諧波齒輪雙圓盤波發生器設計與有限元仿真分析＊

吳鴻雁 王玉琦 李香飛

1天津職業技術師范大學工程實訓中心 天津 300222

2天津工業大學天津市現代機電裝備技術重點實驗室 天津 300387

0 引言

諧波傳動是20世紀50年代發展起來的一種新型傳動技術。具有傳動比大、傳動精度高、質量輕和承載能力大等諸多優點，被廣泛應用于航空航天[1]、機器人關節和柔性傳動機構[2,3]等眾多領域。隨著社會發展，機器人被大量應用于物料搬運、工廠自動化生產線等用以代替人的繁重勞動，諧波減速器作為機器人中的核心部件越來越受到重視和關注，相關高校和企業對其的研發、制造投入也越來越大。諧波減速器主要包括3個構件：柔輪、剛輪和波發生器。在裝配前柔輪的剖面是圓形，裝配后在波發生器的強制作用下，迫使柔輪變為非圓形。波發生器對于柔輪的變形狀態非常重要，雙圓盤波發生器作為一種結構簡單、包角區間大以及承載能力強的波發生器類型，受到眾多學者的關注，對其作出了很多有價值的研究。

陳曉霞等[4]基于力學方法，計算了雙圓盤波發生器作用下柔輪的周向伸長量，并建立有限元模型驗證了理論方法的可行性。周清華[5]采用有限元方法研究了柔輪在不同波發生器作用下的應力和變形，提出了采用雙圓盤波發生器來改善柔輪應力分布和提高承載能力的設計方案。付軍鋒等[6]通過有限元手段對比分析了不同波發生器作用下柔輪空載時的應力分布狀態，研究結果表明，采用雙圓盤波發生器時，柔輪殼體上應力最小。蔣素清[7]建立了橢圓和雙圓盤波發生器分別與柔輪接觸分析的有限元模型，得出雙圓盤波發生器作用下柔輪應力較小，更適用于重載傳動。Ianici S and Ianici D[8,9]分析了雙圓盤波發生器對柔性輪壁特征點應力分布和位移變化的影響。由于波發生器結構特性，兩個圓盤軸向位置并非處在同一個平面，從而造成柔輪變形存在差異[10]。為了減小這種影響，伊萬諾夫[11]提出取圓盤計算半徑的0.1倍值作為圓盤與柔輪內壁的接觸寬度bc。沈允文[12]則提出取圓盤厚度1/3作為接觸寬度bc。伊和沈的解決方案雖然都能在一定程度減小圓盤波發生器作用下柔輪變形差異，但是依舊未能完全消除。

本文基于直母線假定，區別于傳統波發生器兩圓盤完全相同，在前者的基礎上對雙圓盤波發生器的結構設計進一步改進，提出對波發生器兩個圓盤結構參數進行獨立設計計算?；贖D公司產品算例，計算改進前、后兩組波發生器參數，建立參數化雙圓盤波發生器與柔輪接觸分析有限元模型，對比分析柔輪的變形特征和應力分布狀態。

1 圓盤波發生器計算理論

1.1 雙圓盤波發生器結構

如圖1所示，α1為前盤作用下柔輪變形產生錐角，α2為后盤作用下柔輪變形產生錐角，bc為波發生器與柔輪接觸寬度。

圖1 雙圓盤波發生器作用下柔輪變形示意圖

由于波發生器結構特性，前、后圓盤軸向位置并非同一平面內，當波發生器裝入柔輪時，筒體產生的錐角α1≠α2，導致上、下兩部分柔輪變形特征存在差異，影響傳動精度和嚙合性能。因此，下文將以計算截面達到給定徑向變形量為目標，對波發生器前、后圓盤參數分別進行設計計算。

1.2 波發生器前圓盤計算

如圖2所示，R1為前圓盤的計算半徑，e1為前盤軸線相對于波發生器軸線的偏心距，γ為柔輪對圓盤的包角，w0為柔輪最大徑向變形量。裝配變形前，柔輪的中面為圓形，在波發生器作用下，變為矢徑為ρ的非圓形。

