異步電動機深溝球軸承-轉子系統振動特性研究

孟思遠，劉鋒，李明旺，張占立，張文虎

(1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.南京晨光集團有限責任公司，南京 210006；3.北京控制與電子技術研究所，北京 100038)

異步電動機是機床、輕工業裝備、礦業設備、農用機械等工農行業生產中應用廣泛的動力源，其振動特性對裝備運行的穩定性、精度、工作效率以及生產安全都有重要影響。電動機中的軸承-轉子系統是影響其振動的核心部件，然而軸承-轉子系統的動力學特性是非線性的，因此電動機的振動問題也屬于非線性振動問題。由于非線性振動的存在，即使電動機中的軸承、轉軸或電氣元件未發生破損，有時也會由于軸承-轉子系統的結構或工況參數設計不合理而產生有害振動和異常聲。

文獻[1-3]將軸承-轉子系統簡化為弱非線性振動系統，從不平衡磁拉力、轉子偏心、氣隙長度等方面研究了系統的主共振響應，但事實上軸承-轉子系統多為強非線性振動系統[4]。文獻[5-6]將電動機不平衡磁拉力轉化為電磁剛度矩陣，研究了電磁剛度和轉子偏心對軸承-轉子系統非線性振動的影響，但在分析時將滾動軸承簡化為滑動軸承，且僅考慮了電磁性能方面的因素，沒有從滾動軸承彈性支承力等力學性能角度分析轉子系統的非線性振動特性。文獻[7-8]分別從剪切變形、陀螺力矩、機動載荷方面分析了2種飛行器發動機轉子系統的非線性動力學現象，但未考慮系統阻尼和滾動體數量對軸承-轉子系統非線性振動特性的具體影響。文獻[9]研究了船體垂蕩作用下軸承-轉子系統的非線性動力學響應，但未考慮軸承其他參數(如游隙)對轉子系統非線性動力學的影響。

本文以異步電動機深溝球軸承-轉子系統為研究對象，主要分析軸承及其轉軸等結構引起的機械振動，在考慮軸承對轉子系統的非線性支承力的基礎上，從電動機轉速、系統阻尼、軸承徑向游隙、軸承鋼球數4個方面分析系統的非線性振動特性。

1 動力學模型

1.1 軸承-轉子系統坐標系

軸承-轉子系統如圖1所示，由左右2套對稱安裝的深溝球軸承和一個單盤電動機轉子組成。規定該系統廣義坐標采用笛卡爾直角坐標系，且系統轉軸與z軸平行，y軸方向為系統垂直方向，x方向為系統水平方向。

圖1 異步電動機深溝球軸承-轉子系統示意圖Fig.1 Diagram of deep groove ball bearings - rotor system for asynchronous motor

1.2 深溝球軸承非線性支承力模型

1.2.1 深溝球軸承運動學分析

假設在軸承-轉子系統中，深溝球軸承外圈剛性安裝在軸承座內固定不動，內圈與轉子轉軸剛性連接并隨轉子做連續的旋轉運動。軸承內各鋼球被保持架等間距排列在內外溝道之間，速度相同做純滾動，其運動學關系如圖2所示。

圖2 軸承各零件的運動學關系Fig.2 Kinematic relationship among each bearing components

根據假設條件，外圈線速度Ve=0，同理外圈角速度ωe=0；內圈線速度Vi=ωiRi，內圈角速度ωi與轉子角速度ω相等。由此可推導出鋼球的公轉線速度，即

(1)

則鋼球的公轉角速度ωc為

(2)

式中：Vc為鋼球的公轉線速度；Ri，Re分別為內、外圈的溝道半徑，；ω為轉子角速度，rad/s；n為電動機轉速，r/min；Dpw為球組節圓直徑，mm。

第j個鋼球在t時刻的位置角與鋼球的公轉角速度ωc、球數Z以及時間t有關，鋼球的實時位置角可表示為

(3)

1.2.2 赫茲接觸彈性力

根據赫茲彈性接觸理論，軸承第j個鋼球的彈性接觸力Fj與鋼球和內、外溝道之間總接觸變形量δj之間的關系為

(4)

