永磁直線同步電機多周期離散重復控制

王 歡，劉光欣

(1.天津大學 內燃機研究所，天津 300072；2.天津市瑞能電氣有限公司，天津 300385)

0 引 言

永磁直線同步電動機(以下簡稱PMLSM)由于“零傳動”的自身結構特性，具有低損耗、高精度、快響應等優點，在高速精密數控、精密儀器、半導體芯片制造等領域有很大的應用潛力。一方面，PMLSM固有的周期性推力波動[1]會影響伺服系統的性能，特別是在高精度、高響應速度的情況下尤為突出[2-3]；另一方面，當PMLSM伺服系統跟蹤任意多周期(兩個輸入信號周期不成倍數關系)輸入信號時，控制精度較差。為此，有的學者采用了人工神經網絡控制[4]、變結構控制[5]、H∞滑模控制[6-7]等，但這些算法的高度復雜性會導致系統的調節響應滯后，并且由于周期信號的時變性，并不能較好地抑制或跟蹤系統輸入的多周期信號。因此，需要設計出一種相對計算簡單又高效的控制算法來解決上述問題。

重復控制器在頻域內首先由Inoue于1982年提出，控制器基于內模原理對系統外部周期性輸入信號進行調節[7-8]。Tomizuka于1989年首次提出離散重復控制器，離散重復控制器具有如下優點：一是重復控制器數字實現比模擬實現要簡便，二是由于離散化時限制了不必要考慮的高頻分量，因此不切實際的輸入條件不需要考慮，簡化了求解控制器的過程。特別是Tomizuka提出的原型重復控制器，是以零相差跟蹤為基礎，采用零極點對消原理設計調節器，不需要求解復雜的Diophantine方程，縮短了計算機的執行周期，但是一般的原型重復控制器還有很多不足，例如對多周期輸入信號的跟蹤就顯得束手無措[1,9]。

本文研究了一種快速調節(跟蹤/抑制)任意多周期信號的新方法，并從實際出發提出了一種適用于PMLSM的多周期重復控制系統。首先將重復控制器的周期發生器的死區長度縮短為所有周期信號的輸入之和。多周期重復控制器不僅可以比一般重復控制器少很多記憶單元來實現，而且可以使控制誤差更快地收斂到零。其次，多周期離散重復控制系統不僅可以保證系統的穩定性，而且能將系統極點配置在以原點為圓心的給定半徑圓盤上，增加穩定裕度。第三，所提出的控制器是顯式，設計方法不需要求解Diophantine方程，即使輸入信號的周期非常大，設計的工作量卻非常小，這一點和一般離散重復控制器相似。最后，通過MATLAB/Simulink，解決了PMLSM控制系統多周期輸入信號的跟蹤/抑制問題，仿真驗證了其有效性。

1 PMLSM傳遞函數

根據運動力學，對PMLSM的運動狀態建立數學方程：

KFiq(t)-Ff-FL-Fripple

(1)

式中：M表示PMSLM的動子和其帶動的負載總質量；x(t)為動子的位移量；Fe表示PMLSM的電磁推力；FL表示施加的外力，在系統中作為負載；KF表示電磁推力的系數；iq表示電機動子的q軸電流。

Fripple表示推力波動，是由端部效應產生的周期性波動函數。其與動子位移的函數關系[1]：

(2)

式中：Fripplem為端部效應產生力的波動幅值；τ為電機的極距；φ0表示電機初始相位的電角度[7]。

Ff表示摩擦力，數學表達式如下：

(3)

式中：fc表示庫侖摩擦力系數；fs表示靜摩擦力系數；v表示電機動子的運動速度；vs表示Stribeck影響速度；Bv表示粘滯摩擦系數。

建立狀態方程，狀態量分別為PMLSM的動子位移和動子移動速度，直線伺服系統狀態方程表示：

(4)

式中:u=iq作為控制輸入。

本文用d來表示將滯摩擦外的其他摩擦與干擾，即d=Ff+Fripple+FL。可以得到PMLSM的傳遞函數：

(5)

2 PMLSM伺服系統重復控制器設計

2.1 基于PMLSM的離散重復控制系統

圖1是單輸入單輸出離散重復控制的PMLSM伺服系統框圖。圖1中，xd[k]，x[k]，e[k]，u[k]，d[k]，分別表示輸入參考信號，輸出位移信號，反饋控制誤差，控制信號，干擾輸入信號；C1(z-1)，C2(z-1)，P(z-1)則分別表示離散重復控制器，離散位置控制器和離散速度閉環傳遞函數，其中位置控制器使用的PD控制器，離散重復控制器是本文研究設計對象。

