方差累積和控制圖的改進

郭瑩瑩

（燕山大學 理學院，河北 秦皇島066004）

一、引言

控制圖的提出，最初目的是對過程均值是否發生變化進行監控，之后逐漸用于過程方差的監控，因為盡管產品質量與目標值相差不大，其方差也具有較小幅度的偏移。在產品生產過程中，由于系統因素，樣本在均值特性上可能沒有明顯變化，但在方差特性上會有很大偏移，如果方差的偏移量超出了規定要求，就必須對過程方差進行監控，過程方差增加會導致產品質量降低。當前對過程方差監控最普遍使用的控制圖是休哈特（Shewhart）R圖，S圖和S2圖。傳統的休哈特控制圖在過程發生比較大的偏移時敏感，在發生小偏移和中等偏移時不敏感。另外，當樣本容量很小時，監控工藝效率低下。為了優化這些問題，學者們研究了帶有運行規則的監控過程方差的控制圖。

為了提高過程方差發生中、小偏移時監控的靈敏度，Page E S[1]于1954年提出了累積和控制圖，一些數理統計學專家先后對累積和控制圖進行了深入研究。Guoyi Zhang[2]針對傳統休哈特S圖的不足，提出了修正的S圖，并介紹了改進的休哈特R圖和S圖；Rakitzis和Antzoulakos C等[3]提出了監測過程方差的運行和控制圖；薛麗[4]對累積和控制圖的參數K和H進行了研究和分析，討論了基于三種不同原則的參數選取方法；胡靈雪和王志遠等[5]建立了同時監控均值和方差的累積和控制圖，提出基于馬爾可夫鏈理論的新控制圖的平均運行鏈長計算方法；孫明超和宋向東等[6]提出基于累積和控制圖改進的累積得分控制圖，設置改進控制圖的初始響應值，改進了控制圖與傳統累積和控制圖比較方法；楊靜和宋向東等[7][8]對方差控制圖進行改進，檢測效率明顯提高。

對于方差發生小波動的生產過程，累積和控制圖相比休哈特控制圖的監控效率更高。過程方差一旦發生小的偏移，累積和控制圖就能迅速檢測出來。在產品制造過程中，累積和控制圖是一種很有效的監控工具。因此，對它的優化尤為重要。傳統的休哈特控制圖是在3σ原則上建立的，而累積和控制圖是以序貫概率比檢驗為依據的。本文將累積和控制圖與常規控制限聯合使用，基于累積和方法，加入了常規控制限思想，根據總體服從正態分布時的方差特性設置了上控制限系數，并討論了上單側聯合的常規-累積和S2圖的平均運行鏈長表現，有效地提高了監控方差向上偏移的靈敏度，這在監控過程方差方面有一定的借鑒作用。

二、累積和控制圖原理

（一）累積和控制圖原理—序貫概率比檢驗

下面給出一個重要命題：

在使用時可近似取

其中α為犯第一類錯誤的概率即當H0為真時拒絕H0的概率；β為犯第二類錯誤的概率即當H0不真時接受H0的概率。

（二）累積和控制圖的常用方法

1.截頂V型模板法

截頂V型模板運用于實踐中，操作比較容易。決定截頂V型模板的形狀有兩個參數：f和h，f稱為參考值，h稱為判定距。如圖1所示，f是截頂V型模板邊界的斜率，h是截頂V型模板中點O處垂直高度的一半。

圖1 截頂V型模板示意圖

判斷過程方差是否發生偏移時，把截頂V型模板放在累積和控制圖上，中心點O與最新得到的點重合，直線OA與樣本序號軸平行。若之前描的點均在透明模板的兩條斜線內，則判斷過程方差沒有發生異常偏移；若有一點恰好在截頂V型模板的下斜線上或超出下斜線則判斷過程方差異常增大；若有一點恰好在截頂V型模板的上斜線上或超出上斜線，則判斷過程方差異常減小。

2.列表法

監控過程偏移的累積和控制圖可看作重復的序貫概率比檢驗，構造累積和控制圖的兩個參數為K和H，K稱為參考值，H稱為決策值。檢驗過程方差是否發生偏移是檢驗統計量是否落入原假設H0的拒絕域。

監控過程方差向上偏移的累積和控制圖檢驗統計量表達式為：

D+m=max{0，D+m-1+sm2-K}，初始值 D0+=0

當D+m>H時，說明過程發生了向上的偏移，拒絕原假設H0，控制圖發出警報，停止抽樣。

（三）控制圖的性能指標ARL

對于控制圖，通常稱從過程檢測開始到它發出失控的報警信號為止，抽取的平均樣本組數為平均運行鏈長（ARL）。

平均運行鏈長是評價累積和控制圖性能優劣的一個重要指標，設計控制圖時一般都希望在過程受控時平均運行鏈長不低于預設值，在過程失控時平均運行鏈長越小越好。要比較不同控制圖的性能，通常是固定受控時的平均運行鏈長，失控時的平均運行鏈長較小的控制圖控制性能更加優良。常用的計算平均運行鏈長的方法有馬氏鏈法、積分方程法和隨機模擬法，本文采用隨機模擬的方法計算平均運行鏈長。