圖2 柔輪中性層變形剖面

中性層任意位置φ角位置處的矢徑

式中：rm為變形前柔輪中性層曲線的半徑，w(φ)為中性層任意φ角位置處的徑向位移。

對前圓盤結構參數計算

通常情況下，w0和rm是已知的。故只要給定包角γ就能夠求出圓盤計算半徑R。

又根據圖中變形關系，可得前盤偏心距

前文介紹關于波發生器圓盤與柔輪的接觸寬度bc的取值，參考文獻[11]和[12]各自都提出了一種方法，由于二者方法的差別非常小，因此本文只采用參考文獻[11]的方法，即取

1.3 波發生器后圓盤計算

區別于傳動雙圓盤波發生器，根據柔輪直母線假定，對后圓盤結構參數獨立計算，如圖3所示。l1為中截面到柔輪杯底距離，R2為波發生器后盤計算半徑，e2為后盤偏心距，δ為筒環寬度。

圖3 后圓盤作用下柔輪變形示意圖

根據圖中幾何關系，柔輪與后圓盤接觸位置的處徑向變形量

后圓盤計算半徑

后圓盤軸線偏心距

根據上述改進后圓盤波發生器設計理論，前、后圓盤結構參數都可以被確定下來，將通過實際算例，利用有限元方法對比分析改進前、后波發生器作用下，柔輪的變形和應力分布。

2 計算實例

2.1 算例參數

本文算例選自日本HD公司組件型CSF-90型號諧波齒輪減速器。其杯形柔輪剖面如圖4所示，主要參數如表1所示。

圖4 柔輪結構剖面圖

表1 CSF-90型號減速器主要參數

基于表1所示參數，根據1.2、1.3節理論分別計算出改進前、改進后兩組波發生器結構參數。改進前圓盤計算半徑R1= R2=118.006 m，偏心距e1= e2= 4.23 mm，波發生器與柔輪接觸寬度bc為11.8 mm。改進后前盤計算半徑R1=118.006 mm，偏心距e1=4.23 mm，后盤計算半徑R2=118.50 mm，偏心距e2=3.51 mm，波發生器與柔輪接觸寬度bc為11.8mm。

2.2 有限元模型建立

為提高工作效率和模型計算精度，本文選擇基于APDL語言在Ansys環境中進行參數化建模，柔輪齒體部分選用Beam 44梁單元，通過定義實常數的形式來表現漸開線齒廓特征。建立柔輪筒體部分時，由于杯底圓臺結構變形可以忽略，且對于柔輪變形幾乎不產生影響，將其簡化為筒體部分的邊界條件。建立雙圓盤波發生器時，由于本文暫不考慮柔性軸承的作用，將波發生器簡化為2個對稱的剛性圓面。波發生器及柔輪筒體均選用Shell 63殼體單元，該單元既具有彎曲能力又具有膜力，可以承受平面內載荷和法向載荷。

2.3 定義接觸和施加約束

基于實際工況，定義波發生器與柔輪之間的面-面接觸關系，波發生器外表面作為剛性目標面，定義Target 174單元，柔輪內壁作為柔性接觸面，定義Contact 170單元。最后對有限元模型施加位移邊界條件，選擇波發生器外表面與柔輪杯底圓盤內孔的全部節點，對所選節點施加全約束。有限元裝配模型如圖5所示。

圖5 有限元裝配模型

2.4 模型有效性驗證

將建立的有限元裝配模型求解完成之后，對結果進行處理，顯示柔輪整體徑向位移分布如圖6所示。柔輪整體徑向位移云圖呈對稱分布，最大值出現在長軸齒圈前截面位置處，最小值出現在短軸位置，與柔輪的實際變形特征相一致。

