基于精確有限元模型的弧齒錐齒輪承載振動(dòng)特性分析

劉孝柏, 曹艷玲, 曹雪梅

(河南科技大學(xué) a. 機(jī)電工程學(xué)院；b.車輛與交通工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003)

0 引言

弧齒錐齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)，承載能力大，廣泛應(yīng)用于汽車、輪船和航空航天等領(lǐng)域，用于傳遞兩軸之間的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力。在齒輪嚙合傳動(dòng)過(guò)程中，承載傳動(dòng)誤差作為振動(dòng)的直接激勵(lì)，是產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲的主要因素[1-3]，對(duì)整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)的平穩(wěn)性影響很大。因此，分析弧齒錐齒輪的承載振動(dòng)特性，對(duì)提高齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性具有重要意義。

文獻(xiàn)[4-5]基于局部綜合法和遺傳算法，對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪的加工參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，進(jìn)而有效地提高了齒輪副的動(dòng)態(tài)特性。文獻(xiàn)[6]利用ease-of差齒面，結(jié)合輪齒剛度解析法，提出輪齒時(shí)變嚙合剛度算法與承載分析方法，對(duì)斜齒輪的動(dòng)態(tài)嚙合性能進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[7]在計(jì)算時(shí)變嚙合剛度的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了承載傳動(dòng)誤差簡(jiǎn)化計(jì)算公式，分析了齒面印痕和幾何傳動(dòng)誤差對(duì)承載傳動(dòng)誤差的影響。文獻(xiàn)[8]提出了幾何傳動(dòng)誤差曲線幅值的設(shè)計(jì)，結(jié)合承載傳動(dòng)誤差，使齒輪在不同載荷條件下既能具有高重合度，又保證了相對(duì)低的誤差敏感性，有效改善了齒輪的動(dòng)態(tài)特性。文獻(xiàn)[9]研究了不同載荷下，接觸橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)度、接觸跡線方向?qū)r(shí)變嚙合剛度和傳動(dòng)誤差的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[10-11]采用有限元方法對(duì)螺旋錐齒輪進(jìn)行了接觸分析，討論了齒輪接觸剛度計(jì)算方法、應(yīng)力變化和振動(dòng)沖擊等。

弧齒錐齒輪有限元模型通常是利用編程軟件生成單齒凸面和凹面的齒面點(diǎn)，然后導(dǎo)入CAD軟件生成全齒三維模型，通過(guò)手動(dòng)調(diào)整主從動(dòng)輪的裝配位置來(lái)模擬滾檢，很可能產(chǎn)生裝配誤差和輪齒干涉現(xiàn)象[12]。CAD裝配模型通過(guò)CAE軟件中的實(shí)體切分、網(wǎng)格劃分等操作生成有限元模型，不僅工作量大，還導(dǎo)致齒面的精度損失，齒面拓?fù)湫螤钗⒚琢考?jí)的變化就能對(duì)齒輪嚙合性能產(chǎn)生較大的影響[13-14]，因此，基于CAD軟件建立的齒輪副有限元模型難以滿足高精度建模的要求。

本文根據(jù)加工參數(shù)計(jì)算齒面點(diǎn)，直接以齒面點(diǎn)為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，建立高精度的輪齒有限元模型。采用輪齒接觸分析，精準(zhǔn)計(jì)算大小輪齒面嚙合位置，從而建立精確的齒輪副有限元裝配模型。

采用靜態(tài)分析方法計(jì)算輪齒的齒面接觸應(yīng)力、接觸印痕及不同負(fù)載下的承載傳動(dòng)誤差曲線，并將承載傳動(dòng)誤差作為激勵(lì)，研究了弧齒錐齒輪副承載振動(dòng)特性，為提升齒輪副承載動(dòng)態(tài)特性奠定基礎(chǔ)。

1 弧齒錐齒輪有限元分析前處理

1.1 有限元模型的建立

根據(jù)弧齒錐齒輪的基本參數(shù)和機(jī)床加工參數(shù)求解大輪齒面方程，建立大輪的旋轉(zhuǎn)投影平面[15]。圖1為大輪網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)投影面上的位置分布。

圖1 大輪網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)投影面上的位置分布

齒面上每一個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)都滿足：

(1)

其中：L為旋轉(zhuǎn)投影面的橫坐標(biāo)軸；R為旋轉(zhuǎn)投影面的縱坐標(biāo)軸；m為沿齒長(zhǎng)方向劃分的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；n為沿齒高方向劃分的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；u和v為齒面方程的兩個(gè)變量。

