MV-代數的廣義導子

王軍濤, 肖佳平, 王申橋, 郭靜賢, 陳鵬英, 程頌

(西安石油大學理學院應用數學系, 陜西 西安 710065)

1 引言

在經典邏輯推理中, 已知前提所使用的概念和提供的信息都是精確的, 就能保證推得的結果也是準確無誤的, 這種精確的, 嚴格的邏輯推理是人工智能科學及相關研究中普遍采用的方法, 形成了傳統計算機的理論基礎. 然而傳統計算機通常只能按照經典邏輯進行識別, 對模糊概念卻無能為力. 為了克服經典邏輯在計算機應用中的不足, 文獻[1] 提出了模糊邏輯的概念, 從而使計算機不但可以對模糊概念進行處理, 還可以在信息有限的情況下, 提供精確的答案. 模糊邏輯主要采用代數邏輯的研究方法, 而后者則以邏輯代數為工具來進行研究, 由此可知, 邏輯代數在模糊邏輯的研究中起著十分重要的作用[2-7]. 在模糊邏輯對應的代數系統研究中, MV- 代數是一類最重要的邏輯代數. MV- 代數最初是由文獻[8] 提出, 隨后不少學者對MV- 代數的性質進行了研究, 得到了一些重要的結論[8-9]. 導子理論來源于分析學, 將它引入代數系統中有助研究代數系統的結構和性質. 一些學者在環和近似環上研究了微分算子的性質[10-11]. 文獻[12]將環上的微分算子理論引用到BCI- 代數中, 得到了一些重要的結果. 文獻[13] 將導子的理論應用到格上, 并利用保序導子刻畫了模格、分配格的結構. 文獻[14] 嘗試研究了MV- 代數上的(⊙,⊕) 導子, 得到了基本的結論; 文獻[15] 深入研究了MV- 代數上的(⊙,⊕)- 導子和(?,⊙)- 導子, 并刻畫了保序(⊙,⊕)- 導子. 文獻[16] 在MV- 代數中引入了(⊙,⊕)- 導子, 討論了這類導子與MV- 代數上其它導子之間的關系, 得到了一些重要的結論. 2014 年, 辛小龍教授通過利用MV- 代數上的自同態映射將文獻[17] 中的兩類導子進行了推廣, 得到了MV- 代數的f和g導子, 討論了兩者之間的聯系, 研究了其不動點之集與理想之間的關系.

本文借助于MV- 代數上的自同態, 引入并研究了其上的廣義(⊙,⊕)- 導子, 給出其等價刻畫, 并利用廣義(⊙,⊕)- 導子得到了MV- 代數成為Boole 代數的等價條件, 推廣了現有文獻中的相關結論, 進一步刻畫了MV- 代數的結構.

2 預備知識

定義2.1一個MV-代數是(2,1,0)型代數(A,⊕,?,0)滿足如下公理:?x,y,z ∈A,

(MV1)x ⊕(y ⊕z)=(x ⊕y)⊕z;

(MV2)x ⊕y=y ⊕x;

(MV3)x ⊕0=x;

(MV4)x??=x;

(MV5)x ⊕0?=0?;

(MV6) (x?⊕y)?⊕y=(y?⊕x)?⊕x.

在MV- 代數A中記0?=1 并定義二元運算⊙,∧,∨,→,?如下:

顯然(A,⊙,1) 是一個可換含幺半群, 且(A,∧,∨,0,1) 是一個有界分配格. 在MV-代數中定義偏序關系≤為x ≤y當且僅當x ∧y=x. 定義x?=x →0. 若A中任意兩個元素都存在偏序關系, 則稱A是線序的. 此外, 集合

為A的布爾中心, 則(B(A),⊕,?,0) 是一個布爾代數.

命題2.1設A是MV- 代數, 則下列結論成立:?x,y,z ∈A,

(1)x ⊕x?=1,x ⊙x?=0;

(2)x ≤y當且僅當x ⊙y?=x ?y=0 當且僅當x →y=1;

(3) 若x ≤y, 則y →z ≤x →z,z →x ≤z →y,y?≤x?;

(4)x ⊙y ≤x ∧y ≤x,y ≤x ∨y ≤x ⊕y;

(5)x ∨y=(y →x)→x=(x →y)→y;

(6)x ⊕y=y當且僅當x ⊙y=x;

(7) (x ?y)⊕y=x ∨y,x ?(x ?y)=x ∧y;

(8) (x ?z)?y=(x ?y)?z;

(9)x ∧(y ⊕z)=(x ⊕z)∧(x ⊕y).

定理2.1設A是MV- 代數, 下列結論等價:

(1)x ∈B(A);

(2)x ⊕y=x ∨y,?y ∈A;

(3)x ⊙y=x ∧y,?y ∈A.