圖1 離散重復控制的PMLSM伺服系統框圖

假設圖1的離散重復控制系統的采樣間隔為Ts，d[k]的周期為L2，xd[k]的周期為L1，把xd[k]、d[k]分別離散化：

(6)

xd0(z-1)=xd0(0)+xd0(1)(z-1)+……+

(7)

(8)

d0(z-1)=d0(0)+d0(1)(z-1)+……+

(9)

式中：xd0(z-1)為xd(z-1)的第一個周期序列的z變換；z-1為延遲因子；d0(z-1)為d(z-1)的第一個周期序列的z變換[1]。

圖1中的P(z-1)為PMLSM速度閉環離散傳遞函數，速度閉環控制系統框圖如圖2所示，P0(s)是被控對象傳遞函數。vd是速度環的輸入信號，v是速度環的輸出，d是干擾信號，速度控制器采用偽微分前饋反饋控制器(PDFF)結構，如圖2虛線框內所示，控制器輸出：

圖2 PMLSM速度閉環控制系統框圖

式中:k1表示主調節器參數；k2表示反饋補償調節器參數；kf是PDFF調節器設計的關鍵參數，為調節器前饋比例增益。PDFF的引入加快了系統的響應速度，在誤差沒有經過積分環節時，讓給定就提前加入了控制命令中。當kf=1，調節器為偽微分反饋控制(PDF)，當kf=0，為經典PI控制。PDFF調節器集成了兩種控制器的優點，是介于兩種控制方案之間的一種綜合控制方案，既可以增加系統的抗擾動能力、增強DC剛度，又可以提高系統的響應速度，這兩方面正是PI和PDF控制無法兼具的，本文采用的速度控制器為PDFF控制[7,11]。

對其求傳遞函數可得：

然后，對其離散化，可得P(z-1)。

2.2 離散原型重復控制系統

由于一般離散原型重復控制系統只能跟蹤單周期信號，為了具有普遍意義，假設圖1中的擾動信號d=0，PMLSM伺服系統可以用下式描述：

P(z-1)=z-dB(z-1)/A(z-1)

(10)

式中：B-(z-1)和A-(z-1)是互質的；z-d表示由被控對象造成的d步延遲，且

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+…+anz-n

B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bmz-m

式中：b00，n≥m。

B(z-1)=B+(z-1)B-(z-1)，其中B+(z-1)包含所有漸進穩定的零點，B-(z-1)包含其它的零點，如不穩定零點。

根據圖1可得系統閉環特征方程：

D(z-1)=S(z-1)A(z-1)(1-z-L1)+

z-dB(z-1)R(z-1)=0

(11)

式(11)即是Diophantine方程,選擇合適的S(z-1)和R(z-1)使D(z-1)漸進穩定，即可完成重復控制器的設計，當L1數值非常大時，求解控制器的階次會很高，尤其是在線求解方程時，復雜性變得不可容忍。取而代之提出下面的原型重復控制器：

(12)

式中：B-(z)是用z代替B-(z-1)中的z-1，由于B-(z-1)中包含不穩定的零點，所以不能直接對消，采用零相位對消法，即B-(z-1)B-(z)引入相位為零。h表示B-(z)的最高階次，f是重復控制增益。最優重復控制增益fopt的求取方法如下：

(13)

2.3 多周期離散重復控制器

當PMLSM控制系統需要跟蹤多周期參考信號，或抑制任意周期干擾，即當d0時，上述一般離散重復控制器并不能實現零穩態誤差跟蹤參考信號，本文提出的多周期離散重復控制器既可以跟蹤任意周期參考信號，還可以實現抑制周期性擾動，如固有的周期性推力波動等。

圖1的控制框圖同樣也可以應用到多周期給定控制系統，xd[k]為多周期輸入信號，設Li(i=1，…，l)，為了不失去一般討論性，假設L1>L2>Ll是多周期參考輸入信號的周期，d0的情況和多周期信號給定的推導過程相同，本文不贅述，以下推導過程都按照多周期給定信號進行。如果按照以往設計重復控制系統的經驗，需要在控制器C(z-1)內部引入一個信號發生器1/(1-z-L),其中：

L=LCM{Li，i=1，…，l}

顯然，這個L值會非常大，從控制器的計算角度和元素存儲單元的大小來看都是不可取的。為了解決這一問題，簡化控制器設計和減少存儲單元，采用如下離散重復控制器的設計形式：