(5)

式中：Kn為鋼球與內、外溝道之間總的載荷-變形系數；τ的值取決于鋼球與內、外圈的接觸方式，球軸承屬于點接觸方式，所以τ=3/2。

對于用軸承鋼制造的軸承，kq(q=i,e)為

式中：∑ρq為內圈或外圈的主曲率和；nδ為兩彈性體接觸變形系數，可查文獻[10]表6-1獲得。

球軸承彈性接觸變形如圖3所示(內圈、鋼球發生相對偏移后的部分用虛線表示)，軸承在受徑向載荷Fr之前，鋼球與溝道的間隙為徑向游隙Gr的一半。承受載荷后，內圈的中心在軸的旋轉作用下由原始幾何中心O偏移到O′，從而使鋼球先后與內、外溝道發生接觸，產生彈性接觸變形。因此，第j個鋼球與內、外溝道總的接觸彈性變形量δj為

圖3 球軸承彈性接觸變形示意圖Fig.3 Diagram of elastic contact deformation of ball bearing

(6)

式中：Gr為軸承的徑向游隙；δx,δy分別為內圈幾何中心沿x，y方向的偏移量。

因彈性變形量恒不為負，故假設存在一個Heaviside函數Hj

(7)

則第j個鋼球與溝道接觸時的彈性接觸力為

(8)

軸承對轉子的非線性支承力可表示為所有鋼球與溝道接觸時的彈性接觸力之和，即

(9)

由于轉子系統中的深溝球軸承不存在軸向預緊力，故不考慮軸承非線性支承力在軸向方向的分量，則軸承非線性支承力在坐標系x軸和y軸上的分量Fx和Fy分別為

(10)

1.3 軸承-轉子系統動力學模型

軸承-轉子系統的振動力學模型基于含有耗散函數的拉格朗日方程建立，根據拉格朗日理論，系統的運動方程可通過總動能T、總勢能V、總耗散勢能D以及第i個廣義坐標qi和廣義力Qi表示[11-13]，即

(11)

(12)

由于轉子的工作轉速范圍遠小于其一階臨界轉速ωcr(957.5 rad/s)，即ncr=9 143.5 r/min，故分析時可將其視作剛性轉子。

本文主要研究由軸承和轉子本身引起的機械振動，而且轉子已經進行了較好的動平衡，為簡化模型，不考慮由電磁拉力引起的振動和轉子的陀螺效應，則軸承-轉子系統非線性動力學微分方程組可表示為

(13)

式中：m為整個軸承-轉子系統的質量；c為軸承-轉子系統等效黏滯阻尼；Fr為恒定徑向力。從(13)式可以看出，由于軸承非線性支承力的存在，該軸承-轉子系統具有較強的非線性。

2 軸承-轉子系統非線性振動特性分析

采用變步長龍格-庫塔法對(13)式進行求解，以變剛度周期Tvc作為系統的激勵周期，分析電動機轉速、系統阻尼、軸承徑向游隙和鋼球數對軸承-轉子系統非線性振動特性的影響，并以分岔圖、Poincaré映射圖和頻譜圖等形式給出分析結果。異步電動機深溝球軸承-轉子系統的各項參數見表1。

表1 異步電動機深溝球軸承-轉子系統的參數Tab.1 Parameters of deep groove ball bearing-rotor system for asynchronous motor

2.1 電動機轉速對系統非線性振動特性的影響

電動機轉速n為500～2 500 r/min，系統y方向和x方向的位移隨轉速變化的分岔圖如圖4所示，由圖可知該系統具有多種非線性動力學響應形式，但總體變化規律相同。針對不同轉速，以x方向為例分析系統的非線性振動特性。觀察分岔圖的轉速區間可以看出，混沌運動主要集中在545～570，600～635，975～1 080，1 110～1 140，1 205～1 265，1 450～1 475，1 880～1 940 r/min。

圖4 位移隨轉速變化分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of displacement varying with rotational speed