定義2.2設A是MV- 代數,I是A的子集, 滿足以下條件:?x,y ∈A,

(1) 0∈I;

(2) 若x ∈I,y ∈A, 且x ≤y, 則x ∈I;

(3) 若x,y ∈I, 則x ∨y ∈I, 則稱I是A的理想.

定義2.3設A是MV- 代數,F是A的子集, 若F滿足以下條件:?x,y ∈A,

(1) 1∈F;

(2) 若x ∈F,y ∈A, 且x ≤y, 則y ∈F;

(3) 若x,y ∈F, 則x ∧y ∈F, 則稱F是A的格濾子;

(4) 若?x,y ∈F,x ∨y ∈F, 則x ∈F或y ∈F, 則稱F是A的格素濾子.?a ∈A,(a] 表示由a生成的濾子, 稱(a] 為主濾子, 容易驗證(a]={x ∈A|x ≥a}.

定義2.4設P是偏序集,P上的二元運算⊕和?互為余伴隨, 若以下條件成立:

(1)⊕:P×P →P是單調遞增的;

(2)?:P×P →P是關于第一變量不減, 關于第二變量不增;

(3)c ≤a ⊕b當且僅當c ?b ≤a.

定義2.5設M,N是MV- 代數,f:M →N是映射, 若f滿足以下條件:

(1)f(0)=0;

(2)f(x ⊕y)=f(x)⊕f(y);

(3)f(x?)=(f(x))?,?x,y ∈A, 則稱f是MV- 代數的同態.

定義2.6設A是一個MV- 代數,d:A →A是映射. 若存在A的自同態f使得d滿足:?x,y ∈A,d(x ⊙y)=(d(x)⊙f(y))⊕(f(x)⊙d(y)), 則d是A上的f導子.

定義2.7設A是一個MV- 代數,d:A →A是映射. 若存在A的自同態g使得d滿足:?x,y ∈A,d(x ?y)=(d(x)?g(y))⊕(g(x)?d(y)), 則d是A上的g導子.

定義2.8設A是一個MV- 代數,d:A →A是映射. 若d滿足:?x,y ∈A,

則d是A上的(→,⊕) 導子.

3 MV- 代數的廣義(→,⊕)- 導子

本文引入了MV- 代數的廣義(→,⊕)- 導子, 并研究它的一些代數性質.

定義3.1設A是一個MV- 代數,d:A →A是映射,f:A →A是A上的自同態. 若d滿足:?x,y ∈A,d(x →y)=(d(x)→f(y))⊕(f(x)→d(y)), 則稱d是A的廣義(→,⊕)- 導子.

例3.1設A是一個MV- 代數, 定義映射d:A →A為d(x) = 1,?x ∈A,f:A →A是A上的自同態, 由于

顯然,d是A的廣義(→,⊕)- 導子, 稱d為平凡廣義(→,⊕)- 導子.

例3.2設A={0,a,b,1}, 其中0≤a ≤b ≤1. 定義二元運算⊕和?如下:

則(A,⊕,?,0,1) 是MV- 代數. 分別定義映射d:A →A, 映射f:A →A為

容易驗證d是A的廣義(→,⊕)- 導子, 然而

因此,d不是A的(→,⊕)- 導子.

注3.1例3.2 中的(→,⊕)- 導子d, 其定義中d(0)?= 0, 因此d不是文獻[17] 中的f,g導子.

命題3.1設d是MV- 代數A的廣義(→,⊕)- 導子, 則下列結論成立:?x,y ∈A,

(1)d(1)=1;

(2)d(x)=f(x)⊕d(x);

(3)f(x)≤d(x);

(4)x ≤y蘊涵d(x)≤d(y);

(5)d(x)→f(y)≤f(x)→d(y);

(6)d(x)→d(y)≤d(x →y).

證明(1)d(1)=d(1→1)=(d(1)→f(1))⊕(f(1)→d(1))=1.

(2)d(x)=d(1→x)=(d(1)→f(x))⊕(f(1)→d(x))=f(x)⊕d(x).

(3) 由(2) 可知f(x)≤f(x)⊕d(x)=d(x).

(4) 若x ≤y, 則y=x ∨y, 因此

(5) 由命題2.1(3) 和命題3.1(3) 可得.

(6) 由定義3.1, 命題2.1(3) 和命題3.1(3) 可得

定義3.2設d是MV- 代數A的廣義(→,⊕)- 導子. 若d(0)=0, 則稱d是MV-代數A的正則廣義(→,⊕)- 導子.

例3.3設A是例3.2 中的MV- 代數, 分別定義映射d:A →A, 映射f:A →A為

則容易驗證d是A的正則廣義(→,⊕)- 導子.