齒輪的承載傳動(dòng)是高度復(fù)雜的幾何非線性和邊界條件非線性的接觸問(wèn)題，齒面不可避免地會(huì)受到?jīng)_擊甚至產(chǎn)生扭曲變形，由于六面體網(wǎng)格抗扭曲能力強(qiáng)，計(jì)算效率和計(jì)算精度高，所以對(duì)齒輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)選用高質(zhì)量的六面體網(wǎng)格，對(duì)齒輪的性能分析意義重大[16]。通過(guò)位置方程求解齒面上任一個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位矢和法矢；根據(jù)凸面和凹面對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)，合理地設(shè)計(jì)齒厚方向網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)密度。

考慮到齒輪的工作壽命與最大彎曲應(yīng)力值的六次方成反比，即彎曲應(yīng)力略微減小，就會(huì)使得齒輪的工作壽命大幅度的提高[17]。在齒根過(guò)渡曲線處，齒輪形體發(fā)生突變，產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，模型沿齒根過(guò)渡曲線進(jìn)行網(wǎng)格加密處理，劃分6個(gè)節(jié)點(diǎn)。

弧齒錐齒輪的基本參數(shù)如表1所示，表2為大輪和小輪加工參數(shù)。

表1 弧齒錐齒輪的基本參數(shù)

表2 大輪、小輪加工參數(shù)

圖2為通過(guò)輪齒接觸分析得到的齒輪副工作面齒面印痕和傳動(dòng)誤差圖。基于計(jì)算的傳動(dòng)誤差，求得嚙合路徑每一瞬時(shí)接觸點(diǎn)上的主從動(dòng)齒輪嚙合轉(zhuǎn)角，通過(guò)坐標(biāo)變換得到弧齒錐齒輪單齒有限元裝配模型。

(a) 大輪齒面接觸印痕

按照inp文件格式，將有限元裝配模型節(jié)點(diǎn)及網(wǎng)格信息儲(chǔ)存在inp文件中，導(dǎo)入有限元軟件，可得到在正確裝配位置下的有限元模型，五齒有限元裝配模型如圖3所示。

圖3 弧齒錐齒輪五齒有限元裝配模型

1.2 有限元模型前處理

在ABAQUS軟件中進(jìn)行有限元接觸分析，對(duì)裝配好的五齒模型設(shè)置如下：

材料屬性：齒輪大小輪材料均為合金鋼，楊氏模量E為2.1×105MPa、泊松比σ為0.3、密度ρ為7.9×10-9t/mm3。

接觸對(duì)：定義接觸面，包括輪齒凸面和凹面、相鄰齒間的齒根過(guò)渡區(qū)域、齒頂過(guò)渡區(qū)域。齒輪在嚙合過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)相互浸透現(xiàn)象，這將直接影響求解器計(jì)算的進(jìn)程和精度[18]。為避免浸透現(xiàn)象的發(fā)生，按照主面和從面的選擇規(guī)則[19-20]，大輪齒面為從面，小輪齒面為主面，建立接觸對(duì)。

耦合點(diǎn)：取大輪、小輪旋轉(zhuǎn)軸線上一點(diǎn)為參考點(diǎn)，將齒輪內(nèi)圈和輪轂斷面耦合在參考點(diǎn)上，方便邊界條件的施加。

分析步：采用隱式靜力學(xué)分析方法，為保證有限元分析計(jì)算收斂，設(shè)置2個(gè)分析步。第1個(gè)分析步消除齒側(cè)間隙，使兩嚙合齒面接觸，保證初始接觸迭代計(jì)算收斂，時(shí)間為1 s。第2個(gè)分析步時(shí)間設(shè)置為3 s。

邊界條件和載荷：小輪全約束，大輪開(kāi)放繞自身旋轉(zhuǎn)自由度，并施加扭矩。

2 承載接觸分析

2.1 接觸應(yīng)力

圖4為大輪施加30 N·m時(shí)各接觸位置的齒面接觸應(yīng)力分布云圖。齒輪在正常嚙合過(guò)程中，單齒嚙合時(shí)接觸應(yīng)力值最大，雙齒嚙合時(shí)，兩對(duì)齒都分擔(dān)載荷，此時(shí)齒面的接觸應(yīng)力就會(huì)減小。

