新課標下的高中數學新舊教材比較研究*
——以章節“指數函數與對數函數”為例

廣西師范大學數學與統計學院 (541000) 張麗杰 周 瑩

隨著《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》的實施，與之相呼應的新版數學教材應運而生，為便于數學教師更好的開展教與學，研究、分析、比較新版教材與舊版教材之間的區別與聯系顯得十分重要.指數函數是應用研究函數性質的一般方法去研究函數的一次實踐，對于提高學生的科學素養，實現教育要關注“人的發展”是十分有意義的[1].而對數概念的學習不僅能夠深化對指數函數的理解更為學生數學建模提供知識基礎.基于此，將以“指數函數和對數函數”一章為例，探討新版教材在結構和內容上的變化及其特色，以期為數學的教育教學提供一些參考.

一、研究設計

新版教材為2019年普通高中數學教科書人教A版第一冊[2]；舊版教材為2007版普通高中課程標準實驗教科書人教A版必修一[3].采用文獻分析法、文本分析法、統計法和比較研究法對兩版教材中關于指數函數和對數函數的內容進行比較.

二、結構設置比較

1.整體框架比較

由表1可以看出，變化主要體現在：1.將冪函數一節放在了第三章中.由于冪函數與學生之前學習的一次函數、二次函數和反比例函數有相通之處，放在第三章不僅體現了以舊知為邏輯生長點的宗旨，還有利于學生理解和鞏固新知(函數的概念及性質)，也為學生學習第四章內容奠定了思想基礎，可謂“一舉三得”；2.將第二章和第三章合并為一章(第四章).在學習完新知后立即應用指數函數與對數函數，體現了知識的模塊性和連續性，既有助于學生“趁熱打鐵”，體會數學的應用價值，還方便教師逐步滲透數學建模思想；3.新版教材將“指數”、“對數”單獨設置為一節，明晰了學習知識的循序漸進性，有利于強化學生大腦中“指數”、“對數”概念及其運算法則存在的必要性的意識.

表1 新版與舊版教材整體框架比較

2.“節”構比較

除了部分小節的名稱稍有變動外，新版教材將舊版中“幾類不同增長的函數模型”一節改為“不同函數增長的差異”并放于對數函數一節之后：名稱的改動增強了教學的目的性，即讓學生感受不同函數的“增長差異”；位置變化對應的內容也有所改變——3.2.1中的例1和例2放在了函數模型的應用中，將剩余內容通過3個探究活動帶領學生感悟不同函數的變化規律，整個內容變得更加層層遞進.此外，新版教材繼續沿用了舊版教材中標簽的設置，發揮標簽“引思、提示、總結、拓展”的功能，其中舊版教材共設置標簽23處，新版教材共設置標簽20處.

三、內容變化比較

1.章始章末節比較

(1)章始節比較

由表2可知，新版教材問題呈現方式的改變(第一段)增強了指數函數的背景性；引入方式的變化(第二段)更加讓學生認識到學習指數函數的必要性；在內容介紹上(第三段)，以冪函數為引降低了學生學習本章內容的恐懼感.整體來看，新版教材章始節段落之間的承接性更強.

表2 新版與舊版教材章始節比較

(2)章末節比較

章末節繼續采用了舊版教材中小結(本章知識結構、回顧與反思)的方式.

不同之處在于：在“本章知識結構”部分，與舊版教材相比，新版教材的知識結構圖更加豐富，除了增加“函數的應用”一節外，還強調了把握“指數函數”的定義及其運算性質的重要性，更加注重學生對“指數函數與對數函數”現實背景的掌握.

在“回顧與思考”部分，“回顧”的變化主要體現在文字增多，由原來的一段分為了三段.其中，第一段敘述了本章知識要點，第二段概括了本章學習歷程，第三段給出了在運用函數解決問題時的注意點.如果說第一段告訴了學生“知什么”，那么第二段就是在告訴學生“是如何知的”，第三段則是“知而后用”.整體來講，相較于舊版教材，新版教材內容更加詳細，語言表達更加精準，字句段落間更有連續性，更能讓學生體會知識的連續性，實現了真正意義上的“幫學生整理思路”.“思考”部分以9個問題呈現，主要有以下特點：①按照學習的順序排列，問題之間環環相扣；②既有具體化的問題，例如“1.指數和對數的概念都有現實背景，你能舉出一些實際例子嗎？”，又有需要“蹦一蹦”的問題，例如“4….你能由此說說如何研究一類函數嗎？”；③更加注重過程與方法層面上的思考和思維引導.總體而言，新版教材通過“回顧”給了學生“魚”(第一段)和“漁”(第二、三段)，又以“思考”引起學生的“欲”，做到了真正意義上的使學生“思”.

2.探究活動比較

舊版教材主要包括“探究”、“思考”、“觀察”、“閱讀與思考”、“探究與發現”欄目，共有20處，新版教材刪去了“觀察”欄目，增設了“文獻閱讀與數學寫作”欄目，共25處，較舊版教材在數量上有所增加.