命題3.2設d是MV- 代數A的正則廣義(→,⊕)- 導子, 則下列結論成立:?x,y ∈A,

(1) (d(x))?≤d(x?);

(2)d(x ⊕y)≤d(x)⊕d(y);

(3)d(x)?d(y)≤d(x ?y).

證明(1) 根據命題2.1(6) 和d(0)=0 可得.

(2) 由定義3.1 和命題3.2(1) 知

(3) 由命題2.1(8), 命題3.1(4) 和命題3.2(2) 可知

下面討論MV-代數A上布爾中心上的廣義(→,⊕)-導子的一些性質,并給出MV-代數A上布爾中心上的廣義(→,⊕)- 導子的等價刻畫.

命題3.3設d是MV- 代數A的廣義(→,⊕)- 導子, 則下列結論成立:?x,y ∈B(A),

(1)d(B(A))?B(A);

(2)d(x →y)=(d(x)→f(y))∨(f(x)→d(y));

(3)d(x →y)=f(x)→d(y);

(4)d(x ∨y)≤d(x)∨d(y);

(5) 若d(0)=0, 則d(x?)=f(x?);

(6) 若d(0)=0, 則d(x ∧y)=f(x)∧f(y).

證明(1) 設x ∈B(A), 由于f是自同態, 則f(x)∈B(A), 進而由命題2.1(2) 和定理2.1 可知

因此

(2) 設x,y ∈B(A), 由(1) 和定理2.1(2) 可知

(3) 由(2) 和命題2.1(5) 可得d(x →y)=f(x)→d(y).

(4) 由命題2.1(2) 可得d(x ∨y)=d(x ⊕y)≤d(x)⊕d(y)=d(x)∨d(y).

(5) 由(3) 和d(0)=0 可知d(x?)=d(x →0)=f(x)→d(0)=(f(x))?=f(x?).

(6) 由(5) 可知

推論3.1設d是MV- 代數A上的一個映射, 則以下結論等價:

(1)d是B(A) 上的廣義(→,⊕)- 導子;

(2)d(x →y)=f(x)→d(y),?x,y ∈B(A).

證明(1)?(2) 由命題2.1(5) 和命題2.3(2) 可得.

(2)?(1) 假設d是B(A) 上的映射且滿足?x,y ∈B(A),d(x →y) =f(x)→d(y),則

又

因此?x ∈B(A),f(x)≤d(x), 進而由命題2.1(3) 可知d(x)→f(y)≤f(x)→d(y). 因此,

設A是MV-代數,d:A →A是一個映射,f:A →A是A上的一個自同態. 定義

命題3.4設d是MV- 代數A的廣義(→,⊕)- 導子, 則Fd(A)?B(A).

證明設x ∈Fd(A), 由命題2.1(2) 可知d(x)=f(x)⊕d(x), 則

又由于f是自同態, 所以x ⊕x=x, 因此x ∈B(A).

注3.2命題3.3 的逆命題一般不成立. 設A是例3.2 中的MV-代數, 分別定義A上的映射d和單同態f為?x ∈A,d(x) = 0;f(0) = 0,f(1) = 1,f(a) =b,f(b) =a.則易驗證Fd={0}?{0,a,b,1}?B(A), 但是d不是A上的廣義(→,⊕)- 導子. 因為

定理3.1設A是MV- 代數,f:A →A是A上的單同態, 則以下結論等價:

(1)A是Boole 代數;

(2) 映射d=f是廣義(→,⊕)- 導子.

證明(1)?(2) 假設A是Boole 代數且映射d=f, 則d(x →y) =f(x)→d(y).由推論3.1 可知,d是Boole 代數A的廣義(→,⊕)- 導子.

(2)?(1) 假設映射d=f是A上的廣義(→,⊕)- 導子, 由命題3.4 可知

因此A是Boole 代數.

由定理3.3 可知, 若A是Boole 代數,f:A →A是A上的單同態, 則映射d=f是A上的廣義(→,⊕)- 導子. 下面這個定理給出了Boole 代數上的映射d=f時廣義(→,⊕)- 導子的等價刻畫.

定理3.2設d是Boole 代數A上的廣義(→,⊕)- 導子,f:A →A是A上的單同態, 則以下結論等價:

(1) 映射d=f;

(2)?x,y ∈A,f(x)→d(y)=d(x)→f(y).

證明(1)?(2) 顯然.

(2)?(1) 假設?x,y ∈A,f(x)→d(y)=d(x)→f(y). 由推論3.1 可知

因此映射d=f.

命題3.5設A是MV- 代數,f:A →A是A上的自同態,a ∈A,

(1) 定義da:A →A為?x ∈A,da(x) =a ⊕f(x). 若da(A)?B(A), 則da是A的廣義(→,⊕)- 導子.

(2) 若f滿足f(a)=a, 定義

若Da(A)?B(A), 則Da是A的廣義(→,⊕)- 導子.