在轉速的影響下，該系統通過倍周期分岔進入混沌，其中570～600，1 090～1 105，1 145～1 195，1 940～1 950 r/min對應的動力學響應分別為3周期運動、3周期運動、2周期運動和4周期運動，這些周期窗口夾雜在上述混沌帶之間。這些窗口內特定轉速下的Poincaré映射圖如圖5所示，該系統在轉速影響下進入混沌的途徑為倍周期分岔。

圖5 x方向周期窗口內的Poincaré映射圖Fig.5 Poincaré map in x direction periodic windows

轉速為1 030，1 990，2 400 r/min時，系統x方向的Poincaré映射圖、頻譜圖及軸心軌跡圖如圖6所示(圖中從左至右依次為Poincaré映射圖、頻譜圖、軸心軌跡圖)，由圖可知：

圖6 x方向部分轉速的Poincaré映射圖、頻譜圖及軸心軌跡圖Fig.6 Poincaré map,spectrum map and axis trajectory map of partial rotational speeds in x direction

1)當n=1 030 r/min時，Poincaré截面上出現奇異吸引子，表明系統此時的狀態為混沌運動；頻譜圖上出現變剛度頻率fvc及其2倍頻、3倍頻以及其他雜亂頻率，最大振動幅值為3.5×10-4m/s，最小振動幅值為3.3×10-5m/s；軸心軌跡圖上的軌跡線表現為極不規則的線團。

2)當n=1 990 r/min時，Poincaré截面上的吸引子表現為一個封閉的環和“線狀”點集；頻譜圖上出現變剛度頻率fvc及其亞諧波頻率，最大振動幅值為6.8×10-4m/s，最小振動幅值為3.4×10-5m/s；軸心軌跡圖上的軌跡表現為一個永不重復的“冠狀”線圈，說明系統在該轉速下為擬周期運動。

3)當n=2 400 r/min時，Poincaré截面上只有一個吸引子；頻譜圖上的最大振動幅值為1.57×10-4m/s，最小振動幅值為2.05×10-5m/s；軸心軌跡圖上的軌跡為一個封閉的圓環，說明系統在此時的狀態為穩定的1周期運動。

通過比較不同轉速下系統的位移響應、振動幅值變化和軸心軌跡可知，系統在轉速影響下通向混沌的主要途徑為倍周期分岔，且系統處于擬周期運動時的振幅較大。若電動機為定速工作，其工作轉速可以設定在1周期運動或倍周期運動的轉速范圍內；若電動機在工作時需要頻繁調速，為避免其機械系統發生動力學失穩，其工作轉速應避免設定在混沌帶和擬周期運動的轉速內，且啟動時應該快速通過這些區間。

2.2 阻尼對系統非線性振動特性的影響

轉速n為2 400 r/min時，系統y方向的位移隨系統阻尼變化的分岔圖如圖7所示，由圖可知：當c<192 N·s/m時，系統運動狀態不穩定，除間歇性出現1周期運動的窗口外，其動力學響應基本為混沌運動，表明系統在阻尼的影響下由1周期運動直接進入混沌，其通向混沌的途徑為陣發性混沌；隨著阻尼的增大，即c≥192 N·s/m時，除阻尼c分別為508，548，596 N·s/m時為跳躍性4周期運動外，其他參數區間內系統的動力學響應基本為穩定的1周期運動。

圖7 y方向位移隨系統阻尼變化的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram of displacement in y direction varying with system damping

圖8 y方向部分阻尼的Poincaré映射圖及頻譜圖Fig.8 Poincaré map and spectrum map of partial damping in y direction

1)當c=72 N·s/m時，Poincaré截面上出現奇異吸引子，頻譜圖上出現變剛度頻率fvc，在變剛度頻率的2倍頻與3倍頻之間出現其他雜亂頻率，最大振動幅值為1.21×10-4m/s，最小振動幅值為1.19×10-5m/s，表明此時系統運動狀態為混沌運動。

