3-RPS并聯機構基于任務空間的優化設計

馬春生 尹曉秦 米文博 馬振東

(中北大學機械工程學院，山西 太原 030051)

并聯機器人相對于串聯機器人擁有更好的剛度和承載力，而且運動性能優異[1]，末端執行器可以獲得很高的加速度和運動速度，有著越來廣泛的應用[2-7]。并聯機器人的優化對于彌補并聯機構的缺點，有效利用并聯機構的優點有著十分重要的意義[8]。但是大多數文章的研究對象為機構的工作空間[2-3, 9-10]，忽視了機器人完成特定任務只利用了機器人可達空間的一部分，是機器人可達空間的子空間。因此對于特定任務的機器人應當根據任務確定和劃分機器人任務空間為研究對象，分析機器人在不同機構參數下任務空間整體的性能變化。

而對于流水線上的機器人，尤其是以機械臂和末端執行器為結構的機器人，特別是流水線中的安裝和拆卸等工序，其任務空間通常相似。而且隨著可回收機械的發展，拆卸類機械器人已經成為人們研究的熱點。因此本文以一種基于3-RPS并聯機構的零件拆卸機器人為例，繪制機器人的性能圖譜，研究機器人在不同的機構參數下機器人任務空間的體積變化和運動/力傳遞性能變化[11]。對機器人的設計參數進行優化，對于在流水線上工作，工作空間相似的機器人都有著指導意義。優化的流程如圖1所示。

1 機構描述與應用

并聯機器人的機構簡圖如圖2a所示，由靜平臺，動平臺和三條支鏈構成。靜平臺固結于機架，末端執行器與動平臺相連，三條串聯型的RPS支鏈連接了動平臺和靜平臺(R——旋轉副；P——移動副；S——球副)，其中P副為驅動副。

在機器人工作時，機器人機體位于固定位置，機械臂面向流水線工作；而末端執行器工作時的位置移動主要涉及兩個過程：移動末端執行器至目標零件處和將零件移入儲物筐。如圖2b所示,零件相對機械臂的位置具有一定的固定性，儲物筐和機器人的位置相對固定。這就決定了機器人完成任務所需的工作空間并非整個機器人的工作空間，而是機器人可達空間的子空間。

為了簡化分析，可以將機器人任務空間轉化為如圖2b所示的圓錐形空間。錐形空間的中心軸線垂直于靜平臺，并經過靜平臺外接圓圓心。

2 運動學分析

如圖2a所示，3-RPS并聯機構擁有3個自由度，分別為繞X軸和Y軸的轉動和沿著Z軸的移動[12-13]。

根據閉環矢量法[14]：

OCi=Ry(ψ)Rx(θ)PCi+P

(1)

因此，可以得到運動學逆解公式為：

(2)

其中，

3 任務空間分析

假設機構的桿li在移動副驅動長度為0時的長度為l；在實體模型中，機構的尺寸可以從0到無窮大，為了消除動靜平臺尺寸和桿長度對任務空間的影響，對機構的尺寸進行無量綱化[15]，令：

所以：r1+r2+r3+r4+r5=5；為了簡化機構的控制和分析，假設動平臺的三角形和靜平臺三角形相似，則：

(4)

因此：

(1+λ)(r1+r2)+r3=5

(5)

由于等腰三角形的幾何約束，則：r2<2r1；實際樣機的制作中，動平臺和靜平臺的比例不會過大或過小，因此假設λ∈[0.5,2]，則可以得到參數的約束為：

(6)

所以，可以得到機構的設計參數空間如圖4a所示。

當λ=2時，r1、r2、r3的取值范圍在ADE平面上；當λ=0.5時，r1、r2、r3的取值范圍在ABC平面上。因此，機構的參數在棱錐A-CDEB形成的空間內部取值。為了更直觀地觀察機構參數變化對機構性能的影響，將機構的參數映射到如圖4b所示的二維平面內[16-17]。空間之間的映射方程為：

(7)

(8)

其中：

在機構設計參數空間中，分別對λ值不同的平面進行計算，結果如圖5所示：

從圖5a中我們可以看出，當r2確定時，r3增大，任務空間的體積成比例的增大；當r1、r2取最小值，r3取最大值的時候，機構的任務空間體積達到最大，即支鏈越長空間體積越大。從圖5b～d可以看出，λ對機構任務空間的體積范圍沒有影響，但是隨著λ的增大，機構其他參數的設計范圍會減小。