證明由定義2.1, 命題2.2 知,?x,y ∈A,

由定義2.8 知,da是A的廣義(→,⊕)- 導子.

注3.3由于da是MV- 代數A的布爾中心上的廣義(→,⊕)- 導子, 稱da是MV-代數A的中心主微分; 由于Da是MV- 代數A的布爾中心上的強廣義(→,⊕)- 導子,稱Da是MV- 代數A的強主中心廣義導子.

命題3.6設A是MV- 代數,f:A →A是A上的自同態, 則存在A上的自映射

使得(da,ga) 是A上的一對余伴隨.

證明顯然⊕是單調不減的,?是關于第一變量不增, 關于第二變量不減并且?x,y,a ∈A,

由定義2.4 可知(da,ga) 是A上的一對余伴隨.

命題3.7設A是MV- 代數. 如果ga(A)?B(A), 則ga是g導子.

證明設ga(A)?B(A). 設?x,y ∈A,g:A →A是A的自同態, 由命題2.1(8) 知

由定義2.7 可知ga是MV- 代數的g導子.

命題3.8設A是MV- 代數. 如果ga(A)?B(A), 則ga是f導子.

證明設ga(A)?B(A). 設?x,y ∈A,g:A →A是A上的自同態,

由定義2.6 可知ga是f導子.

引理3.1設d是MV- 代數A的f導子, 則下列結論等價:

(1)d是保序的;

(2)?x ∈A,d(x)=f(x)⊙d(1).

命題3.9(1) 設A是MV- 代數,d是A上的保序f導子. 若存在A上的自映射f滿足f(A)?B(A), 且(d,f) 是A上的一對余伴隨對, 則f是A上廣義(→,⊕)-導子.

證明由命題3.5- 命題3.6, 命題3.8 可證.

(2) 設A是Boole 代數,g是A上的g導子. 若存在A上的自映射f滿足(g,f)是A上的余伴隨對, 則f是A上廣義(→,⊕)- 導子.

證明由命題3.5- 命題3.7 可證.

定理3.3設d是MV- 代數A上的正則廣義(→,⊕)- 導子, 則以下結論等價:

(1)A是Boole 代數;

(2)Fd(A) 是A的格濾子.

證明(1)?(2) 假設A是Boole 代數且d是A上的正則廣義(→,⊕)- 導子, 由于f(1)=d(1)=1, 故1∈Fd(A). 若x,y ∈Fd(A), 則d(x)=f(x),d(y)=f(y), 由命題2.1(6) 可得d(x ∧y)=d(x)∧d(y)=f(x)∧f(y)=f(x ∧y), 則x ∧y ∈Fd(A). 下面證明Fd(A) 是A的上集. 若x ∈Fd(A),y ∈A且x ≤y, 則

從而d(y)≤f(y). 另一方面, 由命題2.1(3)知f(y)≤d(y), 故f(y)=d(y). 因此Fd(A)是A的格濾子.

(2)?(1) 假設Fd(A) 是A的格濾子, 由正則廣義(→,⊕)- 導子的定義可知

從而Fd(A)=A. 由命題3.4 知,A ?B(A), 故A是Boole 代數.

定理3.4設d是A的廣義(→,⊕)- 導子,f:A →A是A的保序單同態, 則以下結論等價:

(1)A是Boole 代數;

(2) 每一個強主中心廣義導子Da滿足FDa(A)=(a].

證明(1)?(2) 假設A是Boole 代數, 則?x ∈A,x ⊕x=x成立. 由于

則a ∈FDa(A). 根據定理3.3 得Fd(A) 是A的上集, 因此對?a ≤x, 有x ∈FDa(A),從而(a]?FDa(A).

另一方面, 設x ?FDa(A), 則Da(x)=f(x)=f(a)⊕f(x)≥f(a), 由于f是保序的, 則有x ≥a. 這就證明了x ∈(a]. 因此FDa(A)=(a].

(2)?(1) 由(2) 知?a ∈A,FDa(A) = (a]. 由于a ∈(a], 則a ∈FDa(A), 從而有f(a)⊕f(a) =Da(a) =f(a),?a ∈A成立. 由于f是保序單同態, 則a ⊕a=a,?a ∈A成立, 即A是一個Boole 代數.

4 結束語

利用MV- 代數的自同態, 將MV- 代數的(→,⊕)- 導子進行了推廣, 引入了廣義(→,⊕)- 導子, 研究了它們的性質. 此外, 定義并研究了正則廣義(→,⊕)- 導子, 并討論了MV- 代數的布爾中心上的廣義(→,⊕)- 導子的一些性質. 最后, 利用廣義(→,⊕)-導子給出了MV- 代數成為Boole 代數的等價刻畫.