(14)

(15)

式中:h代表B-(z)表達式z的最高階次，為了提高系統的魯棒性,重復控制增益用Fk(z)零相位低通濾波器代替，是需要被設計的；hFk代表Fk(z)表達式z的最高階次；α(z,Fi)=1-Fi(z)B-(z)B-(z-1),當l=2時，根據式(14)可得：

(16)

(17)

則當l=2時，多周期離散重復控制器表達式為下式:

(18)

控制框圖如圖3所示，零相位低通濾波器F1(z)、F2(z)可以根據下列公式設計：

(19)

圖3 基于多周期重復控制系統框圖

2.4 多周期離散重復控制系統穩定性

穩定性定理：假設圖3的離散重復系統是逐漸穩定的，且系統穩態誤差為0，則存在零相位低通濾波器Fi(z)滿足如下不等式：

(20)

且Li+d+hFi+h≥0，i=1，2，…，l，其中ωT∈[0,π]。

證明：多周期重復系統閉環極點特征方程：

(21)

(22)

由于系統是漸進穩定的，很明顯存在z使z-Li=1，所以|Ge(z-1)|=0，則系統的誤差也為0，可以看出，式(20)是設計低通濾波器的限制條件。

3 仿真結果及分析

為了驗證本文理論的正確性，仿真采用的PMLSM具體參數以及位置、速度控制器參數如表1所示。直線電機標稱模型為P0(s)=1/(12s+8)。

表1 仿真使用參數

系統的閉環傳遞函數:

F1(z)=F2(z)=fopt[1+1-B-(z)B-(z-1)]=

427.18-125.81z+125.81z-1

下面從兩個方面仿真驗證式(18)的控制器性能。

驗證一：給定多周期信號，無擾動信號。

參考輸入信號：xd10(t)=0.03sin(2πt)，xd20(t)=0.01sin(3πt)，xd(t)=0.03sin(2πt)+0.01sin(3πt)，如圖4所示，兩個輸入信號不是諧波關系，采樣間隔Ts=1/250 s。

圖4 多周期信號給定波形

為了證明本文所設計的控制器的優越調節性能，采用上述離散原型重復控制器系統仿真做對比，控制器離散傳函：

式中：L1=250，f=fopt，其余參數與多周期重復控制器參數相同。采用MATLAB/Simulink反復調試，得到如圖5～圖7的仿真結果，比較圖5和圖6，離散重復控制器跟蹤多周期給定信號誤差較大且不能收斂，而本文的控制器跟蹤誤差明顯減小，幾乎在0附近波動；從圖7的位移輸出波形也可以看出，多周期重復控制器無穩態誤差跟蹤多周期給定信號。

圖5 離散原型重復控制系統給定與反饋誤差波形

圖6 多周期重復控制系統給定與反饋誤差

圖7 多周期離散重復控制系統輸出位移

驗證二：給定是單周期信號，有擾動。

xd(t)=0.03sin(2πt)，端部效應引起的周期性干擾信號：Fripple=25cos(125πt)，可得L={L1,L2}={250,4}，經過反復調試得到如圖8～圖11所示的結果。從圖9和圖10中可以明顯看出，本文的控制器誤差收斂能力和優越性。圖11是本文設計的多周期離散重復控制系統的輸出，可實現零誤差跟蹤輸入。

圖8 參考輸入位移波形和推力波動波形

圖9 離散原型重復控制系統給定與反饋誤差波形

圖10 多周期離散重復控制系統給定與反饋誤差波形

圖11 多周期離散重復控制系統位移輸出

圖12為N1,N2不同取值時的系統誤差收斂能力，其中N1,N2的取值如表2所示。可以看出，N的取值越大，誤差幅值越小，系統的極點越接近原點。

圖12 多周期離散重復控制系統不同極點設計系統誤差

表2 低通濾波器參數設計和極點配置

4 結 語

PMLSM在跟蹤任意周期輸入信號時，伺服系統的位移跟蹤精度下降，在任意周期性擾動存在的情況下也面臨同樣問題。為此，本文設計了一款新型控制器，使用兩個改進原型重復控制器特殊的并聯方式，加上通過設置控制器內部的零相位低通濾波器來改變整個系統的極點分布，在零誤差跟蹤/抑制多周期信號的同時，提高系統的響應速度。理論推導與仿真結果表明該方案的有效性。