rn和η:X×X→Rn，使得：

成立，則稱f在u點處是關于η的H-(p,r)-η不變凸函數。若函數f在X中的每一點u都是關于η的H-(p,r)-η不變凸函數，則稱f在X上是H-(p,r)-η不變凸函數。

定義7 設X∈Rn是一個廣義弧連通集，f是X上的實值函數，p,r為任意實數，u∈X，如果函數f對所有x∈X，存在向量函數φ：X×X→Rn和η:X×X→Rn，使得：

成立，則稱f在u點處是關于η的H-(p,r)-η擬凸函數。若函數f在X中的每一點u都是關于η的H-(p,r)-η擬凸函數，則稱f在X上是H-(p,r)-η擬凸函數。

定義8 設X∈Rn是一個廣義弧連通集，f是X上的實值函數，p,r為任意實數，u∈X，如果函數f對所有x∈X，存在向量函數φ：X×X→Rn和η：X×X→Rn，使得：

成立，則稱f在u點處是關于η的H-(p,r)-η偽凸函數。若函數f在X中的每一點u都是關于η的H-(p,r)-η偽凸函數，則稱f在X上是H-(p,r)-η偽凸函數。

嚴格H-(p,r)-η不變凸函數、嚴格H-(p,r)-η擬凸函數和嚴格H-(p,r)-η偽凸函數的定義可類似給出。

以上給出的新函數定義，擴大了廣義凸函數的種類，也拓展了凸函數能解決的實際問題的范圍。

2 最優性充分條件

考慮如下多目標規劃問題的若干Kuhn-Tucker最優性充分條件：

(1)

記X0={x∈X?Rn|g(x)=(g1(x),g2(x),…,gm(x))T≤0,}。

定義9 設x0∈X0，如果不存在x∈X0，使得f(x)≤f(x0)(或f(x)

定理1 假設x0是(VP)的可行解(即x0∈X0)，如果滿足下列條件：

(b)μjgj(x0)=0。

(ii)fi(i=1,2,…,k)是關于向量函數η的H-(p,r)-η不變凸函數，μjgj(j=1,2,…,m)是關于向量函數η的H-(p,r)-η不變凸函數。

則x0是(VP)的弱有效解。

證明反證。假設x0不是(VP)的弱有效解，由定義知，存在(VP)的可行解x，使f(x)

(2)

(3)

對fi(x)-fi(x0)<0,μjgj(x)≤0，有：

(4)

(5)

所以

(6)

(7)

(8)

(9)

與式(8)矛盾。

所以x0是(VP)的弱有效解，證畢。

定理2 假設x0是(VP)的可行解(即x0∈X0)，如果滿足下列條件

(b)μjgj(x0)=0。

(ii)fi(i=1,2,…,k)是關于向量函數η的H-(p,r)-η偽凸函數，μjgj(j=1,2,…,m)是關于向量函數η的H-(p,r)-η擬凸函數。

則x0是(VP)的弱有效解。

證明反證。假設x0不是(VP)的弱有效解，由定義知，存在(VP)的可行解x，使f(x)

由fi(x)-fi(x0)<0,i=1,2,…,k和μjgj(x0)=0，得：

由定理2中條件(ii)得，對(VP)的可行解x(x0∈X0)，有：

(10)

(11)

(12)

(13)

與式(12)矛盾。

所以x0是(VP)的弱有效解，證畢。

定理3 假設x0是(VP)的可行解(即x0∈X0)，如果滿足下列條件

(b)μjgj(x0)=0。

(ii)fi(i=1,2,…，k)是關于向量函數η的H-(p,r)-η擬凸函數，μjgj(j=1,2,…,m)是關于向量函數η的H-(p,r)-η偽凸函數。

則x0是(VP)的弱有效解。

證明反證。假設x0不是(VP)的弱有效解，由定義知，存在(VP)的可行解x，使f(x)

由fi(x)-fi(x0)<0,i=1,2,…,k和μjgj(x0)=0，得：

由定理3中條件(ii)得，對(VP)的可行解x(x≠x0)，有

(14)

(15)

(16)

(17)

與式(16)矛盾。

所以x0是(VP)的弱有效解，證畢。

3 結束語

(1)本文在弧式連通凸函數和(p,r)-不變凸函數的基礎上，定義了一類新的廣義凸函數—H-(p,r)-η不變凸函數，以及偽凸、擬凸、嚴格偽凸、嚴格擬凸等一系列函數。

(2)基于新函數的廣義不變凸假設，研究了一類多目標規劃問題的解，建立并證明了多目標規劃問題的可行解是弱有效解的若干最優性充分條件。

后續將對這類新函數的對偶規劃進行研究，證明若干對偶性定理。本文的研究，擴大了廣義凸函數的種類，豐富了現有的理論成果。