不定積分技巧探究

朱 海，代月紅，楊曉芳

(成都師范學院 數學學院，成都 611130)

1 分部積分的原理

分部積分是用于計算不定積分、定積分、二重積分等的常用方法。設u(x)、v(x)是有連續性的導函數，則有：

2 四種解決有理數不定積分的方法

2.1 部分消元法

2.2 配項與湊微分法

分析：不定積分這道題有兩種解題方法，第一種是待定系數法，第二種是配湊法，其更為簡潔。

方法1：首先將分母分解，然后用傳統的待定系數法進行求解，如下，

從以上解題步驟可以看出，運用待定系數法運算量大、耗時且容易出錯。

方法2：首先對不定式配項，然后再換元減少運算，如下，

2.3 變量代換法

分析：被積函數中含有冪函數、指數函數、反三角函數，運用換元法，將反三角函數替換為冪函數，從而減少計算量。

令arctanx=t,則x=tant

2.4 添項法

上下同時乘以xn-1，則

通過以上典型例題展示了解決不定積分的常用方法和技巧，在不定積分的學習中，學生還要善于總結、歸納，靈活運用各種技巧解決問題，為后期不定積分、三重積分等知識的學習打下基礎。