2)當c=508 N·s/m時，Poincaré截面上出現4個吸引子，頻譜圖上出現變剛度頻率fvc的亞諧波頻率和倍頻，其1.5倍頻在系統的振動中起主要作用，最大振動幅值為5.51×10-4m/s，最小振動幅值為2.37×10-5m/s，表明此時系統運動狀態為4周期運動。

3)當c=928 N·s/m時，隨著阻尼繼續增大，系統振動幅值再次減小，最大為1.23×10-4m/s，最小為2.34×10-6m/s，且fvc的亞諧波頻率和其他雜亂頻率從頻譜圖上消失，系統的運動狀態變為穩定的1周期運動。

通過比較不同阻尼下系統的動力學響應特性和振幅可以看出，系統在阻尼的影響下通向混沌的途徑為陣發性混沌，隨著系統阻尼的增大，系統運動狀態逐漸趨于穩定，但當系統處于跳躍性倍周期運動時，系統振動幅值較大。陣發性混沌往往會引發機械系統的沖擊振動，而跳躍現象則會引起旋轉機械的振幅跳變，從而產生劇烈振動導致設備遭到破壞，雖然增大阻尼對系統運行的穩定性有利，但也應注意某些跳躍性倍周期分岔參數區。

2.3 軸承徑向游隙對系統非線性振動特性的影響

當n=1 030 r/min，c=232 N·s/m時，系統y方向的速度隨軸承徑向游隙變化的分岔圖如圖9所示，由圖可知：系統隨著軸承徑向游隙的變化表現出多種動力學響應形式；當徑向游隙在0～2.5，3.4～5.9，6.4～11.4 μm區間時系統基本為1周期運動，僅在6.0～6.2 μm區間出現了一次小范圍的2周期運動；系統的混沌運動主要集中在2.5～3.4，17.6～40.0 μm區間，在17.7～18.4，18.4～18.9 μm區間間歇性出現過1周期運動窗口；局部放大圖顯示出系統的擬周期運動主要集中在 11.5～17.2 μm區間，在14.1～14.4 μm區間存在一個14周期運動的窗口。

圖9 y方向速度隨徑向游隙變化分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of velocity in y direction varying with radial clearance

軸承徑向游隙為6.1，12.0，14.2，23.6 μm時，系統y方向的Poincaré映射圖及頻譜圖如圖10所示，由圖可知：

圖10 y方向部分徑向游隙的Poincaré映射圖Fig.10 Poincaré map of partial radial clearance in y direction

1)當Gr=6.1 μm時，頻譜圖上主要為變剛度頻率fvc及其亞諧波頻率，且變剛度頻率的基頻在系統振動中起主要作用，最大振動幅值為1.24×10-5m/s，最小振動幅值為3.83×10-7m/s，系統為2周期運動。

2)當Gr=12.0 μm時， Poincaré截面上的吸引子形成一個連續的封閉環，頻譜圖上雖然存在變剛度頻率fvc及其倍頻，但在系統振動中已不再起主要作用，轉頻fr和變剛度頻率fvc的倍數差頻成為頻譜圖上振幅最大的頻率，且最大振動幅值為1.16×10-4m/s，最小振動幅值為5.36×10-6m/s，表明系統運動狀態由周期運動變為擬周期運動。

3）合理修剪。梨園要適度密植，通過合理修剪改善通風透光條件，對減輕病害發生非常重要。修剪時要剪除密擠、冗長的內膛枝，疏除外圍過密、過旺、直立生長枝條，對發病較重的樹要適當重剪。同時調整好負載，以提高樹體抗性。

3)當Gr=14.2 μm時，變剛度頻率fvc及其倍頻在頻譜圖上成分較少，頻譜圖中峰值主要為轉頻fr和變剛度頻率fvc的倍數和頻，最大振動幅值為2.4×10-4m/s，最小振動幅值為8.7×10-6m/s，系統為14周期運動。