通過(guò)圖4分析每一瞬時(shí)齒輪的嚙合運(yùn)動(dòng)，根據(jù)應(yīng)力分布云圖和接觸印痕，可以看出大輪接觸橢圓從大端齒頂向小端齒根逐漸移動(dòng)，最大主應(yīng)力位于接觸橢圓的中心位置。由圖4a可知：接觸區(qū)域位于工作面中間部位。由圖4b可以看出：大輪中間齒在退出嚙合時(shí)，齒面最大接觸應(yīng)力位于齒頂線下側(cè)，齒輪嚙合過(guò)程中并未出現(xiàn)邊緣接觸。

2.2 承載傳動(dòng)誤差

承載傳動(dòng)誤差是指受載狀態(tài)下，當(dāng)主動(dòng)輪勻速回轉(zhuǎn)時(shí)，從動(dòng)輪實(shí)際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角的差值，主要由于齒輪受載后彈性變形導(dǎo)致，包括輪齒的彎曲變形、齒面接觸變形及輪體變形等[21-22]。任意小輪轉(zhuǎn)角位置轉(zhuǎn)角φ下，承載傳動(dòng)誤差EL可表示為：

EL=δφ+ET，

(2)

其中：ET為齒面接觸分析得到的轉(zhuǎn)角φ的幾何傳動(dòng)誤差；δφ為承載變形量，可通過(guò)有限元軟件提取。

(a) 大輪中間齒單齒嚙合應(yīng)力分布云圖

不同負(fù)載下的承載傳動(dòng)誤差曲線如圖5所示。由圖5可知：負(fù)載分別為10 N·m、30 N·m和50 N·m時(shí)，承載傳動(dòng)誤差由線波動(dòng)幅值分別為18.64 μrad、11.18 μrad和31.24 μrad。承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)先減小后增大，當(dāng)負(fù)載達(dá)到50 N·m時(shí)，承載傳動(dòng)誤差最大幅值為259.15 μrad，曲線位于幾何傳動(dòng)誤差曲線右端端點(diǎn)上方，處于邊緣接觸的臨界狀態(tài)。嚴(yán)重的邊緣接觸會(huì)使最大接觸應(yīng)力發(fā)生在齒輪齒頂或齒根處，引起輪齒強(qiáng)度破壞，使傳動(dòng)不平穩(wěn)，承載傳動(dòng)誤差曲線波動(dòng)幅值較大。當(dāng)負(fù)載為30 N·m時(shí)，該對(duì)齒輪副對(duì)應(yīng)的承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)最小，為11.18 μrad，傳動(dòng)最平穩(wěn)。

圖5 不同負(fù)載下的承載傳動(dòng)誤差曲線

3 振動(dòng)分析

承載傳動(dòng)誤差的時(shí)變性會(huì)產(chǎn)生動(dòng)態(tài)嚙合力，從而引起齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)噪聲[23]。為了評(píng)估齒輪副的動(dòng)態(tài)嚙合性能，以承載傳動(dòng)誤差為激勵(lì)，利用MASTA軟件進(jìn)行振動(dòng)分析。

圖6是負(fù)載分別為10 N·m、30 N·m和50 N·m下，齒輪副前3階嚙合頻率振動(dòng)加速度瀑布圖，第1階嚙合頻率的振動(dòng)加速度最大，對(duì)齒輪副整體振動(dòng)的貢獻(xiàn)度最大。

負(fù)載30 N·m的第1階嚙合頻率振動(dòng)加速度最大值明顯最小，如圖6b所示。10 N·m、50 N·m的振動(dòng)加速度最大值依次增大，如圖6a和圖6c所示。以負(fù)載30 N·m為例，在第1階嚙合頻率下，第1階和第3階固有頻率1.66 kHz和2.19 kHz處出現(xiàn)較為明顯的峰值，振動(dòng)加速度分別為131.91 m/s2和128.93 m/s2，說(shuō)明齒輪嚙合頻率與固有頻率相同，產(chǎn)生共振；在第2階固有頻率2.10 kHz處，未引起齒輪副劇烈振動(dòng)。

圖7a為負(fù)載30 N·m工況下，動(dòng)態(tài)嚙合力隨頻率變化的曲線圖；圖7b為負(fù)載30 N·m工況下，相位隨頻率變化的曲線圖；圖7c為負(fù)載30 N·m工況下，柔度隨頻率變化的曲線圖。從圖7a中可以看出：動(dòng)態(tài)嚙合力出現(xiàn)兩次峰值，分別位于1.66 kHz和2.19 kHz處。相位波動(dòng)為0°～180°，如圖7b所示。在圖7c中，兩條柔度曲線有3個(gè)交點(diǎn)，分別位于頻率1.66 kHz、2.10 kHz和2.19 kHz處。