三、上單側聯合的常規-累積和S2圖

在過程方差的監控中，過程方差增大說明產品的合格率下降。在某些產品的生產過程中，原材料劣質、機器零件不合格或磨損、操作工人操作失誤等都會造成過程方差變大?？梢允褂蒙蠁蝹嚷摵系某Ｒ?累積和S2圖監控過程方差向上的偏移，盡快發出警報，提高生產過程性能。

（一）上單側聯合的常規-累積和圖設計

設過程質量特性X∶N（μ，σ2），樣本量大小為m。我們希望當過程方差σ2由σ02偏移到σ12（σ12=ρσ02，ρ>1為偏移倍數）時，控制圖能盡快發出警報。為了檢驗過程方差向上的偏移，將常規控制圖上控制限（UCL）思想加入到累積和控制圖中，取當前的觀測值即樣本方差si2，檢驗si2是否大于Bσ02，其中σ02是已知的過程方差，B為上常規控制限系數。如果si2不大于Bσ02，就將其按慣例加入累積和，如果 si2大于 Bσ02，則發出狀態失控的信號。

上單側聯合的常規-累積和S2圖將0直限作為控制下界，0直限到控制限上界的距離為控制距H，0直限到警戒限的距離為警戒距K。橫軸表示樣本組序號m，縱軸表示樣本方差si2（i=1，2，3，…，m）與警戒距K的的累積和Cm（K）。設初始值為0，則有累積和：

（二）上常規控制限的確定

下面計算上常規控制限系數，計算過程中將系數記為B。

當過程上偏時，不發出失控信號的的隨機事件表示為S2

若用F（x）表示自由度為n-1的卡方分布的概率分布函數，則發出失控信號的概率為：

p=p（ρ）=1-F[（n-1）（B/ρ）]

平均運行鏈長即為L（ρ），對于錯誤報警率α=0.002，當ρ=1即過程方差處于受控狀態時，平均運行鏈長L（ρ）有 L（1）=500，計算 S2統計量的上常規控制限系數結果如表1：

表1 不同樣本容量的上常規控制限系數表

將上述求得的控制限系數作為上單側聯合的常規-累積和S2圖的上控制限系數，即先檢驗每組的樣本的S2統計量是否大于Bσ02，若大于此值則發出報警信號，不大于此值則按上述標準計入累積和。

（三）上單側聯合的常規-累積和S2圖檢驗統計量

假定觀測值服從正態分布，且總體均值相同，即xi∶N（μ，σ2），i=1，2，3，…。用 f表示概率密度函數，則兩個假設可表示為：

H0：σ02～f（σ02），i=1，2，3，…

H1：σi2～f（σ12），i=1，2，3，…

第m次抽樣，從而H1對H0的似然比為：

其中，K為上參考值，H為決策值。

可以定義上偏的聯合的常規-累積和s2圖的檢驗統計量為：

zj=max{0，zj-1+sj2-K}，j≥1

（四）平均運行鏈長表現

用下面的標準來判斷檢測過程是否正常：

1.檢驗 sj2是否大于 Bσ02，如果 sj2大于 Bσ02，則發出狀態失控的信號，如果sj2不大于Bσ02，就將其按慣例加入累積和；

2.當Cm（K）≤0時，認為過程方差波動正常，但此階段累積和計算中斷，接下一個階段的累積和計算；

3.當0

4.當Cm（K）≥h，認為過程方差向上偏移，發出報警信號。

采用隨機模擬方法計算平均運行鏈長，并繪制平均運行鏈長曲線與傳統的方差控制圖的比較：

從表2可以看出，當過程方差發生上偏時，上單側聯合的常規-累積和S2圖較傳統的方差控制圖有較短的平均鏈長，說明對于方差向上偏移的過程，上單側聯合的常規-累積和S2圖檢測效率優于傳統的方差控制圖。

表2 n=10時過程上偏的聯合的常規-累積和S2圖平均鏈長表現

圖2 上單側常規-累積和S2圖與傳統的方差控制圖平均鏈長比較

圖中給出了n=10時偏移從1倍到3倍時上單側聯合的常規-累積和S2圖與傳統的方差控制圖平均鏈長比較，當方差偏移倍數在1.1倍到1.6倍間可以看出上單側聯合的常規-累積和S2圖具有優越性，當方差偏移倍數大于2.5倍時，上單側常規-累積和S2圖幾乎立即報警，說明聯合的常規-累積和圖在檢測較小偏移時有較高靈敏性。

四、結論

本文研究過程方差檢測的累積和方法，將累積和控制圖與常規控制限聯合使用，基于累積和方法，加入了常規控制限思想。利用隨機模擬方法計算聯合的常規-累積和S2圖的平均鏈長，并與傳統的方差控制圖的平均運行鏈長進行比較。結果發現，聯合的常規-累積和S2圖在檢測向上偏移的方差過程具有更高靈敏性。因此，它的進一步研究是有實際價值的。◆