基于最小二乘法的永磁同步電機最大轉矩電流比控制

黃濟文，王淑紅，許連丙，劉 旭，任俊杰，張根嘉

(1.太原理工大學 電氣與動力工程學院，太原 030024；2.國網大同供電公司，大同 037006；3.中煤科工集團太原研究院，太原 030006)

0 引 言

內置式永磁同步電機(以下簡稱IPMSM)以其功率密度高、效率高等特點廣泛應用于電動汽車、航空航天等高精度控制領域[1]。IPMSM控制中，最大轉矩電流比(以下簡稱MTPA)控制策略應用最廣。常用的MTPA控制方法可分為兩大類：不依賴電機參數的MTPA計算方法和基于電機模型的MTPA計算方法。

第一類方法主要通過相關算法在線搜索出MTPA運行點。文獻[2]將二階Newton-Raphson 搜索法與三維表結合，在線估算出MTPA點，該方法可獲得較好的控制效果，但構建表格較為繁雜，不適用于大批量生產。文獻[3]將擾動信號注入到電流矢量角中，根據電流反饋在線調節電流矢量角，實現MTPA點的實時跟蹤。但擾動步長較難選擇，難以兼顧系統的動態響應和穩態性能。為此，文獻[4]利用PI控制器跟蹤零穩態誤差，解決穩態時電流矢量角度振蕩問題，并提出自適應法步長選擇改善系統動穩態性能。

第二類方法利用電機基本電磁關系直接計算MTPA運行點。文獻[5]提出基于常參數曲線擬合的MTPA控制策略，控制方法簡單易實現，但電機在運行中實際的MTPA運行點會隨著電機參數的改變而變化，使得該算法僅在取點范圍內精確，無法做到全工況下精準計算MTPA運行點。為減小參數變化引起的MTPA運行點計算偏差，需要對電機的d，q軸電感參數精確辨識。文獻[6-7]利用離線辨識方法獲得d，q軸電感值關于電流的關系式，但忽略了交叉飽和效應的影響。文獻[8]采用了凍結磁導率法配合有限元法計算出電感參數并用離線實驗方法驗證辨識結果的精度，但并未進行在線辨識驗證。文獻[9-10]提出了基于高頻電壓信號注入的電感在線辨識方法，擁有較好的辨識效果，但對控制系統硬件要求較高。目前，較多國內外學者將各類智能算法應用于參數辨識領域，常用的算法有自適應算法[11]，神經網絡算法[12-13]、遺傳算法[14]、粒子群算法[15]等。這類方法都能獲得較好的參數辨識精度，但由于智能算法在實際辨識過程中的收斂性、穩定性以及復雜性等因素，導致其在實際運用中難以快速得出精確的辨識結果。文獻[16]提出利用最小二乘法來進行參數辨識，但其辨識模型基于穩態方程搭建，無法計算電機在動態過程中的電感參數，忽略了電機起動過程中電流變化對電感參數的影響。

針對以上問題，本文利用電壓瞬態方程構建辨識模型，并提出一種帶遺忘因子的最小二乘辨識方法實時辨識電機參數；將辨識得到的電感參數及時應用于迭代計算d，q軸電流給定值，使電機工作于實際MTPA曲線。該方法易于實現且精度高，提高了電機的動態性能及帶載能力。

1 永磁同步電機數學模型

IPMSM在d，q坐標系下的電壓數學模型：

(1)

輸出的電磁轉矩：

Te=1.5p[ψfiq+(Ld-Lq)idiq]

(2)

式中:id，iq為電機d，q軸電流；ud，uq為d，q軸電壓；Ld，Lq為電機d，q軸電感；p為電機極對數；ψf為轉子永磁體磁鏈；Rs為電機定子電阻；ωe為電機轉子電角速度。

2 基于迭代的MTPA控制策略

分析式(2)可知，由于d，q軸電感不相等，電機電磁轉矩中包含磁阻轉矩。MTPA控制策略利用該磁阻轉矩，計算d，q軸最佳電流分配，使得定子電流最小。換言之，求解MTPA控制策略工作點的問題可轉化為關于轉矩電流的極值求解問題。本文用迭代法解決此問題。采用恒幅值變換，在d，q坐標系下，電流關系式：

(3)

為了在電流圓限制條件下求解轉矩極值，建立拉格朗日輔助函數：

(4)

由式(4)對Id，Iq，λ分別求偏導，并消去λ可得以下方程組：

(5)

