含非線性項的不確定離散時滯系統魯棒穩定性分析

孫延修, 潘斌

(1. 沈陽工學院基礎課部, 遼寧 撫順 113122; 2. 遼寧石油化工大學理學院, 遼寧 撫順 113001)

1 引言

離散時滯系統的魯棒穩定性問題已經取得了豐富的研究成果, 在實際控制問題中由于系統建模誤差及工作環境的變化, 系統往往存在不確定性[1-2]. 針對系統的穩定性,魯棒控制可以保證閉環系統具有一定的魯棒性能, 受到了很多學者的關注并取得了一定的成果.

在實際控制系統中, 考慮系統狀態的時滯性、參數的不確定性及系統的非線性擾動等因素具有較強的實際意義[3-4]. 文獻[5] 針對范數有界的一類不確定離散時滯系統給出了魯棒穩定性判定標準, 并設計出了基于狀態反饋的魯棒控制器, 文獻[6] 針對非線性時滯系統, 利用線性矩陣不等式方法將最優化求解困難的問題轉化成具有LMI 約束的凸優化問題, 并給出魯棒預測控制器存在的充分條件及其表達式, 文獻[7] 針對一類非線性離散時滯廣義系統的觀測器進行了研究, 并給出了觀測器存在的充分條件, 從而使狀態誤差系統漸近穩定.

本文在基于文獻[5] 的基礎上考慮到系統的非線性擾動, 通過利用線性矩陣不等式方法對系統的魯棒穩定性進行分析, 以LMI 形式給出了系統漸近穩定的充分條件, 并設計出狀態反饋控制器使得系統漸近穩定.

2 系統描述

考慮如下不確定時滯系統

其中,x(k)∈Rn為系統狀態向量,A ∈Rn×n,Ad ∈Rn×n, 為適當維數的常數矩陣,ΔA,ΔAd為參數不確定項, 滿足如下條件:

其中,D,E,Ed為已知適當維數的常數矩陣,F(k) 為未知時變函數矩陣, 滿足

令非線性項

且滿足

引理2.1[8]給定適當維數矩陣M,N和對稱矩陣G, 對滿足FT(k)F(k)≤I的矩陣F(k), 不等式G+MF N+NTFTMT< 0 成立的充要條件是存在實數ε> 0,使得

3 系統穩定性分析

考慮系統(1) 中非線性函數項所滿足的約束條件, 利用線性矩陣不等式(LMI) 的方法, 可以得到不確定時滯系統漸近穩定的充分條件.

定理3.1若存在對稱正定矩陣P,Q滿足下列不等式

其中,P>0, Q>0, 證明V(x(k)) 沿系統(1) 的差分為負, 即

可以保證系統漸近穩定.

由于

即

利用S-procedure, 將不等式(3)-(4) 結合起來等價于下列不等式成立:

根據Schur 補引理2.2 知,

其中,

根據引理2.1 可知,

即

根據Schur 補引理2.2 知,

同理, 不等式(8) 等價于下列不等式

通過以上推導, 命題得證.

4 魯棒控制器設計

在實際控制系統中, 系統往往具有時滯性, 不確定性及外部擾動等特點, 考慮如下不確定時滯系統

其中,u(t)∈Rm是系統的輸入, ΔA,ΔAd,ΔB為參數不確定項, 滿足如下條件:

其它項滿足系統(1) 中設定的條件.

設計一個狀態反饋控制器u(k)=Kx(k), 使得如下閉環系統漸近穩定:

其中, ?A=A+BK+ΔA+ΔBK,?Ad=Ad+ΔAd.

定理4.1如果存在矩陣P>0, Q>0,K及正數ε>0 滿足下列不等式

證明由定理3.1 可知, 閉環系統(11) 為漸近穩定的一個充分條件是

用A+BK替換不等式(2) 中的矩陣A, 同時用E+BbK替換不等式(2) 中的E, 結合定理3.1 的證明過程可得不等式(13) 等價于下列不等式成立:

其中,X=A+BK,Y=E+BbK.

5 結束語

本文針對一類含非線性項的不確定離散時滯系統的穩定性問題進行了研究, 在非線性項滿足一定約束條件下進行了穩定性分析, 以線性矩陣不等式形式給出了系統漸近穩定的充分條件, 從而使得系統的穩定性條件便于實現. 同時, 進一步獲得了閉環系統漸近穩定的充分條件, 設計出了不確定離散時滯系統的狀態反饋控制器, 定理4.1 的理論證明保證了狀態反饋控制器設計的有效性.