4)當Gr=23.6 μm時，Poincaré截面上出現奇異吸引子，頻譜圖上較為雜亂，有多種頻率成分的峰值出現，并含有噪聲的邊頻帶。主要為變剛度頻率fvc的2～3倍頻以及轉頻fr與變剛度頻率fvc的組合頻率，最大振動幅值為2.79×10-4m/s，最小振動幅值為1.26×10-5m/s，表明系統進入混沌運動。

通過比較不同軸承徑向游隙下的動力學響應特性以及最大、最小振動幅值的變化可以看出，在軸承徑向游隙的影響下，系統進入混沌的途徑為擬周期環面破裂和陣發性混沌。系統的振幅隨軸承徑向游隙的增大而增大，增加軸承徑向游隙會使系統振幅增大，激勵頻率變得復雜，不利于轉子系統穩定。因此，應優先選擇第0組游隙中6～10 μm區間徑向游隙的軸承作為該電動機轉子的支承軸承。

2.4 鋼球數對系統非線性振動特性的影響

當軸承鋼球數不同時，系統表現出的非線性振動特性也不相同。不同深溝球軸承鋼球數時，系統在x方向的相圖如圖11所示，隨著鋼球數的增加，系統運動的相軌跡越來越接近一個橢圓，且相軌跡的中心點也越來越接近原點。

圖11 不同鋼球數時系統x方向的相圖Fig.11 Phase diagram of system in x direction with different number of steel balls

觀察不同鋼球數時系統y方向隨轉速變化的峰-谷振幅，即不同鋼球數最大振幅與最小振幅之差隨轉速變化的情況，結果如圖12和表2所示。

表2 不同鋼球數對應的最大峰-谷振幅和轉速Tab.2 Maximum peak-valley amplitude and rotational speed corresponding to different number of steel balls

分析可知：隨著鋼球數的增加，系統峰-谷振幅之間的連續性增強，且峰-谷振幅最大值逐漸減小，越來越向左偏移，對應的轉速也逐漸降低。說明在滿足設計和使用條件的情況下，適當增加鋼球數不僅有利于提升軸承支承剛度，而且有利于提高系統的穩定性，減小有害振動。

3 結論

針對某型異步電動機深溝球軸承-轉子系統的非線性振動問題進行研究，得出以下結論：

1)在不同轉速下，系統表現出多種動力學響應形式且總體變化規律相同，系統在轉速影響下通向混沌的主要途徑為倍周期分岔。在轉速變化的影響下，系統擬周期運動的振幅大于混沌運動的振幅，而1周期運動的振幅小于擬周期和混沌運動的振幅。因此，電動機工作轉速要避免設定在混沌運動帶以及擬周期運動轉速區間，合理選擇電動機工作轉速對系統運行穩定性有利。

2)隨著系統阻尼的增大，系統運動狀態逐漸變得穩定，系統在阻尼的影響下通向混沌的途徑為陣發性混沌。阻尼為508，548，596 N·s/m時系統出現跳躍性的4周期運動，且振幅較大。因此，對于該軸承-轉子系統而言，雖然增大系統阻尼對其運行穩定性有利，但也應注意某些跳躍性的倍周期分岔區域。

3)系統的運動狀態隨著軸承徑向游隙的增大而變得不穩定，且存在多種形式的動力學響應，不同徑向游隙的影響下系統通過準周期環面破裂進入混沌。當系統處于周期運動時，系統主要激振頻率為變剛度頻率fvc，當系統處于擬周期運動或混沌運動時，主要激振頻率為轉頻fr與變剛度頻率fvc的組合頻率且振幅較大。因此，增加軸承徑向游隙會使系統振幅增大，激振頻率變得復雜，不利于轉子系統穩定。對于該軸承-轉子系統而言，應優先選擇徑向游隙為6～10 μm的軸承作為支承軸承。

4)隨著鋼球數的增加，系統相軌跡逐漸接近橢圓，軌跡中心也逐漸靠近原點，系統峰-谷振幅之間的連續性增強，最大值逐漸減小，最大峰-谷振幅對應的轉速也逐漸降低。因此，在滿足設計和使用條件下，適當增加鋼球數有利于提高系統穩定性并降低有害振動。