式中：A=1.5pψf，B=1.5p(Ld-Lq)。式(5)的非線性偏導矩陣：

(6)

現假設上式中I=[Id,Iq]T的迭代初值，即I(0)=[Id0,Iq0]T使矩陣非奇異，由牛頓法可得上式解的迭代表達式：

(7)

3 基于最小二乘法的參數辨識

MTPA控制的精確程度決定于參數的準確程度。在實際工況中，電機參數會隨著運行狀態的改變而改變。因此，要提高電機控制精度，必須在線辨識電機參數。

3.1 最小二乘法辨識原理

為了提高電機動態過程中電感參數的辨識精度，本文在電壓瞬態方程基礎上推導出最小二乘遞推公式，在線辨識電感參數。

最小二乘法的遞推公式如下：

(8)

式中:y(k)為系統輸出;φT(k)為中間量，θ(k)為待辨識參數，P(k)為協方差矩陣，K(k)為增益矩陣。將電壓瞬態方程式(1)離散化并取其輸出:

(9)

則該系統的最小二乘表達式：

(10)

將式(10)代入式(8)并引入遺忘因子λ，其遞推最小二乘法的遞推公式改寫：

(11)

3.2 基于高斯調制的最小二乘法辨識

利用最小二乘法辨識電感參數時需要用到的測量數據較多。數據采樣中的噪聲信號會影響參數辨識的精度。本文采用高斯調制函數對采樣到的信號在辨識之前做調制處理。

高斯調制函數的數學表達式：

(12)

式中:T0為a的八倍量。上式中的可控變量僅有a，將式(9)調制后輸出：

(13)

式中:y1φ(k)，y2φ(k)分別為y1(k)，y2(k)調制后的值。則新的最小二乘法表達式：

(14)

將式(14)以上小節的方法進行處理，得到新的迭代方程式如下：

(15)

4 仿真分析

為了驗證本文的最小二乘辨識方法及基于迭代的MTPA算法的可行性，根據如圖1所示的控制系統結構框圖，在Simulink中搭建仿真模型進行仿真驗證，其中電機參數如表1所示。

圖1 MTPA控制系統結構框圖

表1 永磁同步電機參數

圖2、圖3分別為d，q軸電感仿真波形，圖中虛線均為電感真實值，實線均為電感的辨識值。在電機運行中，0時d，q軸電感值分別為0.108 H，0.237 H；1 s時階躍為0.08 H，0.16 H；2 s時階躍為0.108 H，0.237 H。從圖2、圖3中可知，在電感給定值兩次階躍改變時，d軸電感辨識值收斂用時均小于0.005 s，穩態誤差小于0.2%；q軸電感辨識值收斂用時小于0.003 s，穩態誤差小于0.1%。仿真表明，本文建立在電機瞬態方程上的最小二乘法對電感的辨識收斂速度快，精度高。

圖2 d軸電感仿真波形

圖3 q軸電感仿真波形

仿真中電機帶7 N·m起動至額定轉速1 500 r/min，1 s時突加負載至15 N·m，2 s時突減負載至7 N·m，且模擬電機實際運行中電感值隨電流的變化趨勢。改變電機模型的電感值，在此條件下對比分析基于參數辨識的迭代MTPA算法與基于常參數曲線擬合MTPA算法(使用半載時電感參數進行擬合)的控制效果，仿真結果如圖4、圖5所示。

圖4 不同MTPA算法控制下電機轉速波形

圖5 不同MTPA算法控制下電流矢量波形

圖4、圖5中，虛線均表示基于常參數曲線擬合MTPA控制下的電機電氣量，實線均表示基于參數辨識MTPA控制下的電機電氣量。由圖4可知，在負載相同的條件下，若以5 r/min為允許誤差，計算轉速上升以及擾動回復時間，則基于參數辨識MTPA控制下電機起動時超調小15%，且在突加負載時，轉速回復速度快40%；突減負載時，轉速回復速度快30%。這證明了本文的算法與常參數曲線擬合MTPA算法相比，擁有更好的調速性能和帶載能力。由于基于曲線擬合MTPA算法使用的是半載時的電感參數，因此在圖5中半載時兩種MTPA算法控制下的電流矢量差別不大；在突加負載至15 N·m穩態后，基于參數辨識MTPA算法控制下電流矢量小0.15 A，證明了本算法對MTPA運行點的計算更精確。