(a) 10 N·m負(fù)載下振動(dòng)加速度瀑布圖

(a) 負(fù)載30 N·m工況下動(dòng)態(tài)嚙合力隨頻率變化曲線圖

從圖7中可以看出：當(dāng)嚙合頻率為1.66 kHz和2.19 kHz時(shí)，齒輪副柔度絕對(duì)值相等，相位相反，動(dòng)態(tài)嚙合力出現(xiàn)峰值；嚙合頻率為2.10 kHz時(shí)，齒輪副柔度絕對(duì)值不相等，且相位相差不為180°，雖然嚙合頻率等于固有頻率，但未引起齒輪副劇烈振動(dòng)。結(jié)合圖6和圖7，通過(guò)嚙合頻率和固有頻率相等可以找出潛在共振發(fā)生的區(qū)域，只有當(dāng)齒輪副柔度絕對(duì)值相等、相位相反時(shí)，齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力出現(xiàn)峰值，才引起齒輪副的劇烈振動(dòng)。結(jié)合圖5中齒輪在不同負(fù)載下的承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)曲線，齒輪發(fā)生共振時(shí)，降低承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)，可以有效地降低齒輪振動(dòng)加速度幅值。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

基于錐齒輪閉功率流疲勞壽命試驗(yàn)臺(tái)，使用M+P動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀，對(duì)弧齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)試驗(yàn)。M+P動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀適用于所有振動(dòng)噪聲、聲學(xué)和一般動(dòng)態(tài)信號(hào)測(cè)量，可提供試驗(yàn)測(cè)試方案。圖8為錐齒輪閉功率流試驗(yàn)臺(tái)，將傳感器固定在距離嚙合位置較近的主動(dòng)輪軸上方，圖9為傳感器放置位置。

圖8 錐齒輪閉功率流試驗(yàn)臺(tái)

圖9 傳感器放置位置

設(shè)置輸入軸轉(zhuǎn)速為540 r/min，從動(dòng)輪負(fù)載分別為10 N·m、30 N·m和50 N·m，測(cè)得的軸向振動(dòng)信號(hào)如圖10所示。

(a) 轉(zhuǎn)速540 r/min、負(fù)載10 N·m

由圖10可以看出：不同工況的頻譜圖中都包括弧齒錐齒輪的嚙合頻率和諧波分量，并且第1階嚙合頻率處的振動(dòng)加速度值最大，與圖6的振動(dòng)加速度瀑布圖分析結(jié)論一致。在轉(zhuǎn)速相同的條件下，分析第1階嚙合頻率處的振動(dòng)加速度，可以看出：30 N·m負(fù)載下的振動(dòng)加速度幅值最小，為0.109 7 m/s2，而50 N·m負(fù)載下的振動(dòng)加速度幅值最大，為0.180 2 m/s2，隨著負(fù)載從10 N·m增加到30 N·m和50 N·m，振動(dòng)加速度先減小后增大，與圖5的承載傳動(dòng)誤差分析規(guī)律一致。為保證弧齒錐齒輪副具有較好的動(dòng)態(tài)嚙合性能，應(yīng)使負(fù)載工況下的承載傳動(dòng)誤差幅值波動(dòng)最小。

5 結(jié)論

(1)通過(guò)齒面承載接觸分析，計(jì)算了不同負(fù)載下的承載傳動(dòng)誤差，隨著負(fù)載的不斷增加，承載傳動(dòng)誤差曲線波動(dòng)幅值先減小后增大。

(2)通過(guò)嚙合頻率和固有頻率相等可以找出潛在共振發(fā)生的區(qū)域，只有當(dāng)齒輪副柔度絕對(duì)值相等、相位相反時(shí)，齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力出現(xiàn)峰值，才會(huì)引起齒輪副的劇烈振動(dòng)。

(3)以承載傳動(dòng)誤差作為激勵(lì)，對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)分析。承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)幅值越大，產(chǎn)生的振動(dòng)加速度越大。在齒面設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮工況載荷，設(shè)計(jì)的幾何傳動(dòng)誤差幅值應(yīng)使相應(yīng)的承載傳動(dòng)誤差曲線波動(dòng)最小，齒輪副處于最佳工況傳動(dòng)，振動(dòng)最小。