新版教材的探究、思考內容更加注重引導性、變化性和遷移性.其中，引導性在于：①知識的講解都是建立在“探究”或“思考”下展開的，既具有承上啟下的作用，環環相扣，不易使學生的思路“走神”，還突出了探究或思考等欄目的地位和作用，比如“不同函數增長的差異”一節；②問題提問方式更加具體化、更具有方向性和可操作性，比如由舊版教材中的“觀察圖象，你能發現它們有哪些共同特征？”變成新版教材中的“觀察這些圖象的位置、公共點和變化趨勢，它們有哪些共性？由此你能概括出指數函數y=ax(a>0且a≠1)的值域和性質嗎？”.變化性在于：①問題探究的逐步深入，既能夠讓學生進行深度思考、積累由具體到一般的活動經驗，又有利于培養其由特殊到一般的邏輯推理素養；②條件或情境的拓展，比如在“不同函數增長的差異”一節中，首先探究指數函數與一次函數的差異，其次探究對數函數與一次函數的差異，然后改變條件(如果將lgx放大1000倍)再次思考其中的規律.遷移性在于新知與舊知的聯系性.

3.細節比較

細化舊版教材內容.新版教材在舊版基礎上給出了實數范圍的指數冪的運算性質，使其拓展過程得到了完善.

增加節引言.新版教材在每一節開始之前都設置了引言，其功能與價值主要體現在：①解釋了為什么學習本小節內容，即學習本小節知識的原因；②增強了學習本小節內容的目的性，即本小節需要解決什么問題；③擬計劃如何解決.比如，在4.1指數的節引言中，學習本節內容的原因是“為了研究指數函數”，需要解決的問題是“把指數的范圍拓展到全體實數”，解決方案：從學生已經學過的冪函數(正方形邊長關于面積的函數式)入手.事實上，學生可能會產生以下困惑：①為什么學習指數函數之前要把指數的范圍拓展到全體實數？即讓學生理解拓展數域的必要性；②為什么拓展數域需要研究n次方根？即讓學生明白先講n次方根的原因及根式存在的意義.

4.概念引入與深化比較(以“指數函數”為例)

在概念引入方面，舊版教材的方式為：呈現問題1、分析過程及結果→呈現問題2及結果→探究兩個問題中解析式的共同特征→用字母a代替底數→指數函數的概念；新版教材的方式為：呈現問題1→分析問題1→解決問題1→呈現問題2，分析過程及結果.相同之處在于兩版教材都通過引導學生替換問題中所得解析式的底數來得到指數函數的概念.不同之處在于舊版教材對問題的分析程度不夠.新版教材秉承新課標中加深學生對指數函數變化規律理解的目標，詳細分析了問題1(問題1變為熱點問題——旅游)：首先按照學生的思考習慣引導學生發現，將數據文本轉化為圖象并不能準確的描述變化規律，必須尋找新的方法，新版教材的做法是，通過探究引導學生發現變換運算方式可以得到年增長率，而年增長率可以更精準的刻畫數據變化，接著才引出了舊版教材中文字描述式的變化規律.新版教材還增強了問題2的過程性，并更改了最后解析式的書寫方式，方便學生更好的理解用a代替底數：

新版教材的引入方式不僅能讓學生得到指數函數的解析式，更能通過問題的呈現與探究滲透學會用數學語言描述和刻畫現實的思想，增強了數學的實際性和應用性，如“B地景區的游客人次近似于指數增長”、“死亡生物體內碳14含量呈指數衰減”.

在概念深化方面，舊版教材并沒有直接給出進一步的說明.新版教材通過例題的形式來鞏固指數函數的概念，加深學生對指數函數形式的理解：例1考察了底數a，例2拓展了前面兩個問題，主要考察函數的確定、某一點函數值的確定與比較、繪制大致圖象，并借此引出了y=kax形式的增長模型.

5.信息技術融入比較

在舊版教材建議將信息技術融入課堂后，2017版(2020修訂版)課標著重強調了其運用的必要性，至此新版教材增設了相關內容.比如，在學習“指數函數圖象及其性質”內容時教材中提到“選取底數a的若干值，用信息技術畫圖，發現指數函數y=ax的圖象”.值得注意的是，雖然強調了信息技術的融入，新版教材也沒有脫離舊版教材的理念：讓學生親自動手操作繪制指數函數的圖象.

6.數學文化滲透比較

新版教材在第一節增加了一篇關于物理學知識的閱讀與思考，既有利于學生進一步理解指數函數，又增強了其對數學的跨學科應用的認識.在最后增加了一篇文獻閱讀與數學寫作和一個數學建模活動，這也是新版教材最大的亮點之一，“對數概念的形成與發展”讓學生在了解數學史的同時感悟數學知識的產生、變化與發展過程；數學建模活動則以最具中國特色的茶文化為引，選題新穎，是體現中華優秀傳統文化融入數學課堂教學的最好實例之一.