5 實驗結果與分析

搭建如圖6所示的基于dSPACE的2.2 kW永磁同步電機實驗平臺，以驗證本電感辨識方法的準確性及控制策略的控制性能。

圖6 永磁同步電機實驗平臺

分別在轉速為300 r/min、600 r/min、900 r/min、1 200 r/min、1 500 r/min時通過調節負載，使電機分別工作于空載、半載、滿載，并在線辨識出d，q軸電感，辨識結果如表2～表4所示。為了驗證本辨識結果準確性，利用ANSYS對目標電機仿真計算這三種負載狀態下d，q軸電感值，如表5所示。

表2 空載時各轉速下d,q軸電感辨識結果

表3 半載時各轉速下d，q軸電感辨識結果

表4 滿載時各轉速下d，q軸電感辨識結果

表5 空載、半載、滿載時ANSYS仿真結果

從實驗結果可知，電機d，q軸電感隨著電流的增大而減小，符合理論值。對比相同負載不同轉速下電感值可知，電感值隨著轉速的增大而增大，d軸電感增幅小于5%，q軸電感增幅小于6%，波動幅度幾乎可以忽略，且辨識值與ANSYS仿真值相差不大，小于4%。

因此，本文在轉速為900 r/min時通過調節負載，使電機d，q軸電流的變化范圍分別為0至-3 A、0至5 A，在此條件下在線辨識出d，q軸電感隨電流變化情況，擬合得到Ld=(id，iq)，Lq=(id，iq)的三維曲面，如圖7、圖8所示。

圖7 永磁同步電機d軸電感波形

圖8 永磁同步電機q軸電感波形

把經過調制后的采樣信號作為Ld=(id，iq)，Lq=(id，iq)的輸入，計算出電機實時電感值，并將其用于MTPA點的迭代，計算出實時的電流給定值，用于電機控制運行。為了與基于常參數曲線擬合的MTPA算法控制效果進行對比分析，實驗中保持其它控制參數不變的情況下，電機均在初始時刻帶7 N·m負載起動，3.2 s時突加負載至15 N·m，6 s時突減負載至8 N·m，實驗結果如圖9～圖13所示。

圖9 調制前d，q軸電感辨識波形

圖9、圖10為對采樣信號進行高斯調制前、后的電感辨識波形對比圖，圖11、圖12分別為同一負載下分別使用基于參數辨識MTPA算法與基于常參數曲線擬合MTPA控制下的轉速、定子矢量波形，圖13為基于參數辨識MTPA控制下電機轉矩和d，q軸電流波形圖。

圖10 調制后d，q軸電感辨識波形

由圖13可知，當負載突變時，本文的算法可快速辨識出實時電感值變化，并參與迭代計算出新的d，q軸電流給定值，完成輸出電磁轉矩對負載轉矩的跟蹤。對比圖9與圖10可知，高斯調制函數可以顯著濾去控制系統中因采樣所引入的噪聲信號，且在時間上無明顯延遲，提高了電感辨識精度。由圖11、圖12可知，在電機動態過程中，兩種MTPA算法控制下均以最大允許電流控制電機調速，但基于參數辨識MTPA算法控制下電機超調更小，起動時間快0.1 s，在突加負載時，轉速降落小50%，突減負載時，轉速抬升小65%，擁有更好的電機調速與帶載性能。而在穩態過程中，在負載同為15 N·m的情況下，基于參數辨識MTPA算法控制下電機定子電流矢量更小，小0.1 A。由此可見，基于參數實時辨識下迭代計算出的MTPA點更接近于實際的MTPA運行點。側面證明了建立在瞬態電壓方程上的參數辨識算法擁有較好的辨識精度。

圖11 不同MTPA算法控制下轉速波形

圖12 不同MTPA算法控制下定子電流矢量波形

圖13 參數辨識MTPA控制下轉矩、電流波形

6 結 語

本文的基于永磁同步電機瞬態電壓方程的最小二乘辨識方法比傳統的基于穩態方程的參數辨識算法擁有更好的動態性能。根據辨識出的電感迭代計算出最大轉矩電流比工作點，實時修正永磁同步電機d，q軸給定電流值，提高了MTPA運行點的計算精度。仿真和實驗結果均證明了參數辨識的準確性、先進性，以及采用基于此辨識方法迭代計算出的MTPA點比采用固定電感參數曲線擬合所計算出的MTPA點更精確，本控制策略擁有更好的帶載能力及動態特性。