圖6 柔輪徑向位移分布云圖

3 變形結果分析

基于求解后的兩組有限元裝配模型，定義路徑分別提取前、后圓盤作用區間內柔輪中截面的變形結果，對比改進前與改進后的變形差異。

3.1 徑向位移結果對比

圖7所示為提取的兩組有限元模型徑向位移結果。橫坐標表示極角坐標，φ=0°為長軸位置，順時針為正，縱坐標表示徑向位移量。 觀察圖7a可知，φ∈(0°，40°)區間內，兩條徑向位移曲線重合度較低，在φ=0°長軸位置處二者偏差最大，隨著極角坐標增大，偏差逐漸減小。對比觀察圖7b，改進后波發生器作用下，兩條徑向位移曲線在整個區間范圍內基本完全重合。對上述圖7a、7b中前、后圓盤作用下徑向位移曲線分別作差并進行對比分析，如圖8所示。

圖7 徑向位移結果對比

圖8所示為兩組徑向位移差值對比結果?？芍倪M前最大徑向位移差值出現在長軸位置處，其值為236 um，相當于最大徑向位移的19.2%，隨著φ不斷增大，差值呈現減小-增大-減小的趨勢，變形特征不穩定。對于改進后，在整個區間范圍內，徑向位移差值曲線平穩，處于零線附近，最大差值出現在長軸位置處，其值為最大徑向位移的1.2%。

圖8 徑向位移差值結果對比

3.2 周向位移結果對比

圖9a、9b為提取的兩組有限元模型周向位移結果。觀察圖9a，柔輪在波發生器作用下產生變形時，由于后圓盤作用錐角較大，所以在整個區間內，后盤周向位移值大于前盤，且在φ∈(86°，90°)區間內，前盤周向位移為負值。對比觀察圖9b，在整個區間范圍內，兩條曲線非常重合，前、后圓盤作用下柔輪周向位移值基本完全相等，表明柔輪變形特征基本一致。

圖9 周向位移結果對比

綜上所述，通過對兩組有限元模型徑向位移和周向位移結果對比分析可得，在改進后雙圓盤波發生器作用下，柔輪變形偏差相比改進前減小，一致性較高。

4 應力結果分析

柔輪在發生變形時，其包角位置處會出現應力集中現象，較高的應力會影響諧波減速器的承載能力和使用壽命。因此，定義路徑提取第一、四象限范圍內兩組有限元模型等效應力和周向應力，對比結果如圖10、圖11所示。

如圖10所示，φ=0°為坐標Y軸正向柔輪長軸位置，順時針為正。在整個區間內，改進后柔輪筒體等效應力曲線低于改進前，在φ∈(90°，180°)后圓盤作用區間內，應力集中現象明顯改善，其中在φ=150°位置處，改進后的應力值從102.11 MPa降低為87.16 MPa，降低了14.6%。

圖10 等效應力結果對比

圖11所示為周向應力結果對比圖，從圖中可以觀察到，在φ∈(90°，180°)區間內，應力改善最為明顯，其中，在φ∈(90°，135°)壓應力區內，最大應力從-88.50 MPa降為-80.11 MPa，降低了9.5%。在φ∈(135°，180°)拉應力區間內，最大應力從89.39 MPa降為73.82 MPa，降低了17.4%。

圖11 周向應力結果對比

綜上所述，在改進后雙圓盤波發生器作用下，柔輪齒圈最大應力相比改進前降低，其中，后圓盤作用區間內應力降低較為明顯。

5 結論

1)基于柔輪直母線假定，以計算截面達到理論徑向變形量為目標，提出了獨立計算雙圓盤波發生器前、后圓盤結構參數的方法。

2)相比于改進前，改進后波發生器前、后圓盤作用區間內，柔輪齒圈中截面徑向和周向變形特征基本完全一致。

3)通過比較，改進后波發生器作用下，柔輪殼體上應力均存在降低，其中，后圓盤作用區間內，應力值降低最為明顯，有助于提高柔輪的使用壽命。