7.例習題數學核心素養滲透比較

2017年版(2020修訂版)課標中對“指數函數和對數函數”的素養要求主要有：數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象和邏輯推理[5]，以此為基礎進行新舊版教材的例習題數學核心素養滲透比較.

由表3可知，兩版教材的數學運算和邏輯推理素養占比較高，并且新版教材在數學抽象、數學建模、直觀想象和邏輯推理素養的比例均有所升高，五個素養在例習題上的分布更均衡.

表3 兩版教材數學核心素養例習題數量比較

四、研究結論

1.從陳述事實到引導思考，新版教材更加注重學生學習的主動性

新版教材在呈現每一個知識點之前都進行了詳細的思想、方法、事實的鋪墊(節引言)，引導學生步步深入，不會感到唐突.同時，新版教材更改了問題提問的方式：編排更加站在學生的角度、遵從學生的認知水平和思考習慣；更加注重以學生已有經驗為邏輯生長點展開學習，既增強了學生新知與舊知的聯系，又有利于促進其深度學習.這樣，學生在閱讀教材的過程中更加能夠感受到起伏變化，從而產生“是呢？為什么呢？”的主動思考而不是“哦，這樣子”的被動學習.由此看來，新版教材更加體現“以學生為本”的教育理念，對落實“立德樹人”任務具有重要意義.

2.從簡單提問到共同探究，新版教材更加關注問題的探究性

根據新課標中提出的培養學生四能目標，新版教材增強了對問題的探究性與探索性，注重讓學生經歷“發現問題→提出問題→分析問題→解決問題→拓展問題”的過程.

3.從分散學習到整體感知，新版教材更加培養學生的系統思維

新版教材以指數函數與對數函數之間的聯系為線索，按照“運算法則→概念→圖象、性質→指數爆炸、對數增長→模型應用”的順序將其設置為一章內容，以探究活動為主線，引導學生思考、探索、參與，在整體把握指數函數與對數函數內容的基礎上，明晰指數函數與對數函數之間，指數函數、對數函數與現實之間的相互關系，從而提升學生的系統思維.

4.從信息技術拓展到信息技術融入，新版教材更加強調直觀想象素養的滲透

新課標指出，圖象是研究性質的重要載體，新版教材通過信息技術繪制了多個指數函數和對數函數的圖象，實現了圖象的動態化，便于直觀感受其變化規律，再讓學生以形的變化感知數的運用，數形結合，達到培養學生直觀想象素養的目的.

5.從總結建模過程到參與建模活動，新版教材更加凸顯數學建模的過程性

雖然舊版教材在第三章中給出了建立數學模型的基本過程，但是并未深入探討與分析，學生僅僅停留在表面的認知水平.為此，新版教材在新課標的引導下，以傳統文化為引，把數學建模活動單獨設置為一個模塊放在章末，將這一素養培養置于“桌面”上，讓學生親身經歷建模活動的整個過程，在滲透數學文化的同時，能夠極大的鍛煉學生小組合作能力、收集與處理信息的能力和利用數學模型解決問題的能力，還有利于讓學生積累更多的活動經驗和解決問題的經驗.

五、研究啟示

1.重視章始節，充分利用章末節

章始節是一章內容的開始，這一部分可以幫助學生把握本章學習要點，在教學中教師不能一帶而過.章末節很好的總結了本章內容，教師要利用其引導學生構建自己的思維導圖，注重反思提升，以準確的把握知識間的相互聯系.

2.建立知識模塊體系，明晰要素關系

教師只有整體感知章節內容，才能更好地把握教學節奏、順序與課時分配.教學過程中，可以從以下三個方面反思“指數函數與對數函數”一章的教與學：①概念內涵及外延[6]：概念內涵包括指數、對數、指數函數、對數函數概念及其圖象、性質，指數爆炸、對數增長等；外延包括運算法則、肯定例證(如y=2x)等.②能力與思維：字母代數思想；數形結合思想，比如零點定理、求近似解等；類比歸納思想，比如類比指數函數性質的發現過程總結對數函數的性質等.③評價核心素養：運算法則使用的靈活性(數學運算)；概括指數函數、對數函數概念的形成過程并進行多元表征(數學抽象)；根據數據繪制圖象，根據實際對圖象進行加工與變換，將問題中的文字轉換為圖象，觀察圖象發現變化規律等(直觀想象)；明晰指數函數、對數函數及其之間的關系，確保符號推理的順暢(邏輯推理)；嘗試從情境中提煉數學問題，選擇合適的模型等(數學建模).

3.巧用信息技術，激趣引思，突破難點

信息技術作為新時代背景下的新興事物，能夠極大的引起學生興趣，因此教師在制作積件時[7]，應充分考慮到信息技術“激趣引思”的作用，再結合問題驅動增強學習的探索性，調動學生學習的積極性[8].此外，要充分利用信息技術突破教學難點，比如讓學生動態化感知指數函數“底大圖高”的性質，直觀感知底數互為倒數的指數函數關于y軸對稱、指數函數與對數函數互為反函數(關于y=x對稱)等等.