基于等效電流法的永磁軸承分析

丁建剛

（陜西煤業化工集團孫家岔龍華礦業有限公司，陜西 榆林 719000）

0 引言

永磁軸承是利用永磁體之間的磁力作用實現轉子穩定懸浮的一種被動磁軸承。永磁軸承具有體積小、無摩擦、結構簡單等優點。此外，高性能永磁材料的出現也極大地促進了永磁軸承的發展與應用。永磁軸承既可用作徑向軸承，又可用作推力軸承；根據磁環的磁化方向及相對位置的不同，永磁軸承可分為多種磁路結構[1]。

承載能力與剛度的分析是永磁軸承研究與設計過程中的一個重要環節。目前，關于永磁軸承的分析設計主要是基于等效磁荷法建立的數學模型[2－3]或者是利用商業軟件進行仿真分析。此外，也有學者根據磁路法或者是有限元法對永磁軸承進行分析與計算。王洪昌等[4]基于分子電流法推導得到了永磁軸承軸向力的計算公式，利用蒙特卡洛算法進行了數值計算，并與ANSYS仿真結果作了對比。本文基于等效電流法建立了永磁軸承的數學模型，并利用Matlab對承載力與剛度進行了數值計算，繪制出了其隨位移變化的特性曲線，將計算結果與基于等效磁荷法的結果進行對比后發現，基于等效電流法與等效磁荷法的計算結果非常接近，且與實測值的誤差保持在較小的范圍之內。最后，通過對徑向采取主動磁懸浮軸承、軸向為永磁軸承的轉子系統在軸向的承載力及剛度特性進行了試驗研究，得出了一些關于永磁軸承特性的基本結論。

1 基于等效電流法的數學模型

根據安培的分子電流觀點，如果忽略永磁體的端部效應及磁化的不均勻性，永磁體內部分子環流的環繞方向一致，這樣在永磁體內部的任意一點總有兩個方向相反的分子電流通過，在效果上相互抵消；只有在截面邊緣處，分子電流未被抵消，形成與截面重合的圓電流，如圖1所示。對永磁體整體而言，未被抵消的分子電流是沿著永磁體表面的[5]。

圖1 永磁體中的分子電流

下面以軸向磁化的軸向永磁軸承為例，基于等效電流法建立其數學模型。圖2所示為用等效電流法表示的永磁軸承示意圖。設i1與i2分別為內、外磁環表面上單位長度的磁化面電流；P、Q分別為圓柱面2和4上的兩點，其空間位置如圖3所示。將P、Q處的電流環投影到XY平面，得到Q處電流環的XY平面投影圖，如圖4所示[6]。根據畢奧—薩伐爾定律，內磁環P處的電流微元i1dzdl1在外磁環Q處產生的磁感應強度為：

圖2 永磁軸承的等效電流模型

圖3 P、Q的空間位置

圖4 P、Q處電流環的XY平面投影

由圖3可知：

式中：Sr為內、外磁環在徑向的相對位移；Sa為內、外磁環在軸向的相對位移；h為Q在外磁環上的高度（見圖2）。

把式（2）～（3）代入式（1），將dB沿著整個內磁環的外表面積分可得到內磁環外表面等效電流在外磁環點Q產生的磁感應強度：

式中：H1為內磁環的軸向剛度。

根據安培定律，Q處電流源i2dhdl2所受的力為：

式中：dl2=-R4sinβdβi+R4cosβdβj

把式（4）代入（5）并積分，得出內、外磁環外表面間的作用力為：

式中：Den=(R4cosβ-R2cosα-Sr)2+(R4sinβ-R2sinα)2+(h-z+Sa)2。

同理可以求得F14、F23和F13。其中磁化面電流i在計算時可以取矯頑力Hc的值[6]。

根據圖2中等效電流的方向，整個永磁軸承內、外磁環間的作用力為：

根據對稱性Fy＝0，所以永磁軸承的徑向力Fr＝Fx，軸向力Fa＝Fz。

上述只對軸向磁化的軸向永磁軸承建立了承載力的計算公式，從數學模型的建立以及公式的推導過程可知，式（6）同樣適用于軸向磁化的徑向永磁軸承的計算。

2 永磁軸承磁力的數值計算

由式（6）可知，基于等效電流法建立的永磁軸承的磁力計算公式是四重積分，計算量比較大。這里利用Matlab強大的數值計算能力，編程計算了軸向永磁軸承的承載力Fa與剛度K，其中剛度的計算是通過對承載力做差商運算得到的。設永磁軸承的參數為R1＝10.7 mm；R2＝13.3 mm；R3＝13.8 mm；R4＝16.3 mm；H1＝H2＝8.1 mm；Br1＝Br2＝0.82 T。在內外磁環同軸的情況下，軸向力及剛度的位移特性曲線如圖5所示。圖中，點A剛度最大，點B為最大承載力點，在點C永磁軸承由吸力型變為斥力型；部分軸向力的計算值如表1所示，其中實測值與等效磁荷法的計算值分別由Yonnet[7]實驗與孫立軍等[8]計算得到。

表1 軸向力的計算值與實測值

圖5 軸向永磁軸承的承載力及剛度特性曲線

從表1可以看出，基于等效電流法和等效磁荷法計算出來的值基本相等；計算值與實測值的誤差在3%以內。

若內、外磁環軸向對齊而只有徑向產生相對位移，永磁軸承的參數為R1＝20 mm，R2＝26 mm，R3＝29 mm，R4＝35 mm，H1＝H2＝5 mm，Br1＝Br2＝0.9 T。基于等效電流法與等效磁荷法[8]的結果如表2所示。

表2 不同模型時徑向力的計算值

3 軸向永磁軸承的力學特性試驗

為了進一步驗證理論計算的正確性，這里對徑向為主動磁懸浮軸承、軸向采取軸向磁化吸力型永磁軸承的轉子—軸承系統進行了試驗研究。圖6所示為裝置的實物圖及結構簡圖。其中，永磁軸承外環的內、外徑分別為12.9 mm和17 mm，軸向長度為5 mm；實心轉子部分的直徑為10 mm，軸向長度為6 mm，永磁體的剩磁為1.1，矯頑力為868 kA/m。

圖6 實驗裝置原理

轉子在徑向懸浮的情況下，通過百分表與電子測力計配合，分別測出永磁軸承轉子部分的軸向位移及對應的拉力，試驗結果與理論計算的對比如圖7所示。從圖中可以看出，試驗值與計算值基本吻合，該永磁軸承的最大承載力約為9.5 N，原點處剛度約為7 000 N/m。

圖7 Fa－Sa的試驗數據與計算值對比

4 結束語

本文對基于等效電流法的永磁軸承進行了分析，得出結論如下。

（1）基于等效電流法的承載力計算結果與等效磁荷法得到的數值非常接近，這也進一步說明了基于等效電流法所建立數學模型的正確性以及這兩種觀點的等效性。

（2）軸向磁化吸力型永磁軸承的磁力先隨著位移的增大而增大，達到最大承載力后，隨著位移的增大而減小；剛度在原點處最大，此后隨著位移的增大而減小直至負值，最終趨于0。