4 運動/力傳遞性能分析

對于裝配或拆卸機器人，拆卸速度是拆卸機器人的重要評價指標，而拆卸的機械臂的運動性能對于拆卸機器人的拆卸速度有著巨大的影響[18]。為了提高機械臂的運動性能，現利用以螺旋理論為基礎的局部傳遞指標(local transmission index ,LTI)[19]和全局傳遞指標(global transmission index ,GTI)[2, 20-21]對機構進行分析和優化。

3-RPS并聯機構的中的P副為主動副，則對應的3個單位傳遞力螺旋和3個單位輸入運動旋量分別是：

(9)

式中：si為第i條RPS支鏈中，方向與P副的軸線重合單位向量，bi為原點O到A點的方向向量

因為P副的軸線經過R副和S副的軸線和中心，因此三條支鏈的輸入傳遞指數(input transmission index ,ITI)ηITI i=1(i=1,2,3)。說明該機構在任何位形下輸入端的運動都可以完全傳入機構[19]。

利用式(10)可以求得對應于第i個傳遞力螺旋的輸出運動旋量$Oi[19, 22]：

(10)

式中：$Ck為第i條支鏈的約束力子空間基底[19]。

則每個支鏈的輸出端運動/力輸出特性指標(output transmission index ,OTI)為：

(11)

支鏈的局部傳遞指標：

ηLTI=min{ηITI,ηOTI}=ηOTI

(12)

從圖6中我們可以看到：

(1)當動平臺的轉動角度為0時，隨著點靠近動靜平臺外接圓圓心的連線，局部傳遞指標隨之增大，等高線呈同心圓形，如圖6a所示。

(2)當動平臺轉動一定角度時，指定平面上的LTI會變小，最大點會產生有規律的偏移，當動平臺繞X軸正向旋轉時，LTI最大點會向Y軸負方向偏移；當動平臺繞Y軸正向旋轉時，LTI最大點會向X軸負方向偏移，反之亦然。

(3)當動平臺轉動一定角度時，會打破Z平面上LTI分布的各向同性，等高線呈同心三角形。順著LTI最大點偏移的方向LTI下降最慢。

(5)旋轉相同的角度，繞Y旋轉會導致的LTI減小幅度大于繞X旋轉導致的LTI減小幅度。

(6)λ的變化對各個Z平面的性能影響較小。

對于整個工作空間的評價，則使用全局傳遞指標(GTI)進行評價：

(13)

GTI隨著機構參數的變化如圖7所示：

從圖7中我們可以看到，隨著動靜平臺比例λ值的變化，任務空間的最佳運動/力傳遞性能區域的位置也在變化：r3一直處于約1.6。r2從2逐漸減小至1。r1從1減小至0.5，當λ=1時，最佳性能區域達到最大，最佳性能的區域緊鄰任務空間體積為0的區域。任務空間體積的優化和運動/力性能的優化應當根據任務需要取得平衡。

5 結果

綜上所述，可為3-RPS并聯機構做出以下優化：

(1)任務空間體積和動力學性能不能同時達到最優，應在保證任務空間體積的情況下，設計參數應當盡量靠近GTI最大值。建議設計范圍為：{0

(2)應當適當調整靜平臺和地面的夾角，在拆卸零件時，盡量減少動平臺的轉動。當無法避免轉動時，盡量使末端執行器的工作范圍為三角形，適當調整機構的靜平臺位置，使動平臺處于性能最佳的位置。

(3)當動平臺需要轉動時，盡量使動平臺繞底邊上高所在的直線轉動。

(4)根據靜平臺和地壟之間的距離，以及動平臺需要轉動的角度設計合適的支鏈長度。盡量使動平臺的工作范圍處于機構的高效工作區間內。

6 結語

本文利用任務空間，局部傳遞指標(LTI)，全局傳遞指標(GTI)為評價指標，繪制了機構的性能圖譜，對機構的各個參數之間的比例，實體模型的大小進行了性能分析和優化。

(1)可以從全局觀察到機構的性能和機構參數之間的變化關系，為機構參數的微調提供指導意義[23]。

(2)由于機構的對稱性，機構在不同方向的轉動對機構的運動性能產生影響，同時降低了垂直方向的動力學性能，應減少動平臺的轉動。

(3)對于3-RPS機構，轉動時，使機構的轉動軸線垂直于球副的球心之間的連線。

(4)應當根據任務空間的長度確定支鏈的長度，當動平臺完成任務所需轉動角度越大時，支鏈越長。